运筹学Ch1线性规划

运筹学OperationsResearchChapter1线性规划LinearProgramming1.1LP的数学模型MathematicalModelofLP1.2图解法GraphicalMethod1.3标准型StandardformofLP1.4基本概念BasicConcepts1.5单纯形法SimplexMethod1.1数学模型MathematicalModel制作与教学武汉理工大学管理学院熊伟[e-mail]1线性规划LinearProgrammingPage32019年10月6日星期日1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP线性规划（LinearProgramming,缩写为LP）通常研究资源的最优利用、设备最佳运行等问题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多、利润最大）。制作与教学武汉理工大学管理学院熊伟[e-mail]1线性规划LinearProgrammingPage42019年10月6日星期日【例1-1】生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、乙两种产品。按工艺资料规定，每件产品甲需要消耗材料A2公斤，消耗材料B1公斤，每件产品乙需要消耗材料A1公斤，消耗材料B1.5公斤。已知在计划期内可供材料分别为40、30公斤；每生产一件甲、乙两产品，企业可获得利润分别为300、400元，如表1－1所示。假定市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期内总的利润收入最大。1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP1.1.1应用模型举例制作与教学武汉理工大学管理学院熊伟[e-mail]1线性规划LinearProgrammingPage52019年10月6日星期日12max300400Zxx【解】设x1、x2分别为甲、乙产品的产量，数学模型为：1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP产品资源甲乙现有资源材料A2140材料B11.530利润（元/件）3004001212122401.5300,0xxxxxx表1-1制作与教学武汉理工大学管理学院熊伟[e-mail]1线性规划LinearProgrammingPage62019年10月6日星期日线性规划的数学模型由决策变量Decisionvariables目标函数Objectivefunction及约束条件Constraints构成。称为三个要素。其特征是：1．解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值；2．解决问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。怎样辨别一个模型是线性规划模型？1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP制作与教学武汉理工大学管理学院熊伟[e-mail]1线性规划LinearProgrammingPage72019年10月6日星期日【例1-2】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天，轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员如表1-2所示。表1-2营业员需要量统计表商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少。星期需要人数星期需要人数一300五480二300六600三350日550四4001.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP制作与教学武汉理工大学管理学院熊伟[e-mail]1线性规划LinearProgrammingPage82019年10月6日星期日【解】设xj(j=1，2，…，7)为休息2天后星期一到星期日开始上班的营业员，则这个问题的线性规划模型为145671256712367123471234523456345673003003504004806005500,1,2,,7jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxj1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP星期需要人数星期需要人数一300五480二300六600三350日550四4001234567minZxxxxxxx制作与教学武汉理工大学管理学院熊伟[e-mail]1线性规划LinearProgrammingPage92019年10月6日星期日1X10C1404=3001042X267C2301=30013X3146C3350=35004X4170C4400=40005X597C5480=48006X6120C6600=60007X717C7550=5500最优解：Z＝617（人）1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP制作与教学武汉理工大学管理学院熊伟[e-mail]1线性规划LinearProgrammingPage102019年10月6日星期日【例1-3】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是1.5，1，0.7（m），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为4m。现在要制造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？【解】这是一个条材下料问题，设切口宽度为零。设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种轴的根数分别为y1，y2，y3,则切割方式可用不等式1.5y1+y2+0.7y3≤4表示，求这个不等式关于y1，y2，y3的非负整数解。象这样的非负整数解共有10组，也就是有10种下料方式，如表1-3所示。表1-3下料方案方案规格12345678910需求量y1(根)22111000001000y210210432101000y301023012451000余料（m）00.30.50.1o.400.30.60.20.51.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP制作与教学武汉理工大学管理学院熊伟[e-mail]1线性规划LinearProgrammingPage112019年10月6日星期日设xj(j=1,2…,10)为第j种下料方案所用圆钢的根数。则用料最少数学模型为:求下料方案时应注意，余料不能超过最短毛坯的长度；最好将毛坯长度按降的次序排列，即先切割长度最长的毛坯，再切割次长的，最后切割最短的，不能遗漏了方案。如果方案较多，用计算机编程排方案，去掉余料较长的方案，进行初选。102,1,010005423210002342100022min10987542987643154321101，jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxZjjj1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP方案规格12345678910需求量y1(根)22111000001000y210210432101000y301023012451000余料（m）00.30.50.1o.400.30.60.20.5制作与教学武汉理工大学管理学院熊伟[e-mail]1线性规划LinearProgrammingPage122019年10月6日星期日1X15002X203X304X405X506X662.57X708X809X925010X100Z＝812.51.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP制作与教学武汉理工大学管理学院熊伟[e-mail]1线性规划LinearProgrammingPage132019年10月6日星期日【例1-4】配料问题。某钢铁公司生产一种合金，要求的成分规格是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍要界于35%~55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如表1-4所示。矿石杂质在治炼过程中废弃，现要求每吨合金成本最低的矿物数量。假设矿石在冶炼过程中，合金含量没有发生变化。表1-4矿石的金属含量合金矿石锡%锌%铅%镍%杂质费用（元/t）1251010253034024000303026030155206018042020040202305851517551901.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP制作与教学武汉理工大学管理学院熊伟[e-mail]1线性规划LinearProgrammingPage142019年10月6日星期日解:设xj（j=1,2，…，5）是第j种矿石数量，得到下列线性规划模型注意，矿石在实际冶炼时金属含量会发生变化，建模时应将这种变化考虑进去，有可能是非线性关系。配料问题也称配方问题、营养问题或混合问题，在许多行业生产中都能遇到。1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP矿石锡%锌%铅%镍%杂质费用（元/t）1251010253034024000303026030155206018042020040202305851517551901234512451345135123451234512min3402601802301900.250.40.20.080.280.10.150.20.050.150.10.050.150.10.250.30.20.40.170.550.250.30.20.40.170.350.70.7Zxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx3450.40.80.4510,1,2,,5jxxxxj制作与教学武汉理工大学管理学院熊伟[e-mail]1线性规划LinearProgrammingPage152019年10月6日星期日1X102X20.33333X304X40.58335X50.6667最优解：Z=347.51.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP制作与教学武汉理工大学管理学院熊伟[e-mail]1线性规划LinearProgrammingPage162019年10月6日星期日1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP【例1-5】投资问题。某投资公司拟将5000万元的资金用于国债、地方国债及基金三种类型证券投资，每类各有两种。每种证券的评级、到期年限及每年税后收益率见表1-5所示。表1－5证券投资方案序号证券类型评级到期年限每年税后收益率(%)1国债1183.22国债21103.83地方债券1244.34地方债券2364.75基金1434.26基金2544.6决策者希望：国债投资额不少于1000万，平均到期年限不超过5年，平均评级不超过2。问每种证券各投资多少使总收益最大。制作与教学武汉理工大学管理学院熊伟[e-mail]1线性规划LinearProgrammingPage172019年10月6日星期日1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP解设xj(j=1,2,…，6)为第j种证券的投资额，目标函数是税后总收益为123456(83.2103.844.364.734.244.6)/100Zxxxxxx资金约束：1234565000xxxxxx国债投资额约束：1