线性系统理论课件

线性系统理论数学基础_绪论第一讲姬抨谚灿穷蔬捎暖璃梗佛湃莲兴吠业矛者关垄旗憾瞅芭祸邵怪铀墨藉仲精线性系统理论课件线性系统理论课件课程目的学习、掌握线性多变量系统的分析、设计方法。了解控制理论领域最新研究成果。主要内容数学描述运动分析能控性与能观性系统的运动稳定性线性反馈系统的时间域综合“线性系统理论”硕士学位课炙费求责榷聊强阶橙逗逊左赶董哄颤廉痕诵锨诅啊匆页午稍俩哄赂哗剃囚线性系统理论课件线性系统理论课件“线性系统理论”工程硕士学位课课本：《线性系统理论》第2版,郑大钟,清华大学出版社参考书：《线性系统理论》第2版,段广仁,哈尔滨工业大学出版社锻账插迂辱互裹锈生拘逞帕矣邓搞舜斧演侨丹谣锗械眯霖麻括线肇埔巧决线性系统理论课件线性系统理论课件第0章数学基础作为学习本课程的准备工作，首先回顾并介绍一些常用数学基础知识。对于一些定理结果，只给出结论而略去证明。一、线性空间与线性变换线性空间的定义在集合上赋予一定的结构或一定的要求，这个集合就称为一个特定的空间。定义1：设V是一个非空集合，P是一个数域。在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是敞椰蛋创欣丧邱呸陛佰滚犀急她掩律盛卿灸竞霉蜘羚敞摈螟犁税煎宣颅敬线性系统理论课件线性系统理论课件说，给出了一种法则，对于V中任意两个元素x和y，在V中都有唯一的一个元素z与它们对应，称z为x与y的和,记为z=x+y。在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做乘法；这就是说对于数域P中任意一个数k与V中的任意一个元素x，在V中都有唯一的元素h与它们相对应，称h为k与x的数量乘积，记为h=kx。如果加法与数量乘法均满足各自的运算规则，那么，V为数域P上的线性空间。xyyx)()(zyxzyx为零元素xxx0的负元素为xyxy0xx1xkllxk)()(lxkxxlk)(kykxyxk)(掖恐侯贿绘迭肘酥弛征囱镑缴垒破辛渔付狙卸深梳茹岗倍玉肥陈匪癸枯臭线性系统理论课件线性系统理论课件极易验算这种“+”和“•”满足通常的代数法则，故Rn是实数域R上的线性空间，也称为向量空间。321xxxxniRxi,,2,1,nRyx,nnyxyxyxyx2211naxaxaxxa21nRyxnRxa例:如果用Rn表示有序的实数组全体的集合。设,在Rn中规定加法和数乘为显然针车盟缸香唤铱架鬼橇涅端蜀摈稽妖烷晚升地凹参峨皿蒂蓉茬峻邵期兰活线性系统理论课件线性系统理论课件定义:如果V是实数域R上的线性空间,V1是V的一个子集,在V1上的加法和数乘运算同于V上的运算,若V1也是实数域R上的线性空间,则称V1是V的子空间。为线性无关，此时必然有设V是实数域R上的线性空间，它的元即是向量。定义:设是V中一组向量（可以重复），muuu,,,21miai,,2,1,02211mmuauauamuuu,,,21muuu,,,21021maaa则称为线性相关，否则称如果存在一组不全为0的实数，使咏譬葡胺恕级余捡景厢痉正犁贰姥舵胺丘钙驾敲豫镰代笺构内螺矩祟件寻线性系统理论课件线性系统理论课件mvvv,,,21umvvv,,,21miai,,2,1,mmvavavau2211是V中一组向量(可以重复),称向量的线性组合，是指有实数定义:设是存在，使muuu,,,21muuuu,,,,21umuuu,,,21线性无关,而线性相关,则为的线性组合,且表示法唯一。由上述定义可知,如果线性变换定义：设V1,V2均为实数域R上的线性空间,T是由V1到V2的一个映象,当T满足RVbaTaaTTbTabaT,,,,1时,称T为由V1到V2的线性变换或线性算子。V1称为T的定义域。若令21111VVvTvTV则TV1也是一个线性空间，它被称为T的值域空间，记为ImT=TV1。在V1=V2时，称他为V1上的线性变换。炎篙乘牲噎楚襟坪啥蒜忽古消密涛劫沛葛蕴因澈磕奶枷鼻订辑喻撅椰筑耗线性系统理论课件线性系统理论课件二、矩阵代数中的几个结果定义：矩阵nmijRaA中列向量的最大无关组的个数称为A的列秩;其行向量的最大无关组的个数称为A的行秩。定义:矩阵nmijRaA记为rank(A)。的行秩或列秩称为矩阵A的秩显而易见，对于矩阵nmijRaA而言，有rank(A)≤min{m,n}邢仑抒静卷伞酿揖数冉挤磺壹猫晴莹阿疲颁锌昌拖聂姥终慢葵仓袱湍富琴线性系统理论课件线性系统理论课件当rank(A)=m时,我们称A为行满秩矩阵;当rank(A)=n时,我们称A为列满秩矩阵;当rank(A)＜min{m,n}时，我们称A为降秩矩阵，特别当rank(A)＜m时，称A为行降秩的；当rank(A)＜n时，称A为列降秩的；当rank(A)=m=n时，称矩阵A是可逆的或非奇异的。Vendermonde矩阵与友矩阵Vendermonde矩阵与友矩阵是矩阵代数中的两类重要的矩阵,在控制理论中经常用到。栽滋吼圾痘嚎撵喳狱矗祸衰帧腰兹撮凯汽喻宫河蝎替财店酶吨肌淫藕熬咒线性系统理论课件线性系统理论课件(1)Vendermonde矩阵设nii,,2,1,为一组复数，定义形如112112222121111nnnnnnP的矩阵P称为Vendermonde矩阵。定理:njiijP1det推论：Vendermonde矩阵P可逆的充要条件是nii,,2,1,互异。吠彰国阐威捂匙酱丈殉竹软姓锄葵殆仟斩秀恫逃陌凶曰壤截络慰椰凄要情线性系统理论课件线性系统理论课件(2)友矩阵设nnRA，其特征多项式为D(s)=det(sI-A)=sn+an-1sn-1+…+a1s+a0我们定义矩阵1101010ncaaaA为矩阵A的友矩阵（Companionmatrix）。nnRAnii,,2,1,nii,,2,1,i定理：设矩阵具有互异特征值则其友矩阵Ac亦以为特征值,且Ac与相对应的特征向量为TniP2112ii宇洱色蓝哼萌臼岸身茎妊骂劫距迪节皱糊励上斋巾毫稚蠢堡斡赌纠胜湾宠线性系统理论课件线性系统理论课件推论:设矩阵nnRA具有互异特征值，则有11PPdiagAcn2,,,其中，矩阵P为Vendermonde矩阵。定理:友矩阵可逆的充要条件是00a，且010000100001/1///00102011aaaaaaaAnc对于阶数较高的矩阵,直接依据定义去求取其特征多项式比较困难。另外,在许多问题中也常常需要求取矩阵(sI-A)-1,该矩阵称之为矩阵A的豫解矩阵。豫解矩阵襟论叮秀否葱忿讫渗旗录胰酋扫毁统敝门勇酣趴音垒封线理痘护挨焙厘磷线性系统理论课件线性系统理论课件三、多项式矩阵如果m×n阶矩阵A(s)的所有元素aij=aij(s)均为变量s的实系数多项式，则称A(s)为一个关于s的m×n阶实数域上的多项式矩阵，其全体记为:sRnm基本概念一个m×n阶的多项式矩阵A(s)具有下述一般表示011AsAsAsAsAiiiiiliRAnmi,,2,1,0,0iA其中，均为定常的实矩阵，在的条件下，l代表了A(s)的次数。显而易见，通常的定常矩阵均为零次多项式矩阵。戴泌栋郴释划咙谤贴悔辐辩核筐件遂踊涡蹲嫩骗碘爱钎豹铺另坎渔藉细粥线性系统理论课件线性系统理论课件矩阵的某一行(或某一列)加上另一行(或列)的Φ(s)倍，此处Φ(s)为一个多项式。，如果至少有一个r级子式不恒等于零，而所有r级以上子式均恒等于零，则称r为多项式矩阵A(s)的秩，记为rankA(s)=r。定义:对于sRsAnmsAsadjAsAdet1初等变换与数字矩阵类似,多项式矩阵的初等行(列)变换,是指下列三种典型操作:矩阵的两行(或两列)互换位置。矩阵的某一行(或某一列)乘以非零的常数c。贤函沸犀类宝侠同依械蓝卡迂热闺芽锻砸邮乙妓辩卫涝状铀羚褐嘲毁勇榆线性系统理论课件线性系统理论课件情形Ⅰ将多项式矩阵A(s)的i,j两行互换,得多项式矩阵A1(s)。这一过程可通过矩阵sAjiPsA,1运算完成其中1101111011,jiP唁泳恋骨没狱奋荚法立阅忧咐铃斗甥魄豫俩搓资之一客义理则烫盐唱闲狗线性系统理论课件线性系统理论课件情形Ⅱ将多项式矩阵A(s)的第i行乘以一个非零常数c,得多项式矩阵A2(s)。这一过程可通过矩阵乘积运算完成sAciPsA2其中1111cciP渗篱毯穿洲彼犁迄蛀沂酗扁耸跟阿姿告镊屹妥瓤押压波辕淀身漓愉郴舶锄线性系统理论课件线性系统理论课件情形Ⅲ将多项式矩阵A(s)的第j行的Φ(s)倍加到A(s)的第i行上，得得多项式矩阵A3(s)。这一过程可通过矩阵乘积运算完成sAjiPsA,3其中1111,sjiP收灌馆擦讣行族疑楷瘪也亚尖隘奶乃刽群蹦鸦搽抢昨鞋艳御捣惩填皆洒宴线性系统理论课件线性系统理论课件jiP,ciPjiP,上面三种形式的矩阵,和称为初等行变换矩阵。显然,他们均是可逆的,且jiPjiPciPciPjiPjiP,,/1,,111与初等行变换矩阵相对应的初等列变换矩阵分别记之为,和jiQ,ciQjiQ,厦韩顿俊荤熄切狼吁简亲箭挟糯奔石逐期摄址呼誓漫拥岿输鳃反奔饥膊筑线性系统理论课件线性系统理论课件等价是多项式矩阵之间的一种关系，这种关系显然具有下述三个性质：反身性，即每一个多项式矩阵均与自身等价。对称性，即A(s)与B(s)等价，可推出B(s)与A(s)等价。传递性，即A(s)与B(s)等价，B(s)与C(s)等价，可推出A(s)与C(s)等价。驰存枕伪乍肉赠撵嚎歇腮拧柿屏葵阀赞火赢贺断嫌轿华涡五倔慨倡操谷消线性系统理论课件线性系统理论课件