一元二次方程难点归类

第六课时一元二次方程难点专项专训一：巧用一元二次方程的定义及相关概念求值名师点金：巧用一元二次方程的定义及相关概念求值主要体现在：利用定义或项的概念求字母的值，利用根的概念求字母或代数式的值，利用根的概念解决探究性问题等．利用一元二次方程的定义确定字母的取值1．已知(m－3)x2＋m＋2x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是()A．m≠3B．m≥3C．m≥－2D．m≥－2且m≠32．已知关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－2)x－1＝0.(1)m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程．(2)m取何值时，它是一元一次方程？利用一元二次方程的项的概念求字母的取值3．若关于x的一元二次方程(3a－6)x2＋(a2－4)x＋a＋9＝0没有一次项，则a＝________.4．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－1＝0的常数项为0，求m的值．利用一元二次方程的根的概念求字母或代数式的值5．已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为()A．－1B．0C．1D．26．已知关于x的一元二次方程(k＋4)x2＋3x＋k2－16＝0的一个根为0，求k的值．7．已知实数a是一元二次方程x2－2016x＋1＝0的一个根，求代数式a2－2015a－a2＋12016的值．利用一元二次方程根的概念解决探究性问题8．已知m，n是方程x2－2x－1＝0的两个根，是否存在实数a使(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．专训二：一元二次方程的解法归类名师点金：解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法等．在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果．限定方法解一元二次方程方法1形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解1．方程4x2－25＝0的解为()A．x＝25B．x＝52C．x＝±52D．x＝±252．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为()A．x2－5＝5B．－3x2＝0C．x2＋4＝0D．(x＋1)2＝0方法2当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解3．用配方法解方程x2＋3＝4x，配方后的方程变为()A．(x－2)2＝7B．(x＋2)2＝1C．(x－2)2＝1D．(x＋2)2＝24．解方程：x2＋4x－2＝0.5．已知x2－10x＋y2－16y＋89＝0，求xy的值．方法3能化成形如(x＋a)(x＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解6．(改编·宁夏)一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是()A．x＝－1B．x＝0C．x1＝1，x2＝2D．x1＝－1，x2＝27．解下列一元二次方程：(1)x2－2x＝0；(2)16x2－9＝0；(3)4x2＝4x－1.方法4如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解8．用公式法解一元二次方程x2－14＝2x，方程的解应是()A．x＝－2±52B．x＝2±52C．x＝1±52D．x＝1±329．用公式法解下列方程．(1)3(x2＋1)－7x＝0；(2)4x2－3x－5＝x－2.选择合适的方法解一元二次方程10．方程4x2－49＝0的解为()A．x＝27B．x＝72C．x1＝72，x2＝－72D．x1＝27，x2＝－2711．一元二次方程x2－9＝3－x的根是()A．x＝3B．x＝－4C．x1＝3，x2＝－4D．x1＝3，x2＝412．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是()A．x1＝1，x2＝－3B．x1＝4，x2＝－2C．x1＝－1，x2＝3D．x1＝－4，x2＝213．解下列方程．(1)3y2－3y－6＝0；(2)2x2－3x＋1＝0.用特殊方法解一元二次方程方法1构造法14．解方程：6x2＋19x＋10＝0.15．若m，n，p满足m－n＝8，mn＋p2＋16＝0，求m＋n＋p的值．方法2换元法a．整体换元16．已知x2－2xy＋y2＋x－y－6＝0，则x－y的值是()A．－2或3B．2或－3C．－1或6D．1或－617．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.b．降次换元18．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.c．倒数换元19．解方程x－2x－3xx－2＝2.方法3特殊值法20．解方程：(x－2013)(x－2014)＝2015×2016.专训三：根的判别式的四种常见应用名师点金：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1．已知关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是()A．当k＝0时，方程无解B．当k＝1时，方程有一个实数解C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解2．已知关于x的方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断关于x的方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．利用根的判别式求字母的值或取值范围3．(2015·咸宁)已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？利用根的判别式求代数式的值4．(2015·福州改编)已知关于x的方程x2＋(2m－1)·x＋4＝0有两个相等的实数根，求m－1（2m－1）2＋2m的值．利用根的判别式确定三角形的形状5．已知a，b，c是一个三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋bx＋a－c4＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．专训四：一元二次方程与三角形的综合名师点金：一元二次方程是初中数学重点内容之一，常常与其他知识结合，其中一元二次方程与三角形的综合应用就是非常重要的一种，主要考查一元二次方程的根的概念、根的判别式的应用，一元二次方程的解法及与等腰三角形、直角三角形的性质等知识的灵活运用．一元二次方程与三角形三边关系1．三角形的两边长分别为4和6，第三边长是方程x2－7x＋12＝0的解，则第三边的长为()A．3B．4C．3或4D．无法确定2．根据一元二次方程根的定义，解答下列问题．一个三角形两边长分别为3cm和7cm，第三边长为acm，且整数a满足a2－10a＋21＝0，求三角形的周长．解：由已知可得4a10，则a可取5，6，7，8，9.(第一步)当a＝5时，代入a2－10a＋21，得52－10×5＋21＝－4≠0，故a＝5不是方程的根．同理可知a＝6，a＝8，a＝9都不是方程的根，a＝7是方程的根．(第二步)∴三角形的周长是3＋7＋7＝17(cm)．上述过程中，第一步是根据________________________________________________________________________________________________________________________________________________，第二步应用了________思想，确定a的值的大小是根据______________．一元二次方程与直角三角形3．已知a，b，c是△ABC的三边长，当m0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2max＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．4．已知△ABC的三边长a，b，c中，a＝b－1，c＝b＋1，又已知关于x的方程4x2－20x＋b＋12＝0的根恰为b的值，求△ABC的面积．一元二次方程与等腰三角形5．等腰三角形一条边的长为3，它的另两条边的长是关于x的一元二次方程x2－12x＋k＝0的两个根，则k的值是()A．27B．36C．27或36D．186．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c为△ABC的三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．专训五：可化为一元二次方程的分式方程的应用名师点金：可化为一元二次方程的分式方程的实际应用较广泛，一般应用于营销、行程、工程等问题中，解分式方程的基本思路是化归，去掉分母后转化为一元二次方程，但最后一定要验根，有时可能会产生增根或不符合题意的根．营销问题1．某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完，第二次去采购时发现批发价每件上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的售价均为2.8元，问：第二次采购玩具多少件？(说明：根据销售常识，批发价应该低于销售价)2．小明的爸爸下岗后，做起了经营水果的生意，一天，他先去水果批发市场，用100元购甲种水果，用150元购乙种水果，乙种水果比甲种水果多购进10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克高0.5元，然后到零售市场，都按每千克2.8元零售，结果乙种水果很快售完，甲种水果售出45时，出现滞销，他便按原售价的5折售完剩下的水果，请你帮小明的爸爸算一算，这天卖水果是赔钱了还是赚钱了(不考虑其他因素)？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？行程问题3．从甲站到乙站有150km，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，匀速行驶，1h后快车在慢车前12km，结果快车比慢车早25min到达乙站，快车和慢车每小时各行多少千米？工程问题4．某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天才能完成此项工程．(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天．(2)若甲工程队单独施工a天后，再由甲、乙两工程队合作________天(用含a的代数式表示)可完成此项工程．(3)如果甲工程队施工每天需收取施工费1万元，乙工程队施工每天需收取施工费2.5万元，那么甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？答案专训一1．D点拨：由题意，得m－3≠0，m＋2≥0，解得m≥－2且m≠3.2．解：(1)当m2＋1＝2，m＋1≠0时，它是一元二次方程，解得m＝1.即当m＝1时，原方程可化为2x2－x－1＝0.(2)当m－2≠0，m＋1＝0或者当m＋1＋(m－2)≠0且m2＋1＝1时，它是一元一次方程．解得m＝－1或m＝0.故当m＝－1或m＝0时，它是一元一次方程．3．－2点拨：由题意得a2－4＝0，3a－6≠0.解得a＝－2.4．解：由题意，得m2－1＝0，m－1≠0.解得m＝－1.5．A点拨：∵关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，∴a2－ab＋a＝0.∴a(a－b＋1)＝0.∵a≠0，∴a－b＝－1.6．解：把x＝0代入(k＋4)x2＋3x＋k2－16＝0，得k2－16＝0，解得k＝±4.∵k＋4≠0，∴k≠－4.∴k＝4.7．解：∵实数a是一元二次方程x2－2016x＋1＝0的一个根，∴a2－2016a＋1＝0.∴a2＋1＝2016a，a2－2016a＝－1.∴a2－2015a－a2＋12016＝a2－2015a－2016a2016＝a2－2015a－a＝a2－2016a＝－1.8．解：存在．由题意可知m2－2m－1＝0，n2－2n－1＝0，∴m2－2m＝1，n2－2n＝1.∴(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)＝[7(m2－2m)＋a][3(n2－2n)－7]＝(7＋a)(3－7)＝－4(7＋a)，由－4(a＋7)＝8得a＝－9，故存在实数a，且a的值等于－9.专训二1．C2.C3.C4．解：x2＋4x－2＝0，x2＋4x＝2，(x＋2)2＝6，x＋2＝±6，x1＝－2＋6，x2＝－2－6.5．解：x2－10x＋y2－16y＋89＝0，(x2－1