北京四中2016届高三下学期开学考试数学(理)试题Word版含答案

开始m=1,i=1m=m(2-i)+1i=i+1m=0?结束输出i是否高三数学（理科）第二学期开学测试卷（答案）（本卷答题时间120分钟，满分150分）班级学号姓名（一）、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数2421ii()A.12iB.12iC.12iD.12i答案：D2．已知集合|11Mxx，|01xNxx，则MNA．|01xxB．|01xxC．|0xxD．|10xx答案：A3．执行如图所示的程序框图，则输出的i值为A．3B．4C．5D．6答案：B4．“1a”是“函数()cosfxaxx在R上单调递增”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A5．给出下列函数：①2logyx；②2yx；③2xy；④2yx.其中图象关于y轴对称的是A.①②B.②③C.①③D.②④答案：B6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．3B．12C．2D．7答案：A7.设斜率为2的直线l过抛物线2(0)yaxa的焦点F,且与y轴交于点A,若OAF（O为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为A.24yxB.24yxC.28yxD.28yx8.某地实行阶梯电价，以日历年(每年1月1日至12月31日)为周期执行居民阶梯电价，即：一户居民用户全年不超过2880度（1度=千瓦时）的电量，执行第一档电价标准，每度电0.4883元；全年超过2880度至4800度之间的电量，执行第二档电价标准，每度电0.5383元；全年超过4800度以上的电量，执行第三档电价标准，每度电0.7883元.下面是关于阶梯电价的图形表示，其中正确的有电费（元/年）年用电量（度）480028802439.841406.30BAO①②0.48830.53830.7883单价（元/度）年用电量（度）28804800o0.7883元/度0.5383元/度0.4883元/度线段PQ左侧阴影部分的面积表示年用电量为x度时的电费xo48002880年用电量（度）PQ③参考数据：0.4883元/度2880度=1406.30元，0.5383元/度(4800-2880)度+1406.30元=2439.84元.(A)①②(B)②③(C)①③(D)①②③答案：B(二)、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题纸上.9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一.”就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为：V＝112×(底面的圆周长的平方×高)．则圆周率的取值为.答案：310．口袋中有三个大小相同、颜色不同的小球各一个，每次从中取一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取了5次停止种数为。答案：4211．在各项均为正数的等比数列{}na中，若22a=，则132aa+的最小值是．答案：4212.过双曲线22221(0)xybaab的左焦点(,0)(0)Fcc作圆222xya的切线,切点为E,延长FE交双曲线的右支于点P,若1()2OEOFOP,则双曲线的离心率为.答案：513．如果实数,xy满足关系1020,00xyxyxy则273xyzx的取值范围为.答案：9[,3]514．在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，若2,3cC，且sinsin()2sin20CBAA，则下列命题正确的序号是.（1）2ba（2）ABC的周长为223（3）ABC的面积为233（4）ABC的外接圆半径为233答案：（2），（3），（4）(三)、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.本大题共6小题，共80分．15.(本小题满分13分）已知函数2()cos3sincosfxxxxa的图象过点(,1)6.（Ⅰ）求实数a的值及函数()fx的最小正周期；（Ⅱ）求函数()fx在[0,]2上的最小值.解：（Ⅰ）由2()cos3sincosfxxxxa1cos23sin222xxa1sin(2)62xa.因为函数()fx的图象过点(,1)6，所以1()sin(2)16662fa.解得12a.函数()fx的最小正周期为.…………………………………………………………7分（Ⅱ）因为02x，所以2x.则sin(2)x.所以当2x，即x时，函数()fx在[0,]2上的最小值为12.……13分16．（本题满分13分）某网店营销部门为了统计某市猴年春节期间在某网店购物情况，随机抽查了该市除夕当天60名网络购物金额情况，得到如下数据统计表（如图（1））：若购物金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3:2．（Ⅰ）试确定x，y，p，q的值并完成图(2)；（Ⅱ）该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设为选取的3人中“网购达人”的人数，求的分布列和数学期望．解析：（Ⅰ）根据题意，有39151860,182.39153xyyx+解得9,6.xy网购金额(单位:千元)频数频率(0,0.5]30.05(0.5,1]xp(1,1.5]90.15(1.5,2]150.25(2,2.5]180.30(2.5,3]yq合计601.00(1)(2)金额（千元）频率组距0.70.10.20.30.40.50.600.511.522.530.15p，0.10q．…………………………………………6分（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有210=45人，“非网购达人”有310=65人．故的可能取值为0，1，2，3；03463101(0)6CCPC，12463101(1)2CCPC，21463103(2)10CCPC，30463101(3)30CCPC．所以的分布列为：0123p16123101301131601236210305E．……………………………………13分17．（本题满分14分）如图1，梯形AECD中，//AECD,点B为边AE上一点，CBBA,2222ABCDBCBE,把BCE沿边BC翻折成图2，使45EBA.(1)求证:BDEC；(Ⅱ)求平面ADE与平面CDE所成锐二面角的余弦值.EABCDECDBA图1图2证明：(1)取AB中点O，连结EO，DO在ABE中，2,2ABBE，45EBA∴242222cos452AE∴2AEAEBEEOAB………3分∵CBBA，CBBE∴CB平面ABE∴平面ABCD平面ABEEO平面ABCDBDEO………4分四边形ABCD为直角梯形，22ABCDBC，ABBC四边形OBCD为正方形BDCO………6分又EOCOOBD平面COEBDEC………7分(Ⅱ)由(1)知,,OEODOA两两互相垂直，故建立如图所示空间直角坐标系Oxyz设1OA，则(0,1,0)A，(0,1,0)B，(1,1,0)C，(1,0,0)D，(0,0,1)E………5分设平面CDE的法向量为1111(,,)nxyz，则1100nCDnDE，11100yxz，取1(1,0,1)n………9分设平面ADE的法向量为2222(,,)nxyz，则2200nAEnAD，222200yzxy，取2(1,1,1)n………11分yzxAOBCDEAOBCDEFG12121226cos,323nnnnnn平面ADE与平面CDE所成锐二面角的余弦值为63………14分18．（本题满分13分）设两个函数()fx和()gx，其中()fx是三次函数，且对任意的实数x，都有2()2()9fxfxx43x，(0)1f，()lnmgxxxx(1)m.（1）求函数()fx的极值；（2）证明：对于任意的12,(0,)xx都有12()()fxgx成立.解：（1）由题意可设32()(,,,)fxaxbxcxdabcdR，则(0)1f，得1d又2()32fxaxbxc，2()32fxaxbxc22()2()923943fxfxaxbxcxx比较系数有1,2,1abc32()21fxxxx，2()341fxxx令()0fx，得113x；()0fx，得13x或1x故函数()fx在1(,)3上单调递减，在1(,1)3上单调递增，在(1,)上单调递减故当13x时，123()=()=327fxf极小值，当1x时，()=(1)=1fxf极大值……………6分（2）要证明对于任意的12,(0,)xx都有12()()fxgx成立只需证当12,(0,)xx时，2min1max()()gxfx当1m时，1()lngxxxx，则22211()ln1lnxgxxxxx当(0,1)x时，()0gx，当(1,)x时，()0gx函数()gx在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增min1(ln)1xxx由（1）知对任意1(0,)x，1max()1fx又1m，1()lnln1mgxxxxxxx当12,(0,)xx时，2min1max()()gxfx成立故对于任意的12,(0,)xx都有12()()fxgx成立…………………………13分19.(本小题满分14分)已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在y轴上的椭圆C的右顶点和上顶点分别为A、B，若BAO的面积为22．且直线AB经过点2,32P（1）求椭圆C的方程；（2）过点1(,0)3S的动直线l交椭圆C于MN、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以MN为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．解析:（1）由题意，椭圆的上顶点为0,a，右顶点为,0b，则1222ab①xyl+abAB:=1，即：232+ab=1②，所以2,1ab，椭圆C的方程是x2+22y=1…………………………………………5分（2）若直线l与x轴重合，则以MN为直径的圆是221xy，若直线l垂直于x轴，则以MN为直径的圆是22116)3(9xy．由22221,116(),39xyxy解得1,0.xy即两圆相切于点(1)0，．因此所求的点T如果存在，只能是(1)0，．事实上，点T(1)0，就是所求的点．证明如下：当直线l垂直于x轴时，以MN为直径的圆过点T(1)0，．若直线l不垂直于x轴，可设直线13lykx：．由221(),31.2ykxyx即222221220.39()kxkxk记点1122,,()(),MxyNxy,则2122212223,2129.2kxxkkxxk又因为111,?()TMxy,22TN1,