第五章机械能守恒

1笫五章机械能守恒（一）功动能定理（二）保守力做功与势能（三）机械能和机械能守恒定律（四）两体碰撞与两体问题目录2一、功（一）功动能定律定义：力对质点所做的功等于力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积.rdFdWcosrdFBArdFW功是力对空间的累积作用单位:1焦耳(J)=1牛顿（N）.米（m）量纲：ML2T-2ABFrd元功第五章机械能守恒3说明：（1）在直角坐标系中：)(dzFdyFdxFrdFWzyBAxBAkdzjdyidxrdkFjFiFFzyxˆˆˆˆˆˆ第五章机械能守恒（2）几个力同时作用在物体上时，所作的功：iFFFF2142121)(WWrdFrdF合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。rdFW（4）功率：vFvFdtdrFdtdWPcoscos单位:焦耳/秒(瓦特)量纲：ML2T-3力在单位时间内所做的功第五章机械能守恒（3）功是标量，没有方向，但有正负.51m5N例题5.1如图所示，一绳索跨过无摩擦的滑轮系在质量为1.0kg的物体上，起初物体静止在无摩擦的水平面上。若用5.0N的恒力作用在绳索的另一端，使物体向右作加速运动.当系在物体上的绳索从与水平成变为时,力对物体作功为多少?己知滑轮与水平面间的距离为1m.037030第五章机械能守恒6解:建立坐标系(如图)cosFFxdxxxFdxWxxxxxF21212121xxF)11(2221xxFWJ69.1mtgx732.130101mtgx327.137102x0F1m5N第五章机械能守恒7二、质点动能定理dsFdWFdrdsdtdvmmvdv元功:质点由A到B这一过程中，力作总功为：21BvAvWdWmvdv212kEmvABmFrd---质点的动能第五章机械能守恒cosFds22211122mvmv12kkEEW---质点动能定理令则8例题5.2如图，初始时，绳子垂在桌外的长度为b,设绳子总长度为L,求绳全部离开光滑桌面时的瞬时速率.解：方法一：利用动能定理LbLMgMgdxLxWLb2221LxMm中其mgdxdW建立作坐标系，重力所作元功为：由动能定理得：22bLLgv0212222MvLbLMgM,Lbxot=0,v=0第五章机械能守恒9方法二：利用牛顿定律22bLLgvdtdvMmggLxgMmdtdv即由牛顿定律得gLxdxdvvgLxdtdxdxdv两种方法结果相同M,Lbxot=0,v=0第五章机械能守恒10例题5.3假定地球的密度是均匀的，并沿地球的直径钻一个洞，质点从很高的位置h落入洞中，求质点通过地心的速度。由动能定理：解：矢径方向如图所示，设通过地心的速度为vdrfdrfRhRR0内外RhRRrdfrdfmv02021内外OmhRr第五章机械能守恒1132333434RGMmrrmrRMGf内又质点在地球内、外受力不同drRGMmrdrrGMmmvRRhR03220213GMmRhvRRh2rGMmf外第五章机械能守恒120kikiEEWi三、质点系动能定理---质点系动能定理nininikiokiiEEW111对所有质点求和：设一个系统内有n个质点，作用于笫i个质点的力所作的功为，由质点动能定理iW第五章机械能守恒13ikiikiEEWW0内外内外iiWW（2）是每个质点所受外力（内力）作功之和，而不是合力功之和.niiniinii内外内外说明：（3）质点系内力的功：研究两质点１、２间作用力与反作用力元功之和rdFrdrdFrdFrdFdA1212即一对内力所作的功仅决定于力和质点间相对位移的标积.（1）质点系所受的力分外力和内力，则内力作的总功一般不为零第五章机械能守恒14例题5.4如图，质量为M的卡车载一质量为m的木箱，以速率v沿平直路面行驶。因故突然紧急刹车，车轮立即停止转动，卡车滑行一定距离后静止，木箱在卡车上相对于卡车滑行了l距离,卡车滑行了L距离。求L和l。巳知木箱与卡车间的滑动摩擦系数为，卡车轮与地面的滑动摩擦系数为12LlfmgNMgNfFmg第五章机械能守恒15卡车和木箱受力如图.只有二者间摩擦力和地面对车的摩擦力F做功，三力之受力质点位移各为.根据质点动能定理得ff、LlLL、、解得LgvlgmmMMvL121222解：解法一（用质点动能定理求解）第五章机械能守恒212102mgmMgLMv卡车：（1）21102mgLlmv木箱：（2）16解法二（用质点系动能定理求解）视卡车与木箱为一质点系.外力F做功，内力做功等于力与相对位移的标积，即gLmM2mgl1根据质点系动能定理，有212102mglMmgLMmv又视木箱为质点，得上面(2)式.(2)(3)联立得与上法相同结果.第五章机械能守恒（3）17（二）保守力做功与势能一、几种常见的力作功1、重力作功jmgPˆjdyidxPrdPWˆˆdymgyy）（1212mgymgyW重力作功只与质点的起始和终止位置有关，而与所经过的路径无关。xabPyy2y1rd第五章机械能守恒1802ˆrrMmGFrdrrMmGrdFdW02ˆ移动位移元，F可近似认为不变，故rd由图知：drrdrdrrdrcoscosˆˆ00于是：drrMmGdW22、万有引力作功如图，M不动，m由a经任一路径到b）（abbarrrrGMmdrrGMmdWWba1112MardrrmbrddrF第五章机械能守恒1921221211()22xxWdWkxdxkxkx在弹性限度内，弹性力所作的功只由弹簧的起始和终了位置决定，而与形变的过程无关。3、弹性力作功kxdxrdFdWikxFˆ如图，O点为平衡位置，拉长到P点时，伸长量为x：万有引力作功只取决于质点的起始和终了位置，与所经过的路径无关。第五章机械能守恒0xxFKmP20保守力：作功只与物体的始末位置有关，而与路径无关的力。二、保守力与非保守力22212121kxkxW）（abrrGMmW1112mgymgyW分析三种力作功的特点反映保守力作功特点的数学表达式：bcdaFF物体沿不同路径从a到b，保守力作功adbacbadbacbrdFrdFWW第五章机械能守恒该类力产生的力场为保守力场。21保守力沿任意闭合路径作功为零。bcda沿闭合路径运动一周，保守力作功：bdalacbrdFrdFrdFW0LldF0保守力的一些判据：(1)对于一维运动，凡是位置x单值函数的力都是保守力,如弹性力f=f(x)=－k(x－x0)是x的单值函数，故它是保守力；(2)对于一维以上的运动，大小和方向都与位置无关的力，如重力f=mg,是保守力;(3)有心力是保守力，例如万有引力、库仑力都是保守力。第五章机械能守恒22①称为耗散力（如滑动摩擦力，将机械能转化为热能）0rdf非保守力：0rdf②（如爆炸力），将其他形态的能（如化学能、电磁能）转化为机械能.所作的功不仅与始、末位置有关，而且与具体路径有关，或沿任一闭合路径一周作功不为零的力。非保守力可分两类：第五章机械能守恒23三、势能证：在保守力场中，选择一个标量函数：如图，先任取一点rC，令：对空间任意点，定义：0)(VrVC)()(0rrAVrVCrArCrB第五章机械能守恒定理对于保守力场，可以定义一个标量函数，使保守力做的功为其中，表示质点从空间点运动到点时保守力所做的功。称为势能（或势函数、位能）。rVBABArVrVrrABArrABrArrV24由于是保守力场，故唯一确定，与运动的路径无关，于是对于空间中的任意点，我们定义的的值确定并且唯一。rrAC)(rV下面证明就是势能)(rVr)()(0rrAVrVC对于空间中任意两点和，按照我们对的定义，有：BrAr)(rV)1()()(0ACArrAVrVA点：)2()()(0BCBrrAVrVB点：由定义：第五章机械能守恒25将上面(1)与(2)两式相减，注意到保守力作功与路径无关，可得：()()()()ABACCBVrVrArrArr即故就是势能。证毕反之，存在势能的力一定是保守力。)()()()(ACBCBArrArrArVrV)()(CABCrrArrA)()()(BABArVrVrrA)(rV注：由证明可见，势能具有一个任意常数0)(VrVC一般我们规定∞点（无穷远处）的势能为零。第五章机械能守恒26(2)势能是相对性的。为确定质点系在任一给定位置的势能值，必须选定某一位置为参考位置（势能零点），规定该点的势能为零.而势能零点可根据问题的需要任意选择；(3)势能是属于系统的。实质上势能是相互作用能；说明(1)势能是状态（位置坐标）的函数，即：(4)自然界中的大部分能量是以引力势能的形式存在。),,()(zyxVrVV)0)()(00rVrdFrVrr（其中1.势能的计算)(rV由定理可得：即某点的势能等于保守力从该点沿任意路径到势能零点的积分值第五章机械能守恒27mgyVPVVVWpp)(12保即：保守力对物体作的功等于物体势能增量负值。0)(rrrdFrV重力势能2三种势能：保守力作功可用势能差表示：rMmGVP221kxVP引力势能弹性势能第五章机械能守恒283势能曲线当坐标系和势能零点一经确定，势能仅是坐标的函数势能随坐标变化的曲线称为势能曲线。如图:),,()(zyxVrVmghVhrVrGMm第五章机械能守恒Vr122kxrV0r29势能曲线的用途：dVrdFdVdW保守力与势能的关系：WV保zVFyVFxVFzyx,,dzzVdyyVdxxVdVdzFdyFdxFrdFzyxVkzVjyVixVFˆˆˆ(1)由势能曲线求保守力第五章机械能守恒30mghVhrVrGMmVr122kx第五章机械能守恒rV0rFxFh-mgFr2GMmrFr重力及其势能万有引力及其势能弹性力及其势能双原子分子及其势能31平衡位置：就是物体所受作用力为零的位置。(2)求平衡位置及判断平衡的稳定性：平衡的稳定性：取决于偏离平衡位置时，物体所受力方向：第五章机械能守恒xOVx0xOVx0xOVx1x0x2022xV(a)稳定平衡(),力始终指向平衡位置；022xV(b)不稳定平衡(),离开平衡位置,力背离平衡位置方向；(c)亚稳平衡;0F(d)随遇平衡（x1~x2,）。xOVx0x'032第五章机械能守恒利用势能曲线求平衡位置：0VFFxO－kxVx122kx例如：弹性势能二维三维情况：特例马鞍形势能曲面中心O处的质点在x方向不稳定平衡，y方向为稳定平衡(3)决定质点的运动范围V0x1x2rV0r双原子分子势能曲线330WWEE外内非内非内保内一、质点系的功能原理（三）机械能守