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第六课时一元二次方程难点专项专训一:巧用一元二次方程的定义及相关概念求值名师点金:巧用一元二次方程的定义及相关概念求值主要体现在:利用定义或项的概念求字母的值,利用根的概念求字母或代数式的值,利用根的概念解决探究性问题等.利用一元二次方程的定义确定字母的取值1.已知(m-3)x2+m+2x=1是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是()A.m≠3B.m≥3C.m≥-2D.m≥-2且m≠32.已知关于x的方程(m+1)xm2+1+(m-2)x-1=0.(1)m取何值时,它是一元二次方程并写出这个方程.(2)m取何值时,它是一元一次方程?利用一元二次方程的项的概念求字母的取值3.若关于x的一元二次方程(3a-6)x2+(a2-4)x+a+9=0没有一次项,则a=________.4.已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-1=0的常数项为0,求m的值.利用一元二次方程的根的概念求字母或代数式的值5.已知关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是-a(a≠0),则a-b的值为()A.-1B.0C.1D.26.已知关于x的一元二次方程(k+4)x2+3x+k2-16=0的一个根为0,求k的值.7.已知实数a是一元二次方程x2-2016x+1=0的一个根,求代数式a2-2015a-a2+12016的值.利用一元二次方程根的概念解决探究性问题8.已知m,n是方程x2-2x-1=0的两个根,是否存在实数a使(7m2-14m+a)(3n2-6n-7)的值等于8?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.专训二:一元二次方程的解法归类名师点金:解一元二次方程时,主要考虑降次,其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法等.在具体的解题过程中,结合方程的特点选择合适的方法,往往会达到事半功倍的效果.限定方法解一元二次方程方法1形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解1.方程4x2-25=0的解为()A.x=25B.x=52C.x=±52D.x=±252.用直接开平方法解下列一元二次方程,其中无解的方程为()A.x2-5=5B.-3x2=0C.x2+4=0D.(x+1)2=0方法2当二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,用配方法求解3.用配方法解方程x2+3=4x,配方后的方程变为()A.(x-2)2=7B.(x+2)2=1C.(x-2)2=1D.(x+2)2=24.解方程:x2+4x-2=0.5.已知x2-10x+y2-16y+89=0,求xy的值.方法3能化成形如(x+a)(x+b)=0的一元二次方程用因式分解法求解6.(改编·宁夏)一元二次方程x(x-2)=2-x的根是()A.x=-1B.x=0C.x1=1,x2=2D.x1=-1,x2=27.解下列一元二次方程:(1)x2-2x=0;(2)16x2-9=0;(3)4x2=4x-1.方法4如果一个一元二次方程易于化为它的一般式,则用公式法求解8.用公式法解一元二次方程x2-14=2x,方程的解应是()A.x=-2±52B.x=2±52C.x=1±52D.x=1±329.用公式法解下列方程.(1)3(x2+1)-7x=0;(2)4x2-3x-5=x-2.选择合适的方法解一元二次方程10.方程4x2-49=0的解为()A.x=27B.x=72C.x1=72,x2=-72D.x1=27,x2=-2711.一元二次方程x2-9=3-x的根是()A.x=3B.x=-4C.x1=3,x2=-4D.x1=3,x2=412.方程(x+1)(x-3)=5的解是()A.x1=1,x2=-3B.x1=4,x2=-2C.x1=-1,x2=3D.x1=-4,x2=213.解下列方程.(1)3y2-3y-6=0;(2)2x2-3x+1=0.用特殊方法解一元二次方程方法1构造法14.解方程:6x2+19x+10=0.15.若m,n,p满足m-n=8,mn+p2+16=0,求m+n+p的值.方法2换元法a.整体换元16.已知x2-2xy+y2+x-y-6=0,则x-y的值是()A.-2或3B.2或-3C.-1或6D.1或-617.解方程:(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=48.b.降次换元18.解方程:6x4-35x3+62x2-35x+6=0.c.倒数换元19.解方程x-2x-3xx-2=2.方法3特殊值法20.解方程:(x-2013)(x-2014)=2015×2016.专训三:根的判别式的四种常见应用名师点金:对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),式子b2-4ac的值决定了一元二次方程的根的情况,利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况,反过来,利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围.利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1.已知关于x的方程kx2+(1-k)x-1=0,下列说法正确的是()A.当k=0时,方程无解B.当k=1时,方程有一个实数解C.当k=-1时,方程有两个相等的实数解D.当k≠0时,方程总有两个不相等的实数解2.已知关于x的方程x2-2x-m=0没有实数根,其中m是实数,试判断关于x的方程x2+2mx+m(m+1)=0有无实数根.利用根的判别式求字母的值或取值范围3.(2015·咸宁)已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0,(1)证明:不论m为何值,方程总有实数根;(2)m为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?利用根的判别式求代数式的值4.(2015·福州改编)已知关于x的方程x2+(2m-1)·x+4=0有两个相等的实数根,求m-1(2m-1)2+2m的值.利用根的判别式确定三角形的形状5.已知a,b,c是一个三角形的三边长,且关于x的一元二次方程(a+c)x2+bx+a-c4=0有两个相等的实数根,试判断此三角形的形状.专训四:一元二次方程与三角形的综合名师点金:一元二次方程是初中数学重点内容之一,常常与其他知识结合,其中一元二次方程与三角形的综合应用就是非常重要的一种,主要考查一元二次方程的根的概念、根的判别式的应用,一元二次方程的解法及与等腰三角形、直角三角形的性质等知识的灵活运用.一元二次方程与三角形三边关系1.三角形的两边长分别为4和6,第三边长是方程x2-7x+12=0的解,则第三边的长为()A.3B.4C.3或4D.无法确定2.根据一元二次方程根的定义,解答下列问题.一个三角形两边长分别为3cm和7cm,第三边长为acm,且整数a满足a2-10a+21=0,求三角形的周长.解:由已知可得4a10,则a可取5,6,7,8,9.(第一步)当a=5时,代入a2-10a+21,得52-10×5+21=-4≠0,故a=5不是方程的根.同理可知a=6,a=8,a=9都不是方程的根,a=7是方程的根.(第二步)∴三角形的周长是3+7+7=17(cm).上述过程中,第一步是根据________________________________________________________________________________________________________________________________________________,第二步应用了________思想,确定a的值的大小是根据______________.一元二次方程与直角三角形3.已知a,b,c是△ABC的三边长,当m0时,关于x的一元二次方程c(x2+m)+b(x2-m)-2max=0有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由.4.已知△ABC的三边长a,b,c中,a=b-1,c=b+1,又已知关于x的方程4x2-20x+b+12=0的根恰为b的值,求△ABC的面积.一元二次方程与等腰三角形5.等腰三角形一条边的长为3,它的另两条边的长是关于x的一元二次方程x2-12x+k=0的两个根,则k的值是()A.27B.36C.27或36D.186.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c为△ABC的三边的长.(1)如果x=-1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;(3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.专训五:可化为一元二次方程的分式方程的应用名师点金:可化为一元二次方程的分式方程的实际应用较广泛,一般应用于营销、行程、工程等问题中,解分式方程的基本思路是化归,去掉分母后转化为一元二次方程,但最后一定要验根,有时可能会产生增根或不符合题意的根.营销问题1.某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具,很快售完,第二次去采购时发现批发价每件上涨了0.5元,用去了150元,所购玩具数量比第一次多了10件,两批玩具的售价均为2.8元,问:第二次采购玩具多少件?(说明:根据销售常识,批发价应该低于销售价)2.小明的爸爸下岗后,做起了经营水果的生意,一天,他先去水果批发市场,用100元购甲种水果,用150元购乙种水果,乙种水果比甲种水果多购进10千克,乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克高0.5元,然后到零售市场,都按每千克2.8元零售,结果乙种水果很快售完,甲种水果售出45时,出现滞销,他便按原售价的5折售完剩下的水果,请你帮小明的爸爸算一算,这天卖水果是赔钱了还是赚钱了(不考虑其他因素)?若赔钱,赔多少?若赚钱,赚多少?行程问题3.从甲站到乙站有150km,一列快车和一列慢车同时从甲站开出,匀速行驶,1h后快车在慢车前12km,结果快车比慢车早25min到达乙站,快车和慢车每小时各行多少千米?工程问题4.某镇道路改造工程,由甲、乙两工程队合作20天可完成.甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天才能完成此项工程.(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天.(2)若甲工程队单独施工a天后,再由甲、乙两工程队合作________天(用含a的代数式表示)可完成此项工程.(3)如果甲工程队施工每天需收取施工费1万元,乙工程队施工每天需收取施工费2.5万元,那么甲工程队至少要单独施工多少天后,再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程,才能使施工费不超过64万元?答案专训一1.D点拨:由题意,得m-3≠0,m+2≥0,解得m≥-2且m≠3.2.解:(1)当m2+1=2,m+1≠0时,它是一元二次方程,解得m=1.即当m=1时,原方程可化为2x2-x-1=0.(2)当m-2≠0,m+1=0或者当m+1+(m-2)≠0且m2+1=1时,它是一元一次方程.解得m=-1或m=0.故当m=-1或m=0时,它是一元一次方程.3.-2点拨:由题意得a2-4=0,3a-6≠0.解得a=-2.4.解:由题意,得m2-1=0,m-1≠0.解得m=-1.5.A点拨:∵关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是-a(a≠0),∴a2-ab+a=0.∴a(a-b+1)=0.∵a≠0,∴a-b=-1.6.解:把x=0代入(k+4)x2+3x+k2-16=0,得k2-16=0,解得k=±4.∵k+4≠0,∴k≠-4.∴k=4.7.解:∵实数a是一元二次方程x2-2016x+1=0的一个根,∴a2-2016a+1=0.∴a2+1=2016a,a2-2016a=-1.∴a2-2015a-a2+12016=a2-2015a-2016a2016=a2-2015a-a=a2-2016a=-1.8.解:存在.由题意可知m2-2m-1=0,n2-2n-1=0,∴m2-2m=1,n2-2n=1.∴(7m2-14m+a)(3n2-6n-7)=[7(m2-2m)+a][3(n2-2n)-7]=(7+a)(3-7)=-4(7+a),由-4(a+7)=8得a=-9,故存在实数a,且a的值等于-9.专训二1.C2.C3.C4.解:x2+4x-2=0,x2+4x=2,(x+2)2=6,x+2=±6,x1=-2+6,x2=-2-6.5.解:x2-10x+y2-16y+89=0,(x2-1
本文标题:一元二次方程难点归类
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