华师大版八年级数学上册第13章全等三角形复习课件

小结与复习第13章全等三角形要点梳理考点讲练课堂小结课后作业1．命题判断某一件事情的语句叫做.注意两点“判断”和“语句”．所谓判断就是要作出肯定或否定的回答，一般形式：“如果……，那么……”“若……，则……”“……是……”等，但是，如“连结A、B两点”就不是命题；所谓语句，要求完整，且是陈述句，不是疑问句、祈使句等，如“如果两直线平行”叙述不完整，也不是命题．2．命题的组成每个命题都是由和两部分组成的．条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．命题一般写成“如果……，那么……”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．条件结论要点梳理命题3．命题的真假命题有真有假，其中正确的命题叫做；错误的命题叫做.事实上，要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例．要说明一个命题是真命题需根据基本事实和定理证明．4．基本事实与定理经过长期的实践总结出来，并把它们作为判断其他的命题真假的原始依据，这样的真命题叫做.从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做.真命题假命题基本事实定理5．判定三角形全等主要有五种方法：(1)全等三角形的定义：三边对应相等，三角对应相等的两个三角形；(2)三边对应相等的两个三角形(简记为：S.S.S.)；(3)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形(简记为：A.S.A.)；(4)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为：A.A.S.)；(5)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为：S.A.S.)．若是直角三角形，则除了上述五种方法外，还有一种方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简记为：H.L.)．全等全等全等6．证全等三角形的思路已知两边找夹角S.A.S.找直角H.L.找另一边S.S.S.已知一边一角边为角的对边找任一角A.A.S.边为角的邻边找夹角的另一边S.A.S.找夹边的另一角A.S.A.找边的对角A.A.S.已知两角找夹边A.S.A.找任一边A.A.S.7．全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等；(2)全等三角形的面积相等，周长相等；(3)全等三角形的对应线段(高线、中线、角平分线)相等．8．等腰三角形的性质和判定(1)性质：等腰三角形的两底角相等，简写成“等边对等角”．(2)判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．简称“等角对等边”，它的逆定理应该是“等边对等角”．9．等边三角形(1)等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．10．尺规作图把只能使用这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图．没有刻度的直尺和圆规11．常见的基本作图(1)作等于已知线段；(2)作一个角等于角；(3)作已知角的平分线；(4)过已知点作已知直线的；(5)作已知线段的垂直线．12．互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的，而第一个命题的结论是第二个命题的，那么这两个命题叫做互逆命题．13．逆命题每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成，并将结论改成，便可以得到原命题的逆命题．一条线段已知垂线平分结论条件结论条件[注意]每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可以得到原命题的逆命题．但原命题正确，它的逆命题未必正确．如对于真命题“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是直角”，此命题就是一个假命题．14．逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么，它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的定理．[注意]每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理．如“对顶角相等”就没有逆定理．逆15．垂直平分线到线段两端点的距离相等的点在这条线段的.它的逆定理是：线段垂直平分线上的点到.[注意]前面是线段垂直平分线的判定，后面是线段垂直平分线的性质．16．角的平分线角的平分线上的点到角的两边的距离相等．它的逆定理是：到角的两边距离相等的点在.[注意]前面是角平分线的性质，后面是角平分线的判定．垂直平分线上线段两端点的距离相等角的平分线上例1下列命题中是假命题的是()A．三角形的内角和是180°B．多边形的外角和都等于360°C．五边形的内角和是900°D．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和考点一判断命题真假考点讲练【解析】要说明一个命题是真命题，需要经过证明它是正确的．对于A、B、D来说，都是经过证明，被认为是正确的，而五边形的内角和是540°，所以C不正确，故选C.C命题这部分内容的概念多、理论性强，看似杂乱无章，其实只要抓住三点，一切问题也就迎刃而解．主要是识别命题、找出命题的条件和结论、会判断命题的真假．方法总结1.下列命题：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③对顶角相等；④内错角相等；其中真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个针对训练CDFDEEF∠D∠E∠F角角角边边边AC=AB=BC=∠A=∠B=∠C=例2如图，已知△ABC≌△DEF，请指出图中对应边和对应角.ABCFDE【解析】根据“全等三角形的对应边相等，对应角相等”解题.考点二全等三角形的性质两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角与大角，小角与小角分别是对应角.有对顶角的，两个对顶角一定为一对对应角.有公共边的，公共边一定是对应边.有公共角的，公共角一定是对应角.方法总结ABCED2.如图，已知△ABC≌△AED若AB＝6，AC＝2,∠B＝25°，你还能说出△ADE中其他角的大小和边的长度吗？解：∵△ABC≌△AED，∴∠E＝∠B＝25°（全等三角形对应角相等），AC=AD=2，AB=AE=6（全等三角形对应边相等）.针对训练例3已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求证：△ABC≌△DCB．∠ABC＝∠DCB(已知），BC＝CB（公共边），∠ACB＝∠DBC（已知），证明：在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（A.S.A.）.BCAD【解析】运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等”进行判定．考点三全等三角形的判定3.已知△ABC和△DEF,下列条件中,不能保证△ABC和△DEF全等的是()A.AB=DE，AC=DF，BC=EFB.∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DFC.AB=DE，AC=DF，∠A=∠DD.AB=DE，BC=EF，∠C=∠FD针对训练4.如图所示，AB与CD相交于点O,∠A=∠B，OA=OB添加条件，所以△AOC≌△BOD理由是.AODCB∠C=∠D或∠AOC=∠BODA.A.S.或A.S.A.考点四全等三角形的性质与判定的综合应用例4如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点G,交AB于点E,EF∥BC交AC于点F,求证：∠DEC=∠FEC.ABCDFEG【解析】欲证∠DEC=∠FEC由平行线的性质转化为证明∠DEC=∠DCE只需要证明△DEG≌△DCG.ABCDFEG证明：∵CE⊥AD,∴∠AGE=∠AGC=90°.在△AGE和△AGC中，∠AGE=∠AGC，AG=AG，∠EAG=∠CAG，∴△AGE≌△AGC(A.S.A.).∴GE=GC.在△DGE和△DGC中，EG=CG，∠EGD=∠CGD=90°，DG=DG，∴△DGE≌△DGC(S.A.S.).∴∠DEG=∠DCG.∵EF//BC,∴∠FEC=∠ECD，∴∠DEG=∠FEC.利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很式，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.方法总结5.如图，OB⊥AB，OC⊥AC，垂足为B，C，OB=OC，∠BAO=∠CAO吗？为什么？OCBA解：AO平分∠BAC.理由如下：∵OB⊥AB,OC⊥AC，∴∠B=∠C=90°.在Rt△ABO和Rt△ACO中，OB=OC，AO=AO，∴Rt△ABO≌Rt△ACO（H.L.）.∴∠BAO=∠CAO.针对训练考点五利用全等三角形解决实际问题例5如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？ABCD【解析】将本题中实际问题转化为数学问题就是证明BD=CD.由已知条件可知AB=AC.AD⊥BC.解：相等，理由如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ADB和Rt△ADC中，AD=AD，AB=AC，∴Rt△ADB≌Rt△ADC(H.L.).∴BD=CD.利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离，长度，还可对某些因素作出判断，一般采用以下步骤：（1）先明确实际问题；（2）根据实际抽象出几何图形；（3）经过分析，找出证明途径；（4）书写证明过程.方法总结6.小明想设计一种方案，测一下沼泽地的宽度AB的长度，如图所示，他在AB的垂线BM上分别取出C，D两点，使CD＝BC，再过D点作出BM的垂线DN，并在DN上找一点E，使A，C，E三点共线，这时所测得DE的长就是这块沼泽地的宽AB的长度，你能说明理由吗？解：在△ABC和△EDC中，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，BC＝DC，根据“A.S.A.”的判定定理可以判定△ABC≌△EDC，再由全等三角形的对应边相等，可得AB＝DE.针对训练考点六等腰三角形的性质与判定例6如图，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.求证：∠BAC=2∠DBC.ABCD12E【解析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC的平分线，来获取角的数量关系.证明：作∠BAC的平分线AE,交BC于点E,如图，则11=2=.2BAC∵AB=AC,∴AE⊥BC.∴∠2+∠ACB=90°.∵BD⊥AC,∴∠DBC+∠ACB=90°.∴∠2=∠DBC.∴∠BAC=2∠DBC.等腰三角形的性质与判定是本章的重点之一，它们是证明线段相等和角相等的重要依据，等腰三角形的特殊情形—等边三角形的性质与判定应用也很广泛，有一个角是30°的直角三角形的性质是证明线段之间的倍分关系的重要手段.方法总结针对训练7.如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°,点D是AC上的一点，AE垂直BD的延长线于点E,且AE=BD.求证：BD平分∠ABC.12ABDE12CCFABDE12证明：延长AE交BC的延长线于点F,如图所示.∵∠ACB=90°,∴∠ACF=∠ACB=90°.∵∠F+∠FAC=90°,∴∠F+∠EBF=90°.∵∠FAC=∠EBF.在△ACF和△BCD中，∠FAC=∠DBC,AC=BC,∠ACF=∠BCD,∴△ACF≌△BCD(ASA).∴AF=BD.FABDE12在△AEB和△FEB中，AE=FE,EB=EB,∠AEB=∠FEB,∴△AEB≌△FEB(S.A.S.).C∵AE=BD,12∴∠ABE=∠FBE,即BD平分∠ABC.∴AE=EF.考点七等边三角形的性质与判定例7如图，等边△ABC中，点D，E，F分别同时从点A，B，C出发，以相同的速度在AB，BC，CA上运动，连结DE，EF，DF．求证：△DEF是等边三角形.【解析】根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA，AD=BE=CF，进一步证得BD=EC=AF，即可证得△ADF≌△BED≌△CFE，根据全等三角形的性质得出DE=EF=FD，即可证得△DEF是等边三角形.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA.∵AD=BE=CF，∴BD=EC=AF.在△ADF，△BED和△CFE中，AD＝BE＝CF,∠A＝∠B＝∠C,BD＝CE＝AF,∴△ADF≌△BED≌△CFE，∴DE=EF=FD，∴△DEF