人教版初中数学第二十八章锐角三角函数知识点

第二十八章锐角三角函数一、目标与要求1.探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。2.掌握000604530、、等特殊角的三角函数值。3.掌握三角函数定义式：sinA=ca，cbAcos，tanA=ba，cotA=ab。会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的锐角。4.运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题。5.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；初步感受高等数学中的微积分思想。6.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。7.能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题。二、知识框架三、重点、难点（1）锐角三角函数的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函数值也很重要，应该牢牢记住。（2）能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题。（3）锐角三角函数的概念。（4）经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，锻炼学生观察、分析，解决问题的能力。四、中考所占分数及题型分布本章会出1道选择，1道简答题，本章约占8-10分。第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。222cba例.在锐角不变的情况下，我们过它的一边上一些点分别向另一边作垂线，垂足分别为321、C、CC……得到11RtABC△、和22RtABC△，33RtABC△，它们之间有什么关系？∵一组直角三角形在一个锐角相等时，它们彼此相似。∴11RtABC△∽22RtABC△∽33RtABC△即331122123BCBCBCABABAB，也就是说，当锐角A的度数一定时，无论这个三角形大小如何，∠A的对边于斜边的比都是一个固定值。在直角三角形中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作Asin。同理可知，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作Acos。锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作Atan。2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：定义表达式取值范围关系正弦斜边的对边AAsincaAsin1sin0A(∠A为锐角)BAcossinBAsincos1cossin22AA余弦斜边的邻边AAcoscbAcos1cos0A(∠A为锐角)正切的邻边的对边AtanAAbaAtan0tanA(∠A为锐角)BAcottanBAtancotAAcot1tan(倒数)1cottanAA余切的对边的邻边AAAcotabAcot0cotA(∠A为锐角)例.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值．解：如图（1）：∵AC=5，BC=3，∴34AB，∴334sin34BCAAB，334sin34BCAAB，如图（2）：∵AC1BA5，，∴BC=2，∴25sin5BCAAB，5sin5ACBAB例.如图，在RtABC△中，∠C=90°，BC=12，AC=5，求sinA，cosA，tanA的值。解：在RtABC△中，∠C=90°，由勾股定理得：AB=13，∴12sin13BCAAB，5cos13ACAAB，12tan5BCAAC3、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值三角函数0°30°45°60°90°sin02122231cos12322210tan03313不存在cot不存在31330例.求下列各式的值。（1）sin300﹒cos300+cos600﹒tan600（2）3tan300+tan450-2tan450+2sin600（3）1001201692sin302解：（1）原式=1313332224（2）原式=3131212332（3）原式=121321228.2解直角三角形及其应用28.2.1解直角三角形例．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？（1）三边之间关系：a2+b2=c2(勾股定理)（2）锐角之间关系：∠A+∠B=90°．（3）边角之间关系sin;cos;tan;cotababAAAAccbasin;cos;tan;cotbabaBBBBccab利用这些关系，知道其中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素。例.如图，在ABC△中，090C，AC=5cm，BAC的平分线交BC于D,103cm3AD，求B，AB，BC。解：∵在ABC△中，090C，AC=5cm，AD为A的平分线，1033AD，53cos21033CAD，030CAD，060BAC，000906030B，则055210,53tan30ABcmBCcm例.一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长．解：过点B作BM⊥FD于点M．在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10∴∠ABC=30°∴AB=20，在直角三角形BAC中，由勾股定理得BC=10∵AB∥CF∴∠BCM=30°ACB∴53MB在直角三角形BMC中，由勾股定理得CM=15在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°∴∠EDF=45°∴53MDBM∴1553CDCMMD．28.2.2应用举例