一元二次方程复习知识点和习题(包括答案)

1一元二次方程复习一）一元二次方程的定义)0a(0cbxax2是一元二次方程的一般式，只含有一个末知数、且末知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。0ax0cax0bxax222；；这三个方程都是一元二次方程。求根公式为0ac4ba2ac4bbx22二）)0a(0cbxax2。a是二次项系数；b是一次项系数；c是常数项，注意的是系数连同符号的概念。这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢？1、ac4b2＝当Δ0时方程有2个不相等的实数根；2、当Δ＝0时方程有两个相等的实数根；3、当Δ0时方程无实数根.4、当Δ≥0时方程有两个实数根（方程有实数根）;5、ac0时方程必有解,且有两个不相等的实数根;6、c=0，即缺常数项时，方程有2个不相等的实数根，且有一个根是0.另一个根为ab7、当a、b、c是有理数，且方程中的Δ是一个完全平方式时，这时的一元二次方程有有理数实数根。8若1x,2x是一元二次方程)0a(0cbxax2的两个实数根，即①abxx21acxx21（注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足Δ≥0这个条件，否则解题就会出错。）例：已知关于X的方程0mx2m2x22,问：是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。②一元二次方程)0a(0cbxax2可变形为0xxxxa21的形式。可以用求根公式法分解二次三项式。9、以两个数x1x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x2-（x1+x2）x+x1x2＝010几种常见的关于21x,x的对称式的恒等变形2①212212221xx2xxxx②2122121222121213231xx3xxxxxxxxxxxx③2121221221xxxxxxxx④2212121axxaxxaxax⑤212121xxxxx1x1⑥22121221222122212221xxxx2xxxxxxx1x1⑦2122122121xx4xxxxxx三）例题1如果方程x2-3x+c=0有一个根为1，求另一个根及常数项的值。解法一）用方程根的定义解：解法二）用根系数关系解：2用十字相乘法解一元二次方程（一元二次方程的左边是一个二次三项式右边是0，这样的题型若能用十字相乘法解题的、要尽量使用十字相乘法、因为他比用公式法解题方便得多）。十字相乘法的口诀是：右竖乘等于常数项，左竖乘等于二次项系数，对角积之和等于一次项系数。三个条件都符合，结论添字母横写（看成是关于谁的二次三项式就添谁）。解下面一道一元二次方程x2-110x+2925=01-651-45-65-45=-110四）Δ与根的关系的综合运用（ax2+bx+c=0,a≠0）ax2+bx+c=0,(a0)Δ0有两个不相等的实数根C0两根同号b0有两个负根不相等b0有两个正根不相等C0两根异号b0负根绝对值较大(正根绝对值较小)b0正根绝对值较大(负根绝对值较小)3b=0两根绝对值相等C=0一根为零b0一根为0另一个根为负根b0一根为0另一个根为正根Δ=0有两个相等的实数根b0有两个相等的负根b0有两个相等的正根b=0有两个相等的根都为0五)“Δ”,“x1.x2”，“x1+x2”与“0”的关系综合判断一元二次方程根的情况Δ01有两个不相等的负实数根x1.x20x1+x20Δ02有两个不相等的正实数根x1.x20x1+x20Δ03负根的绝对值大于正根的绝对值x1.x20x1+x20Δ04两个异号根正的绝对值较大x1.x20x1+x20Δ05两根异号，但绝对值相等x1.x20x1+x2＝0Δ06一个负根，一个零根x1.x2＝0x1+x20Δ07一个正根，一个零根x1.x2＝0x1+x20Δ＝08有两个相等的负根x1.x20x1+x20Δ＝09有两个相等的正根x1.x20x1+x20Δ＝010有两个相等的根都为零x1.x2＝0x1+x2＝04Δ011两根互为倒数x1.x2＝112两根互为相反数Δ0x1+x2＝013两根异号Δ014两根同号Δ≥0x1.x20x1.x2015有一根为零Δ0x1.x2＝016有一根为-1Δ0a-b+c=017无实数根Δ018两根一个根大于m，另一个小于m，（m∈R）Δ00mxmx2119ax2+bx+c(a≠0)这个二次三项式是完全平方式Δ＝020方程ax2+bx+c＝0(a≠0)（a、b、c都是有理数）的根为有理根，则Δ是一个完全平方式。21方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两根之差的绝对值为：axx2122Δ＝0,方程ax2+bx+c＝0(a≠0)有相等的两个实数根。23Δ0,方程ax2+bx+c＝0(a≠0)无实数根.24方程ax2+bx+c＝0(a≠0)一定有一根为“1”Δ≥0a+b+c=025方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的解为0ac4ba2ac4bbx2226方程ax2+bx+c＝0(a≠0)若Δ≥0则abxx21acxx21注：凡是题中出现了x1.x20；或0ac；或a、c异号就能确保ac4b2＝0即a、c异号方程必有解。1、m为何值时，方程0mx10x32①有两个相等的实数根；②无实数根；③有两个不相等的实数根；④有一根为0；⑤两根同号；⑥有一个正根一个负根；⑦两根互为倒数。52、已知方程08m2x4x2的两根一个大于1，另一个根小于1，求m的值的范围。3、已知实数a、b满足a22a2,b22b2且ba求baab的值。4、已知关于x的方程0kx4k2x2有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围（2）化简4k4k2k25、用适当的方法解下列方程(说明选用的理由）①41x92②1x2x2③02y6y326六）“归旧”思想在解一元二次方程中的应用“归旧”就是把待解决的问题，通过某种转化，归结为能用已掌握的旧知识去解决的问题。一元二次方程有直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法，这几种解法，都是用“归旧”的数学思想方法求解。下面就各种方法分别加以说明。直接开平方法：适用于等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负实数的形式，形如（mx+n）2=p(m≠0,p≥0)的方程。我们可以利用平方根的定义“归旧”为两个一元一次方程去解，即有一元一次方程为mx+n=±p，分别解这两个一元一次方程就得到原方程的两个根。用简明图表可表示为：直接开平方法：形如（mx+n）2=p(m≠0,p≥0)归旧根据平方根的定义两个一元一次方程。配方法：最适用于二次项系数为1，一次项系数为偶数的形式的一元二次方程，形如x2+2kx+m=0（当然一般的形如ax2+bx+c=0a≠0也可用,但不一定是最合适的方法）。这类方程我们可以通过已掌握的配方的手段，把原方程“归旧”为上述形如（mx+n）2=p(m≠0,p≥0)的方程，然后再用直接开平方法的方法求解。用简明图表可表示为：配方法：一元二次方程归旧通过配方形如（mx+n）2=p(m≠0,p≥0)的方程因式分解法：这种方法平时用的最多，最适用于等式左边能分解成几个一次因式的积、而右边必须为零的形式的一元二次方程方程。这类方程我们可以通过已掌握的因式分解的手段，把原方程转化为形如(a1x+c1)(a2x+c2)=0方程，从而“归旧”为a1x+c1=0、a2x+c2=0，再分别求出这两个一元一次方程的根，就得到原一元二次方程的两个解。用简明图表可表示为：因式分解法：一元二次方程归旧通过分解因式两个一元一次方程公式法：公式法的实质就是配方法，只不过在解题时省去了配方的过程，所以解法简单。但计算量较大，只有在不便运用上述三种方法，且各项系数的绝对值为较小的数值情况下才考虑使用该方法。7一元二次方程练习题一、填空1．一元二次方程12)3)(31(2xxx化为一般形式为：，二次项系数为：，一次项系数为：，常数项为：。2．关于x的方程023)1()1(2mxmxm,当m时为一元一次方程；当m时为一元二次方程。3．已知直角三角形三边长为连续整数，则它的三边长是。4.xx32x(2)；2xx(22)。5．直角三角形的两直角边是3︰4，而斜边的长是15㎝，那么这个三角形的面积是。6．若方程02qpxx的两个根是2和3，则qp,的值分别为。7．若代数式5242xx与122x的值互为相反数，则x的值是。8．方程492x与ax23的解相同，则a=。9．当t时，关于x的方程032txx可用公式法求解。10．若实数ba,满足022baba，则ba=。11．若8)2)((baba，则ba=。12．已知1322xx的值是10，则代数式1642xx的值是。二、选择1．下列方程中，无论取何值，总是关于x的一元二次方程的是（）（A）02cbxax（B）xxax221（C）0)1()1(222xaxa（D）0312axx2．若12x与12x互为倒数，则实数x为（）（A）±21（B）±1（C）±22（D）±23．若m是关于x的一元二次方程02mnxx的根，且m≠0，则nm的值为（）（A）1（B）1（C）21（D）214．关于x的一元二次方程02mnxx的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的8是（）（A）0,0nm（B）0,0nm（C）0,0nm（D）0,0nm5．关于x的一元二次方程02kx有实数根，则（）（A）k＜0（B）k＞0（C）k≥0（D）k≤06．已知x、y是实数，若0xy，则下列说法正确的是（）（A）x一定是0（B）y一定是0（C）0x或0y（D）0x且0y7．若方程02cbxax)0(a中，cba,,满足0cba和0cba，则方程的根是（）（A）1，0（B）-1，0（C）1，-1（D）无法确定三、解方程1.选用合适的方法解下列方程（1）)4(5)4(2xx（2）xx4)1(2（3）22)21()3(xx（4）31022xx四、解答题1.已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程02092xx的一个根，求这个三角形的腰。2.已知一元二次方程0437122mmmxxm）（有一个根为零，求m的值。