第二十四章解直角三角形能力培优

1第二十四章解直角三角形24．1锐角的三角函数24．2锐角的三角函数值专题一与锐角三角函数定义有关的综合1．已知a，b，c是△ABC的三边，a，b，c满足等式b2＝（c＋a）（c－a），且5b－4c＝0，求sinA＋sinB的值．2．已知△ABC的一边AC为关于x的一元二次方程x2＋mx＋4＝0的两个正整数根之一，且另两边长为BC＝4，AB＝6，求cosA．3．如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．2专题二三角函数性质的运用4．若0°＜α＜60°，且sin（60°－α）＝1512，则cos（30°＋α）＝．5．已知α为锐角，下列结论①sin2α＋cos2α＝l；②如果α＞45°，那么sinα＞cosα；③如果cosα＞21，那么α＜60°；④21sin）－（＝1－sinα．正确的有．（填序号）6．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE、PF的大小；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并证明．专题三综合运用特殊锐角的三角函数值7．在△ABC中，若∠A、∠B满足21cosA＋（sinB－22）2＝0，则∠C＝．8．已知直角三角形两个锐角的正弦sinA，sinB是方程2x2－22x＋1＝0的两个根，求∠A，∠B的度数．9．已知：x＝2cos45°＋1，y＝60sinsin453－1，求－（xy）2014的值．3状元笔记【知识要点】1．锐角三角函数：2．30°、45°、60°角的三角函数值．3．正弦、正切值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小．4．任意锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值．即：当∠A＋∠B＝90°时，有sinA＝cosB，cosA＝sinB．【温馨提示】1．锐角的三角函数值都是正实数，而且0sinA1，0cosA1．2．三角函数的实质是一个比值，这些比值只与锐角的大小有关，与三角形的边长无关．3．sinA、cosA、tanA是一个整体符号，不能理解为相乘的关系，即不是sin·A．4．虽然锐角三角函数是在Rt△中定义的，但当锐角不在一个Rt△中时，它的函数值也存在．5．记准、记熟特殊角的三角函数值是做对含有特殊角三角函数计算题的保证．一要看清三角函数符号，二要记牢特殊值并确认，必要时可借助图形推求出特殊角的三角函数值．【方法技巧】1．写三角函数比值式时，对照图形，找准边角关系．2．常利用已知函数值设边（按比例设），结合勾股定理，求出第三边的代数表达式，再根据三角函数的定义解决问题．3．等角代换——相等的角正弦(或余弦、正切)值相等．4．非直角三角形可通过作高（或垂线），以转化为直角三角形．4参考答案：1．解：∵b2＝（c＋a）（c－a），∴b2＝c2－a2，即：a2＋b2＝c2，∴△ABC是以c为斜边的Rt△．∵5b－4c＝0，∴cb＝54．设b＝4k，则c＝5k，∴△ABC中，a＝3k，∴sinA＋sinB＝ca＋cb＝k5k3＋54＝57．2．解：根据根与系数的关系可知：x1•x2＝4．又∵x1、x2为正整数解，∴x1，x2可为1、4或2、2，又∵BC＝4，AB＝6，∴2＜AC＜10，∴AC＝4，∴AC＝BC＝4，△ABC为等腰三角形．如图，过点C作CD⊥AB，∴AD＝3，cosA＝ACAD＝43．3．解：根据图形有：∠AFE＋∠EFC＋∠BFC＝180°，根据折叠的性质，∠EFC＝∠EDC＝90°，即∠AFE＋∠BFC＝90°，而Rt△BCF中，有∠BCF＋∠BFC＝90°，易得∠AFE＝∠BCF．在Rt△BFC中，根据折叠的性质，有CF＝CD，在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝CD＝10，由勾股定理易得：BF＝6，则tan∠BCF＝43，故有tan∠AFE＝tan∠BCF＝43．答：tan∠AFE＝43．4．1512[解析]∵60°－α＋30°＋α＝90°，且0°＜α＜60°，∴cos（30°＋α）＝sin（60°－α）＝1512．55．①②③④[解析]①根据同角的三角函数之间的关系可得：sin2α＋cos2α＝l；②∵α＞45°，∴90°－α＜α，而cosα＝sin（90°－α），∴sinα＞sin（90°－α），即sinα＞cosα；③∵cosα＞21＝cos60°，∴α＜60°；④∵sinα≤1，∴sinα－1≤0，∴21sin）－（＝|sinα－1|＝1－sinα．6．解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝BPPE＝sin40°，在Rt△BPF中，sin∠FBP＝BPPF＝sin20°，又sin40°＞sin20°，∴PE＞PF．（2）PE＞PF．证明：根据（1）得sin∠EBP＝BPPE＝sinα，sin∠FBP＝BPPF＝sinβ，又∵α＞β，∴sinα＞sinβ，∴PE＞PF．7．75°[解析]由已知得cosA－21＝0，sinB－22＝0，∴cosA＝21，sinB＝22，∴∠A＝60°，∠B＝45°，则∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－45°＝75°．8．解：可求得原方程的根为x1＝x2＝22．∵sinA＝sinB＝22，∴∠A＝∠B＝45°．9．解：x＝2×22＋1＝2＋1，y＝3×22÷23－1＝2－1，∴xy＝(2＋1)(2－1)＝1，∴－（xy）2014＝－12014＝－1．624.3直角三角形及其应用专题一解直角三角形的学科内综合1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，如果BD＝9，DC＝5，cosB＝53，E为AC的中点，求sin∠EDC的值．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．己知AC＝15，cosA＝53．（1）求线段CD的长；（2）求sin∠DBE的值．73．一幅三角板按如图摆放，已知BE＝63，求BD的长和重叠部分△BDF的面积．专题二解直角三角形的实际应用4．如图1表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分．如图2，若此钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为多少公分（）A．22－33B．16＋πC．18D．195．如图所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB和CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上．为使集热板吸热率更高，公司规定：AD与水平线夹角为θ1，且在水平线上的射影AF为1.4m．现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为θ2，并已知tanθ1＝1.082，tanθ2＝0.412．如果安装工人已确定支架AB高为25cm，求支架CD的高（结果精确到1cm）．86．在日常生活中，我们经常可以看到一些窗户上安装有遮阳板，图1是小明家的南面窗户，窗户高h＝160厘米，已知小明家所在地一年中的正午时，太阳与水平地面夹角的最大值是76°，（即∠α＝76°，如图1），最小值是29°（即∠β＝29°，如图2）．请你按下面不同要求为小明家的这个窗户设计一个矩形遮阳板（用材为平板，计算时厚度忽略不计，结果精确到0．1厘米）．（1）如果遮阳板水平安装在窗户顶部上方10厘米，并使∠α＝76°时，夏天炎热的阳光刚好不射入室内，那么遮阳板的最小宽度L应是多少?（2）如果遮阳板水平安装在窗户上方，既使∠α＝76°时夏天炎热的阳光刚好不射入室内，又能使∠β＝29°时冬天温暖的阳光全部射入室内，那么遮阳板的最小宽度L应是多少?遮阳板应安装在什么位置？（3）如图3，在（2）中考虑到遮雨功能，遮阳板往下倾斜10°（即坡角为10°）那么遮阳板的最小宽度L应是多少?状元笔记【知识要点】1．解直角三角形的主要依据是：（1）三边间关系，（2）锐角间关系，（3）边角间关系，以及每种关系中的变式，灵活选用关系式是解决问题的关键．2．解直角三角形的应用：（1）对照示意图，明确题意，将实际问题转化为数学问题；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．【方法技巧】1．选择边角关系时，应遵循“有斜（边）用（正、余）弦，无斜（边）用（正）切”；2．已知两边，求第三边并非一定用勾股定理，有时也可选用边角关系；3．精心设计求解顺序，先求什么与后求什么也会影响解决问题的难易程度；4．计算时，利用所求的量如果不比原始数据简便的话，最好用原始数据计算；．5．通过设未知数、列方程来求解也是常用而有效的方法．9参考答案：1．解：∵AD⊥BC于D，BD＝9，cosB＝53，∴AB＝BD÷cosB＝9×35＝15，∴由勾股定理得AD＝12．∵DC＝5，∴AC＝13．∵E为AC的中点，∴ED＝21AC＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∴sin∠EDC＝sin∠ECD＝ACAD＝1312．2．解：（1）∵AC＝15，cosA＝53，又cosA＝ABAC，∴AB＝25．∵△ACB为直角三角形，D是边AB的中点，∴CD＝225（或12．5）；（2）∵BC2＝AB2－AC2＝400，AD＝BD＝CD＝225，∴设DE＝x，EB＝y，∴，，400)225()225(x22222yxy解得x＝27，∴sin∠DBE＝DE∶BD＝27∶225＝257．3．解：在Rt△EBD中，由tan30°＝36BD，得BD＝6，如图，作FH⊥BD，垂足为H，设FH＝BH＝x，则DH＝6－x，在Rt△FDH中，tan60°＝x6x，可解得：x＝9－33，∴S△BDF＝21×6×（9－33）＝27－93．104．D[解析]如图，连接A″A′，∵当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分，∴AD＝10．∵钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，∴A′C＝16，∴AO＝A″O＝6，则钟面显示3点50分时，∠A″OA′＝30°，∴A′A″＝3，∴A点距桌面的高度为：16＋3＝19公分．5．解：如图所示，过A作AE∥BC，则∠EAF＝∠CBG＝θ2，EC＝AB＝25cm．在Rt△DAF中，∠DAF＝θ1，DF＝AFtanθ1，在Rt△EAF中，∠EAF＝θ2，EF＝AFtanθ2，∴DE＝DF－EF＝AF（tanθ1－tanθ2）．又∵AF＝140cm，tanθ1＝1.082，tanθ2＝0.412，∴DE＝140×（1.082－0.412）＝93.8，∴DC＝DE＋EC＝93.8＋25＝118.8cm≈119cm．答：支架DC的高应为119cm．6．解：（1）如图4，设CD为符合要求的遮阳板的一边，CD＝l厘米，AB为窗户的高，AB＝160厘米，BC＝10厘米，若∠α＝76°时，炎热的阳光刚好不射入室内，且遮阳板的宽度l最小，则射入窗户最底端的光线恰好经过A、D两点，由此得∠DAE＝∠α＝76°，所以∠CAD＝90°－76°＝14°．在RtACD△中，tanCDCADABBC∠，即tan14°＝170l，所以l＝170×tan14°≈42．4（厘米）．即遮阳板的最小宽度l约为42.4厘米．（2）如图5，设CD为符合要求的遮阳板一边，CD＝l厘米，AB为窗户的高，160AB厘米，由题意得76DAE∠，29CDB∠，∠CAD＝90°－76°＝14°．11在RtBCD△中，tan29°＝lBC，所以BC＝ltan29°．在RtACD△中，tan14°＝16029tanll，解得l＝29tan14tan114tan160≈46．3（厘米）．所以BC＝46．3×tan29°≈25．7（厘米）．即遮阳板的最小宽度l约为46.3厘米．应安装在窗户顶部上方约25.7厘米处．（3）如图6，DF为遮阳板的一边，10CDF∠，由（2）得46.3CD厘米．在RtCDF△中，cos10