线性代数总复习讲义详解

线性代数总复习一、行列式二、矩阵三、向量组四、线性方程组的解五、特征值与特征向量第一章教学要求：1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质。2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。3．理解克莱姆法则及其应用。n阶行列式的计算方法很多，除直接按定义计算外，一般还有下列方法：1．利用行列式的性质化为三角形行列式计算法2.降阶展开法行列式的计算第二、三章教学要求：1．理解矩阵的概念。2．了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质。3．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，了解方阵的幂、方阵乘积的行列式。4．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆。5．掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，掌握用初等变换求逆矩阵的方法；及求矩阵的秩的方法。6．了解分块矩阵及其运算。1．了解n维向量的概念。2．理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用有关向量组线性相关、线性无关的重要结论。3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和求向量组的极大线性无关组及秩。4．了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与矩阵秩的关系。重要结论2重要结论1第四章教学要求：5．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。6．理解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念及求法。3．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。4．掌握用行初等变换求非齐次线性方程组通解的方法。Ax=br(A)=r(A,b)=n有唯一解r(A)r(A,b)无解齐次方程的基础解系克拉默法则，r(A)=r(A,b)n有无穷多解DDxjj初等变换，Tnddd21非齐次方程的一个特解非齐次方程的通解b=0b≠0step1.系数矩阵初等行变换化为行阶梯形矩阵step2.讨论方程组的解step3.（无穷解时）进一步将矩阵化为各首非零元为1，所在列其余元素为零的矩阵step4.选择自由未知量，基本未知量step5.写出同解方程step6.求出基础解系step7.写出通解怎样选择？怎样求？齐次线性方程组求解过程step1.增广矩阵初等行变换化为行阶梯形矩阵step2.讨论方程组的解step3.（无穷解时）进一步将矩阵化为各首非零元为1，所在列其余元素为零的矩阵step5.求出非齐次线性方程组的特解step7.求出齐次线性方程组的通解step8.写出非齐次线性方程组的通解怎样求？非齐次线性方程组求解过程step4.写出非齐次线性方程组的同解方程组step6.写出齐次线性方程组的同解方程组1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量。2．了解相似矩阵的概念、性质及掌握矩阵可相似对角化的充分必要条件。3．掌握用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的方法。4．了解内积的概念，掌握线性无关向量组标准规范化的施密特正交化方法。向量的单位化等。第五章教学要求：充要条件1线性相关一般情况当向量个数＝向量维数相应的齐次线性方程组x1a1+x2a2+…+xmam＝θ有非零解系数行列式D＝0线性无关相应的齐次线性方程组x1a1+x2a2+…+xmam＝θ只有唯一零解系数行列式D≠0充要条件2线性相关其中至少有一个向量可以由其余m-1个向量线性表示线性无关其中每一个向量都不能由其余m-1个向量线性表示部分与整体长短变化向量个数与维数线性相关部分相关=整体相关缩短不变性若向量组中向量个数＞向量维数必线性相关线性无关整体无关=部分无关加长不变性Rn中，任一无关组向量个数≤向量维数n•向量组a1,a2,···,am线性无关，而添加β形成的向量组a1,a2,···,am,β线性相关，则β可由a1,a2,···,am线性表示，且表示唯一。结论1结束计算问题1）怎样求矩阵A的秩？------行、列则秩（A）＝行阶梯形矩阵中非零行的行数行阶梯形矩阵初等变换行)(A－－最常用2）怎样求向量组的秩？------行、列s,,,21⑴以向量组中各向量作为列向量，构成矩阵A；⑵求出矩阵A的秩，也即原向量组的秩s,,,213）怎样判断向量组的相(无)关性？------行、列s,,,21⑴求出秩（）＝r⑵比较r与s的大小s,,,21r=s线性无关r＜s线性相关当向量个数＝向量维数时求D0线性无关D=0线性相关s,,,214）怎样求向量组的一个极大无关组？-----行s,,,21⑴以向量组中各向量作为列向量，构成矩阵A；⑵则B中各首非零元所在列对应的A的部分向量组就为向量组的极大线性无关组。s,,,21BA行阶梯形矩阵初等变换行)(s,,,215）怎样利用4)中求出的极大无关组表示其余向量？-----行⑴求出向量组的极大无关组；(2)解非齐次线性方程组即可。BA行阶梯形矩阵初等变换行)(s,,,21“关于矩阵的秩”怎样的情况下矩阵的秩不变？初等变换不改变矩阵的秩矩阵等价矩阵转置乘可逆矩阵矩阵的秩不变矩阵运算对秩的影响？⑴r(A+（－）B)≤r(A)+r(B);⑵r(AB)≤min{r(A)，r(B)}.行秩＝列秩＝矩阵的秩方阵的秩与行列式的关系向量线性无关个行（列）的nAA是可逆矩阵0AnAr)(称A是可逆，非奇异，非退化，满秩的向量线性相关个行（列）的nAA是不可逆矩阵0AnAr)(称A是不可逆，奇异，退化，不满秩的设A是n阶方阵返回性无关的特征向量。个线有阶方阵相似于对角矩阵nAn)1((2)方阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关.(3)设是n阶方阵A的一个k重特征值，则A的属于特征值的特征向量中，极大线性无关组包含的向量个数不多于k个。亦即齐次线性方程组的基础解系包含的向量个数最多有k个。00)(0xAE0的。对角矩阵阶实对称矩阵必相似于n(4)设A是一个n阶实对称矩阵，则向量个数恰有k个.求正交矩阵Q的步骤(1)求出A的特征多项式的全部不同的根，即为A的全部不同的特征值；AEs,,,21(2)对每个特征值，解齐次线性方程组求出它的一个基础解系),,2,1(sii,0)(xAEi;,,,21iirii(3)将正交化、单位化，得到一个正交单位向量组是属于特征值的一组线性无关的量；iirii,,,21iirii,,,21i(4)将对应于全部不同特征值的线性无关特征向量作为列向量构成矩阵Q，即为所求之正交矩阵．亦即使得Q-1AQ为对角矩阵，其主对角线上的元素即为A的全部特征值．),,2,1(siissrssrr,,,,,,,,,,,21,222211121121结束重要的定理或性质转置矩阵的运算性质(1)();TTAA(2)();TTTABAB(3)();TTAA(4)().TTTABBA重要的定理或性质一、行列式.2112221122211211aaaaaaaaD,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa1、二阶三阶行列式的计算2、n阶行列式的计算性质1行列式与它的转置行列式相等.性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.kk性质４行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．(1)利用行列式的性质计算（化为三角形）性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例计算行列式0112012120112110D解21rrD011201212110201113rr142rr413021102110201123rr143rr220042002110201134rr20004200211020114)2()2()1(10112012121102011D(2)利用行列式展开计算定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD2211ni,,2,1njnjjjjjAaAaAaD2211nj,,2,1例3351110243152113D03550100131111115312cc34cc0551111115)1(330550261155526)1(315028.4012rr二、矩阵1、矩阵的逆的求法（1）公式法（伴随法）.1nnn2n12n22121n21111的代数余子式中元素为行列式的伴随矩阵，为其中，其中ijijaAAAAAAAAAAAAAAAAA（2）初等变换法):(EA行的初等变换):(E1A例1求方阵的逆矩阵.343122321A解343122321A2.1存在A4121824661111)1(A341222112)1(A33123（公式法）343122321A3113)1(A432221221)1(A343262222)1(A333163223)1(A432121331)1(A123242332)1(A123153333)1(A22212332313322212312111AAAAAAAAAA得故AAA1122256346221.11125323231,2225634626,6,2,3,22221131211AAAAA2,2,5,4,233323123AAAAA（初等变换法）103620012520001321100343010122001321EA122rr133rr21rr23rr343122321A11110001252001120121rr23rr111100563020231001312rr325rr312rr325rr）（22r）（13r.111253232311A11110025323010231001）（22r）（13r.1BA矩阵的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵E)()(11BAEBAA)(BABA1即初等行变换2、矩阵的秩矩阵秩的求法把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例4321,6063324208421221bA设.)(的秩及矩阵求矩阵bABA46063332422084211221):(BbA解46063332422084211221B13600512000240011221131222rrrr143rr10000500000120011221