2018年全国卷3理科数学试题及参考答案

2018年全国卷3理科数学试题及其参考答案第1页（共15页）绝密★启用前试题类型：新课标Ⅲ2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合|10Axx，0,1,2B，则AB()A．0B．1C．1,2D．0,1,2【答案】C【解析】:1Ax，1,2AB【考点】交集2．12ii()A．3iB．3iC．3iD．3i【答案】D【解析】21223iiiii【考点】复数的运算3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫做榫头，凹进部分叫做卯眼，图中的木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()2018年全国卷3理科数学试题及其参考答案第2页（共15页）【答案】A【解析】注意咬合，通俗点说就是小长方体要完全嵌入大长方体中，嵌入后最多只能看到小长方体的一个面，而B答案能看见小长方体的上面和左面，C答案至少能看见小长方体的左面和前面，D答案本身就不对，外围轮廓不可能有缺失【考点】三视图4.若1sin3，则cos2()A．89B．79C．79D．89【答案】B【解析】27cos212sin9【考点】余弦的二倍角公式5.522xx的展开式中4x的系数为()A．10B．20C．40D．80【答案】C【解析】522xx的第1r项为：521035522rrrrrrCxCxx，故令2r，则10345240rrrCxx【考点】二项式定理俯视方向D.C.B.A.2018年全国卷3理科数学试题及其参考答案第3页（共15页）6．直线20xy分别与x轴、y轴交于点,AB两点，点P在圆2222xy上，则ABP面积的取值范围是()A．2,6B．4,8C．2,32D．22,32【答案】A【解析】2,0,0,2AB，22AB，可设22cos,2sinP，则42sin4222sin2,3242PABd122,62ABPPABPABSABdd注：PABd的范围也可以这样求：设圆心为O，则2,0O，故2,2PABOABOABddd，而4222OABd，2,32PABd【考点】点到直线距离、圆上的点到直线距离最值模型(圆的参数方程、三角函数)7．422yxx的图像大致为()【答案】DxxxxyyyyD.C.B.A.OO11OO1111112018年全国卷3理科数学试题及其参考答案第4页（共15页）【解析】12f，排除A、B；32'42212yxxxx，故函数在20,2单增，排除C【考点】函数图像辨识(按照奇偶性、特殊点函数值正负、趋势、单调性(导数)的顺序来考虑)8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10为成员中使用移动支付的人数，2.4DX，46PXPX，则p()A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3【答案】B【解析】由题意得X服从二项分布，即~10,Xp，由二项分布性质可得1012.4DXpp，故0.4p或0.6，而64446610104161PxCppPxCpp即221pp，故0.5p0.6p【考点】二项分布及其方差公式9.ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，若ABC的面积为2224abc，则C()A．2B．3C．4D．6【答案】C【解析】2221sin24ABCabcSabC，而222cos2abcCab故12cos1sincos242abCabCabC，4C【考点】三角形面积公式、余弦定理10.设,,,ABCD是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC的体积最大值为()A．123B．183C．243D．5432018年全国卷3理科数学试题及其参考答案第5页（共15页）【答案】B【解析】如图，O为球心，F为等边ABC的重心，易知OF底面ABC，当,,DOF三点共线，即DF底面ABC时，三棱锥DABC的高最大，体积也最大.此时：693ABCABCABS等边，在等边ABC中，232333BFBEAB，在RtOFB中，易知2OF，6DF，故max19361833DABCV【考点】外接球、椎体体积最值11.设12,FF是双曲线2222:10,0xyCabab的左，右焦点，O是坐标原点，过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若16PFOP，则C的离心率为()A．5B．2C．3D．2【答案】C【解析】渐近线OP的方程为：byxa，利用点到直线的距离公式可求得2PFb，(此结论可作为二级结论来记忆)，在RtABC中，易得OPa，16PFa，在1POF中，由余弦定理可得：22216cos2acaPOFac，又2cosaPOFc222602acaaacc，故3cea【考点】双曲线几何性质、余弦定理解三角形OFECBAD2018年全国卷3理科数学试题及其参考答案第6页（共15页）12.设0.2log0.3a，2log0.3b，则()A．0ababB．0ababC．0ababD．0abab【答案】B【解析】首先由0.2logyx单调递减可知0.20.20.20log1log0.3log0.21a，同理可知21b，0,0abab，排除C、D其次：利用作商法：0.30.30.311log0.2log2log0.41ababab(注意到0ab)abab【考点】利用对数函数单调性确定对数范围、作商法比较大小二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知向量1,2a，2,2b，1,c.若//2cab，则_______.【答案】12【解析】24,2ab，故24【考点】向量平行的坐标运算14.曲线1xyaxe在点0,1处的切线斜率为2，则______.a【答案】3【解析】'1xxyaeaxe，12ka【考点】切线斜率的计算方法15.函数cos36fxx在0,的零点个数为_________.【答案】3【解析】0,x，3,3666tx，由cosyt图像可知，当35,,222t时cos0t，即fx有三个零点或者：令362xk，则93kx，当0,1,2k时，0,x，故3个零点2018年全国卷3理科数学试题及其参考答案第7页（共15页）【考点】换元法(整体法)、余弦函数的图像与性质16.已知点1,1M和抛物线2:4Cyx，过C的焦点且斜率为k的直线与抛物线交于,AB两点，若90AMB，则_______.k【答案】2【解析】(1)常规解法：设直线方程为1xmy，联立214xmyyx可求121244yymyy，由12121212110MBMAyyyyxxxx，可得12m，故2k(2)二级结论：以焦点弦为直径的圆与准线相切设AB中点为N，则由二级结论可知NM准线，1NMyy，故22ABNyyy，由点差法可得，42ABkyy进一步可得二级结论：ABMkyp【考点】直线与抛物线联立(二级结论、点差法)三.解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤..第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17.(12分)等比数列na中，1531,4aaa. (1)求na的通项公式；(2)记nS为na的前n项和.若63mS，求m.【答案】(1)12nna或12nna；(2)6m【解析】(1)25334aaaq，2q，12nna或12nna(2)当2q时，112631mmS，解得6m2018年全国卷3理科数学试题及其参考答案第8页（共15页）当2q时，112633mmS，得2188m无解综上：6m【考点】等比数列通项公式与前n项和公式18.(12分)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：第一种生产方式第二种生产方式86556899762701223456689877654332814452110090(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22nadbcKabcdacbd，2PKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)第二组生产方式效率更高；(2)见解析；(3)有；【解析】(1)第二组生产方式效率更高；从茎叶图观察可知，第二组数据集中在70min~80min之间，而第一组数据集中在80min~90min之间，故可估计第二组的数据平均值要小于第一组数据平均值，事实上168727677798283838485868787888990909191928420E同理274.7E，21EE，故第二组生产方式效率更高(2)由茎叶图可知，中位数7981802m，且列联表为：2018年全国卷3理科数学试题及其参考答案第9页（共15页）超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式515(3)由(2)可知222240155106.63520202020K，故有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异【考点】茎叶图、均值及其意义、中位数、独立性检验19．(12分)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在的平面垂直，M是CD上异于,CD的点．(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)当三棱锥MABC体积的最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.【答案】(1)见解析；(2)255【解析】(1)ABCDCDMBCDCMBCDMDMBMCADNBMCBCCDMCDM(这边只给出了证明的逻辑结构，方便大家阅读，考试还需要写一些具体的内容)(2)ABCS恒定，故要使MABCV最大，则MABCd最大，结合图象可知M为弧CD中点时，MABCV