求函数值域练习附答案

师生互动，善教乐学1/10班级：一对一所授年级+科目：高一数学授课教师：课次：第次学生：上课时间：教学目标熟练掌握求函数值域的方法教学重难点求函数值域的方法求函数值域——快速练习一．选择题1．（2006•陕西）函数f（x）=（x∈R）的值域是（）A．（0，1）B．（0，1]C．[0，1）D．[0，1]考点：函数的值域。811365分析：本题为一道基础题，只要注意利用x2的范围就可以．解答：解：∵函数f（x）=（x∈R），∴1+x2≥1，所以原函数的值域是（0，1]，点评：注意利用x2≥0（x∈R）．2．函数y=（x∈[2，6]）的值域是（D）A．RB．（﹣∞，0）∪（0，+∞）C．D．考点：函数的值域。811365分析：由函数的定义域可先求x﹣1的范围，进一步求解函数的值域．解答：解：∵2≤x≤6则1≤x﹣1≤5，∴点评：本题主要考查了直接法求解函数的值域，属于基础试题．3．f（x）的定义域为[﹣2，3]，值域是[a，b]，则y=f（x+4）的值域是（）A．[2，7]B．[﹣6，﹣1]C．[a，b]D．[a+4，b+4]考点：函数的值域。811365分析：因为从f（x）到y=f（x+4），其函数图象只是向左平移了4个单位；利用左右平移的函数只是自变量发生了变化，而函数值不变，可以直接求出答案．解答：解：因为从f（x）到y=f（x+4），其函数图象只是向左平移了4个单位，自变量发生了变化，而函数值不变，所以y=f（x+4）的值域仍为[a，b]．点评：本题借助于图象平移来研究函数的值域．函数的平移变化分为两种：一：左右平移的函数只是自变量发生了变化，而函数值不变；二：上下平移的函数只是函数值发生了变化，而自变量不变．4．函数y=的值域是（B）A．[﹣1，1]B．（﹣1，1]C．[﹣1，1）D．（﹣1，1）考点：函数的值域。811365师生互动，善教乐学2/10分析：进行变量分离y==﹣1，若令t=1+x2则可变形为y=（t≥1）利用反比例函数图象求出函数的值域．解答：解法一：y==﹣1．∵1+x2≥1，∴0＜≤2．∴﹣1＜y≤1．解法二：由y=，得x2=．∵x2≥0，∴≥0，解得﹣1＜y≤1．点评：此类分式函数的值域通常采用逆求法、分离变量法，应注意理解并加以运用．解法三：令x=tanθ（﹣＜θ＜），则y==cos2θ．∵﹣π＜2θ＜π，∴﹣1＜cos2θ≤1，即﹣1＜y≤1．5．在区间（1，+∞）上不是增函数的是（C）A．y=2x﹣1B．C．y=2x2﹣6xD．y=2x2﹣2x考点：函数单调性的判断与证明。811365分析：由于函数y=2x﹣1在R上是增函数，故排除A，由在区间（1，+∞）上是增函数，故排除B．利用二次函数的图象特征和性质可得C满足条件，应排除D．解答：解：由于函数y=2x﹣1在R上是增函数，故排除A．由于函数在区间（1，+∞）上是增函数，故在区间（1，+∞）上是增函数，故排除B．由于二次函数y=2x2﹣6x的对称轴为x=，开口向上，故函数在[，+∞）上是增函数，在（﹣∞，]上是减函数，故它在区间（1，+∞）上不是增函数，故满足条件．由于二次函数y=2x2﹣2x的对称轴为x=，故函数在[，+∞）上是增函数，在（﹣∞，]上是减函数，故它在区间（1，+∞）上是增函数，故排除D．点评：二．填空本题主要考查函数的单调性的判断和证明，属于基础题．6．函数的值域为（﹣∞，1]．分析：先确定函数的定义域，再考查函数在定义域内的单调性，根据函数的单调性来确定函数的值域．师生互动，善教乐学3/10解答：解：函数的定义域是（﹣∞，1]，且在此定义域内是减函数，∴x=1时，函数有最大值为1，x→﹣∞时，函数值y→﹣∞，∴函数的值域是（﹣∞，1]．点评：先利用偶次根式的被开方数大于或等于0求出函数的定义域，再判断函数的单调性，由函数的单调性确定函数的值域．7．函数的值域是（﹣∞，1）∪（1，+∞），的值域是（0，5]．分析：（1）把原函数化为y=1﹣，根据反比例函数的性质即可求解；（2）先把函数化为：2yx2﹣4yx+3y﹣5=0，根据判别式△≥0即可得出函数的值域．解答：解：（1）∵函数=1﹣，∴函数的值域为（﹣∞，1）∪（1，+∞）；（2）原式可化为：2yx2﹣4yx+3y﹣5=0，∴△=16y2﹣8y（3y﹣5）≥0，∴y（y﹣5）≤0，∴0≤y≤5，，又y=0不可能取到故答案为：（0，5]．点评：本题考查了函数的值域，属于基础题，关键是掌握函数值域的两种不同求法．8．求函数y=x+的值域[，+∞）．考点：函数的值域。811365专题：计算题；转化思想。分析：先对根式整体换元（注意求新变量的取值范围），把原问题转化为一个二次函数在闭区间上求值域的问题即可．解答：解：令t=，（t≥0），则x=，问题转化为求函数f（t）==在t≥0上的值域问题，因为t≥0时，函数f（t）有最小值f（0）=．无最大值，故其值域为[，+∞）．即原函数的值域为[，+∞）．点评：本题主要考查用换元法求值域以及二次函数在闭区间上求值域问题．换元法求值域适合于函数解析式中带根式且根式内外均为一次形式的题目．9．函数f（x）=x+|x﹣2|的值域是[2，+∞）．分析：根据函数的解析式，去绝对值符号，根据函数的单调性求得函数的值域．师生互动，善教乐学4/10解答：解：因为当x∈（﹣∞，2]时，f（x）=2；当x∈（2，+∞）时，f（x）=2x﹣2＞2，故f（x）的值域是[2，+∞）．点评：本题考查函数的值域，去绝对值符号是解题的关键，属基础题．10．已知函数，则函数f（x）的值域为（﹣∞，2]．分析：根据函数解析式的形式：采取换元法，令t=，t≥0，转化为二次函数f（t）=2t﹣t2+1在[0，+∞）上求函数的值域，利用配方法即可求得结果．解答：解：令t=，t≥0，则x=t2﹣1，∴f（t）=2t﹣t2+1=﹣（t﹣1）2+2，t≥0，∴f（x）≤2，∴函数f（x）的值域为（﹣∞，2]．点评：本题考查利用换元法求函数的值域，体现了转化的思想方法，同时考查二次函数在定区间上的最值问题，注意换元后引进新变量的范围，是易错点，属基础题．11．函数的值域f（x）=2x﹣3+的值域是（﹣∞，4]．分析：令=t，将函数转化成关于t的二次函数求解．解答：解：令=t，t≥0，则x=，∴y=，当且仅当t=1时取等号故所求函数的值域为（﹣∞，4]，点评：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域．换元法是一种重要的数学解题方法，掌握它的关键在于通过观察、联想，发现与构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式）．12．函数的值域是（﹣∞，1]．分析：已知f（x）的定义域，利用导数判断函数f（x）的单调性，然后再求其值域；解答：解：∵函数，∴f′（x）=，∵x≥2，∴f′（x）＜0，∴f（x）为减函数；f（x）≤f（2）=1，∴函数f（x）的值域为（﹣∞，1]，故答案为（﹣∞，1]．点评：此题考查函数的值域，利用导数先判断函数的单调性，再求值域，是一种新的方法，同学们要掌握．13．函数的值域：y=为[0，2]．分析：设μ=﹣x2﹣6x﹣5，欲求原函数的值域，只须考虑μ的取值范围即可，根据二次函数的图象与性质即可求得μ的取值范围，从而问题解决．解答：解析：设μ=﹣x2﹣6x﹣5（μ≥0），则原函数可化为y=．又∵μ=﹣x2﹣6x﹣5=﹣（x+3）2+4≤4，∴0≤μ≤4，故∈[0，2]，∴y=的值域为[0，2]．故答案为：[0，2]点评：本题以二次函数为载体考查根式函数的值域，属于求二次函数的最值问题，属于基本题．师生互动，善教乐学5/1014．函数y=x2﹣2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为{﹣1，0，3}．分析：根据所给的函数的解析式和定义域，做出当自变量取定义域中的不同值时的对应的值域中的结果，写出值域．解答：解：∵函数y=x2﹣2x的定义域为{0，1，2，3}，∴当x=0时，y=0；当x=1时，y=﹣1；当x=2时，y=0；当x=3时，y=3综上可知值域对应的集合是{﹣1，0，3}故答案为：{﹣1，0，3}点评：本题考查函数的值域，本题解题的关键是求出定义域对应的函数值，做出值域对应的集合，本题是一个基础题．15．下列函数中在（﹣∞，0）上单调递减的④．①；②y=1﹣x2；③y=x2+x；④．分析：对于①函数在（﹣∞，﹣1）上单调递增，可判定是否符合题意；对于②y=1﹣x2在（﹣∞，0）上单调递增，故不符合题意；对于③根据开口向上与对称轴为x=，可判定单调性；对于④根据定义域为（﹣∞，1），以及复合函数的单调性可知是否正确．解答：解：①=1﹣，在（﹣∞，﹣1）上单调递增，故不符合题意；②y=1﹣x2在（﹣∞，0）上单调递增，故不符合题意；③y=x2+x开口向上，对称轴为x=，在（﹣∞，﹣）上单调递减，（，+∞）上单调递增，故不符合题意；④，定义域为（﹣∞，1），在（﹣∞，1）上单调递减，故正确故答案为：④点评：本题主要考查了二次函数、分式函数、根式函数单调性的判断，属于基础题．16．已知二次函数f（x）=2x2﹣4x+3，若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，则a的取值范围是分析：二次函数图象的对称轴为直线x=1，开口朝上，说明在区间（﹣∞，1）上函数为减函数，在区间（1，+∞）上是增函数．函数在区间[2a，a+1]上不单调，说明在此区间上函数有减也有增，因此不难求出实数a的取值范围．解答：解：根据公式，二次函数f（x）=2x2﹣4x+3图象的对称轴为：直线x=，即直线x=1，函数f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，说明直线x=1在区间[2a，a+1]内部因此列式：2a＜1＜a+1所以a的取值范围是0＜a＜点评：本题以二次函数为载体，考查了函数单调性的判断与证明，属于基础题．牢记二次函数图象的规律，利用图象结合函数的单调性加以判断，是解决本题的关键．17．函数f（x）在[﹣3，3]上是减函数，且f（m﹣1）﹣f（2m﹣1）＞0，则m的取值范围是．分析：先将题中条件：“f（m﹣1）﹣f（2m﹣1）＞0”移项得：f（m﹣1）＞f（2m﹣1），再结合f（x）是定义在[﹣3，3]上的减函数，脱去符号：“f”，转化为关于m的一元不等式组，最后解得实数m的取值范围，必须注意原函数的定义域范围．解答：解：∵f（x）在[﹣3，3]上是减函数∴由f（m﹣1）﹣f（2m﹣1）＞0，师生互动，善教乐学6/10得f（m﹣1）＞f（2m﹣1）∵函数f（x）在[﹣3，3]上是减函数，∴即解得0＜m≤2，∴m的取值范围是（0，2]．点评：本题考查了函数的定义域、函数单调性的性质、函数的单调性的反向应用，考查学生的转化能力，属于基础题．18．分别求下列函数的值域：（1）y=；（2）y=﹣x2+2x（x∈[0，3]）；（3）y=x+；（4）y=．分析：（1）用分离变量法将原函数变形，再根据分母不为零，求函数的值域；（2）用配方法将原函数变形，再根据开口方向和对称轴的大小，求出在区间上的最值，在表示出值域；（3）先求函数定义域[﹣1，1]，故设x=cosθ（θ∈[0，π]），代入原函数利用两角的和差公式进行化简，再利用正弦函数的曲线求出最值，即求出值域；（4）用分离变量法将原函数变形，利用2x＞0求原函数的值域．解答：解：（1）用分离变量法将原函数变形为：y==2+．∵x≠3，∴≠0．∴y≠2，即函数值域为{y|y∈R且y≠2}．（2）用配方法将原函数变形为：y=﹣（x﹣1）2+1，根据二次函数的性质，在区间[0，3]上，当x=1时，函数取最大值1，当x=3时，函数取最小值是﹣3，则原函数的值域是[﹣3，1]．（3）由1﹣x2≥0，得﹣1≤x≤1，设x=cosθ（θ∈[0，π]），则y=sinθ+cosθ=sin（θ+），由正弦函数曲线易知，当θ=时，y取最大值为，当θ=π时，y取最小值为﹣1，∴原函数的值域是[﹣1，]．（4）分离常数法将原函数变形为：y=∵1+2x＞1，∴0＜＜2，∴﹣1＜﹣1+＜1，∴所求值域为（﹣1，1）点评：