均值不等式教案

§3.2均值不等式本节内容是选自人教版高中数学B版必修五第三章第二节——均值不等式。它在不等式这一章中占有非常重要的地位，在不等式的证明中尤其突出。一、教学目标知识与技能：均值不等式的基本表达式；均值不等式所表达的几何意义；能够应用均值不等式进行简单的证明过程与方法：掌握数形结合的数学思想方法情感态度价值观：数学来源于生活，善于从生活中去探索数学的奥秘二、重难点重点：均值不等式的证明与应用；“=”成立的条件难点：均值不等式的几何意义；在怎样的情况下应用均值不等式三、教学方法讲授法四、教学过程（一）情境引入某一届国际数学家大会的会标，我们将其中的几何图形抽象出来得到这样一个图形：已知的是直角三角形的两直角边分别为a，b，那我们能否从其中找出一些不等关系？解答：图中四个直角三角形的面积总和为：142ab大的正方形的面积为：22ab我们可以很直观地得出：22ab2ab问：同学们再想一想，这个“”可以换成“≥”吗？当直角三角形变为等腰直角三角形的时候，也即是ab时，这时，正方形EFGH变为一点，可以得到222abab。（二）得出结论并证明（基础）一般地，,abR,则222abab.证明：2222()ababab当ab时，20ab；当ab时，2()0ab.综上所述，可得222abab.（三）均值不等式的变式（重点）若0,0,ab则2abab（当ab时，“=”取到）需明确的两个概念：2ab表示a与b的算术平均数；ab表示a与b的几何平均数。证明（几何意义）：如图：AC是圆O的直径，点D是AC上任一点，ADa，CDb，过点D做BDAC交圆周于B，连接OB.则22ACabOB又RtADBRtBDC，则ADABDBBDBCDC所以2BDADDCab，也即BDab又OBBD，所以2abab.所以其几何意义为：半径不小于半弦（四）巩固应用（1）已知ab、都是正数，求证：2abba.证明：0,0,ab0,0abba，由均值不等式可得22ababbaba，当且仅当abba且0,0ab同时成立，即ab时，等号成立.（2）已知ab、都是正数，求证：2233338abababab证明：2abab，22222abab，33332abab2233ababab2233332228abababab（五）课堂小结本节课，我们学习了重要不等式222abab；两正数ab、的算术平均数（2ba），几何平均数（ab）及它们的关系（2ba≥ab）.它们成立的条件不同，前者只要求ab、都是实数，而后者要求ab、都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤222ba，ab≤（2ba）2.（六）板书设计一、引入四个直角三角形的面积总和为：142ab大的正方形的面积为：22ab于是可得到22ab2ab当a=b时，也就是直角三角形变为等腰直角三角形，中间的正方形EFGH变为一个点时，222.abab二、均值定理1：一般地，,abR,则222.abab证明：2222()ababab当20;ab时,(a-b)当ab时，2()0.ab综上所述，可得222.abab均值定理2：若0,0,ab则2abab（当ab时，“=”取到）证明（几何意义）：如图：AC是圆O的直径，点D是AC上任一点，AD=a，CD=b，过点D做BDAC交圆周于B，连结OB.则OB=22ACab又RtADBRtBDC，则ADABDBBDBCDC所以2BDADDCab，也即BDab又OBBD，所以2abab所以其几何意义为：半径不小于半弦三、应用已知ab、都是正数，求证：（1）2.abba证明：00,0,0ababba、，由均值不等式可得22ababbaba，当且仅当00ababba与、同时成立，即ab时，等号成立.（2）2233338abababab2abab，22222abab，33332abab2233ababab2233332228abababab11212nnnxxxxxxn，对每个0ix.证明：用数学归纳法.（1）当2n时，就是均值不等式，显然成立；（2）设nk成立，证2nk成立；1111121121222222kkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxkk（3）设n成立，证1n成立；即已知11212nnnxxxxxxn，对每个0ix，特别地取111nnxxxn代入上式有左=1111111111111nnnnxxxxxxxxnnnnn右=1111111nnnnxxxxnn由于左≥右，所以1111111111111111111111111111nnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxnnxxxxxxxxnn