线性代数第三章向量与向量空间

第三章向量与向量空间确定小鸟的飞行状态，需要以下若干个参数：小鸟重心在空间的位置参数小鸟身体的水平转角θ小鸟身体的仰角ψ鸟翼的转角ψ所以，为确定小鸟的飞行状态，会产生一组有序数组mtxyz(,,)Pxyz１、引入一、ｎ维向量（Vector）小鸟身体的质量ｍ鸟翼的振动频率ｔ还有…２、定义ｎ个数组成的有序数组12,,,naaa12naaa称为一个ｎ维向量，其中称为第个分量（坐标）.iai12Tnaaa,.,TTT一般记作如：ｎ维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，12naaa如：一般记作α,β,γ.ｎ维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，（RowVector）（ColumnVector）注意１、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；２、行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；３、当没有明确说明时，都当作实的列向量.2、元素全为零的向量称为零向量（NullVector）.3、长度为１的向量称为单位向量（IdentityVector）.4、维数相同的列（行）向量称为向量同型.元素是复数的向量称为复向量（ComplexVector）.３、几种特殊向量1、元素是实数的向量称为实向量（RealVector）.5、对应分量相等的向量称为向量相等.４、向量与矩阵的关系12TTTmA其第ｊ个列向量记作12jjjmjaaa12nAｍ个ｎ维行向量.按行分块111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa按列分块ｎ个ｍ维列向量.其第ｉ个行向量记作12Tiiiinaaa矩阵与向量的关系中注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清.1122()nnababab12nkkkakaka二、向量的运算1122nnababab1、加法1212,,nnaaabbb规定2、数乘12,naaakR规定称为数ｋ与向量α的数量积.向量的加法与数乘合称为向量的线性运算.称为α与β的和向量.称为α与β的差向量.4、乘法对于ｎ维行向量为一阶方阵，即一个数.12Tnxxx1212Tnnxxxxxx为ｎ阶方阵；1212Tnnxxxxxx3、转置12Tnxxx12nxxx5、运算规律（1）（交换律）（2）（结合律）()()（3）O（4）()O（5）（减法）()(设α,β,γ均是ｎ维向量,λ，μ为实数)（6）1（7）()()()（8）()（9）()..orO..0..orandOO0三、应用举例2()TTTE例１110022设ｎ维向量，矩阵,2TTAEBE，其中Ｅ为设ｎ阶单位阵，证明：.ABE证明：()(2)TTABEE22()()TTTTET又111442122TTABE故ETTE例２1110T，设3340T2011T，12331,,21.11求解12312332441.T12332103312114010012.T123012103111114010441若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj2122222111121112jn12jn四、向量组、矩阵、线性方程组向量组称为矩阵Ａ的列向量组.12:,,,nA对于一个矩阵有ｎ个ｍ维列向量.mn12:,,,sA记作：..ioraaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211T1T2TiTmT1T2TiTm向量组为矩阵Ａ的行向量组．12:,,,TTTmA类似的，矩阵有ｍ个ｎ维行向量.反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.12TTTmB12nAｎ个ｍ维列向量.所组成的向量组12,,,n构成一个矩阵.mnｍ个ｎ维行向量.所组成的向量组12,,,TTTm也构成一个矩阵.mn矩阵与向量组之间一一对应．1122nnxxxb线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵(Ab)的列向量组之间一一对应．11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb1212nnxxbx即Axb或例３全体ｎ维向量的集合是一个向量空间,记作.nR,;ifVVV五、向量空间1、定义设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足①对加法封闭②对数乘封闭那么就称向量组Ｖ为向量空间（VectorSpace）．,.ifVRV解任意两个ｎ维向量的和仍是一个ｎ维向量；任意ｎ维向量乘以一个数仍是一个ｎ维向量．所以，所有ｎ维向量的集合构成一个向量空间.易知该集合对加法封闭，对数乘也封闭，例４判别下列集合是否为向量空间.1220,,TnnVxxxxxR１、2221,,TnnVxxxxxR２、解21210,0TTnnifaaVbbV2210,TnnababV有21,0,TnkRkkakaV所以是一个向量空间.1V解221TnifaaV222,2222,TnkaaV所以不是一个向量空间.2V例５判别下列集合是否为向量空间.31212,,,,0TnniVxxxxxxxRx且解,,0,0iiifVVab３３有30iiabV有3,0,ikRkkakV所以是一个向量空间.3V解1241TniifaaaVa有42,22,ikaV有所以不是一个向量空间.V４41212,,,,1TnniVxxxxxxxRx且,VxR例６设α,β为两个已知的ｎ维向量试判断集合是否为向量空间.解111222,ifxx121212xxV有　111,kRkxkkV所以是一个向量空间.V定义由向量组的一切线性组合构成的集合12,,,r称为由生成的向量空间，记为：12,,,r121122,,,rrriLxkkkkR注等价向量组生成相同的向量空间.一、向量的线性相关性1、基本概念12:,,,rA定义Ⅰ给定向量组，对于任何一组数12,rkkk，，,称向量1122rrkkk为向量组A的一个线性组合（LinearCombination）.12,rkkk，，为组合的组合系数（CombinationCoefficient）.12:,,,rA定义Ⅱ设向量组及向量β有关系1122rrkkk则β称为向量组A的一个线性组合，或称β可由向量组Ａ线性表示（LinearExpression）.12,rkkk，，称为β在该线性组合下的组合系数.①若α＝kβ，则称向量α与β成比例．②零向量Ｏ是任一向量组的线性组合．④任一ｎ维向量12naaa1100，2010，，001n，都是单位向量组的一个线性组合．1122.nnaaa⑤向量β可由12:,,,mA线性表示，1212mmxxx即方程组事实上，有③向量组中每一向量都可由该向量组线性表示．有解.定义Ⅲ设两向量组1212:,,,:,,,.rsAB，若向量组Ａ中每一个向量皆可由向量组Ｂ线性表示，则称向量组Ａ可以由向量组Ｂ线性表示.若两个向量组可以互相线性表示，则称这两向量组等价.向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性.12:,,,rA定义Ⅳ设ｎ维向量组为零的数12,rkkk，，，使得1122rrkkk0,则称向量组，如果存在不全12:,,,rA线性相关（LinearDependent）.反之，若当且仅当120rkkk==，才有1122rrkkk0,则称向量组12:,,,rA线性无关（LinearIndependent）.即存在矩阵,.srrssrKABK进一步来理解向量组的线性相关与线性无关考虑等式)(02211rrkkk成立。使得等式，，，，至少有两组以上的数线性相关：，，，向量组)(2121rrkkk0)(212121rrrkkkkkk成立，即使得等式，，，，只存在唯一的一组数线性无关：，，，向量组总成立。时，等式当关，是线性相关还是线性无，，，无论向量组)(02121rrkkk②单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量．③单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量．④一向量组中存在一个Ｏ向量，则一定线性相关．⑤一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关；一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组都线性无关．①对于一个向量组，不是线性相关就是线性无关．⑧几何上：两向量线性相关两向量共线；⑥两向量线性相关两向量对应成比例三向量线性相关三向量共面.⑦两向量线性无关两向量不对应成比例二、线性相关性的判断准则定理向量组线性无关齐次线性方程组只有零解；定理向量组线性相关齐次线性方程组有非零解.推论ｎ个ｎ维向量线性相关.0ija推论ｎ个ｎ维向量线性无关.0ija向量组线性无关其中任何一个向量都不能由其余向量线性表示．定理向量组线性相关其中至少有一个向量可由其余向量线性表示．定理证110iirrkkk0ik111111iiiirriikkkkk111111iiriiiriiiikkkkkkkk得证不妨设rrkkk,,,2121不全为零的数线性相关，则，，，设定理如果向量组线性相关，则α可由Ａ唯一线性表示.12,,,rA12:,,,,rB线性无关，而向量组证11220rrkkkk设∵Ａ线性无关，∴k≠０，（否则与Ａ线性无关矛盾）1122rrkkkk1212rrkkkkkk∴α可由Ａ线性表示.下证唯一性：1122;rr1122rr两式相减有1112220rrr∵Ａ线性无关，11220,0,0rr1122,,rr即表达式唯一.即有设不全为零，线性相关，即而kkkkBr,,,,21定理设向量组12,,,rA：