高中数学绝对值不等式的解法

一、知识联系1、绝对值的定义|x|=x,x0－x,x00,x=02、绝对值的几何意义0x|x|x1x|x－x1|3、函数y＝|x|的图象y=|x|=x,x0－x,x00,x=0oxy11－1二、探索解法探索：不等式|x|1的解集。方法一：利用绝对值的几何意义观察方法二：利用绝对值的定义去掉绝对值符号，需要分类讨论方法三：两边同时平方去掉绝对值符号方法四：利用函数图象观察这是解含绝对值不等式的四种常用思路12340-1不等式|x|1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合。1所以，不等式|x|1的解集为{x|-1x1}探索：不等式|x|1的解集。方法一：利用绝对值的几何意义观察探索：不等式|x|1的解集。①当x≥0时，原不等式可化为x＜1②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1∴0≤x＜1∴－1＜x＜0综合①②得，原不等式的解集为{x|－1x1}方法二：利用绝对值的定义去掉绝对值符号，需要分类讨论探索：不等式|x|1的解集。对原不等式两边平方得x21即x2－10即(x+1)(x－1)0即－1x1所以，不等式|x|1的解集为{x|-1x1}方法三：两边同时平方去掉绝对值符号oxy11－1探索：不等式|x|1的解集。从函数观点看，不等式|x|1的解集表示函数y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对应的x的取值范围。y=1所以，不等式|x|1的解集为{x|-1x1}方法四：利用函数图象观察如果c是正数，那么22xcxccxc或22xcxcxc,xc①②0-cc①②②题型1:如果c是正数，那么(22ax+bcax+b)ccax+bc或22ax+bc(ax+b)cax+bc,ax+bc①②题型2:题型3:形如n＜|ax+b|＜m(m＞n＞0)不等式等价于不等式组mbaxnbax||||①②-m-nnm0①,naxbmmaxbn或②①|f(x)|g(x)型不等式|f(x)|g(x)⇔-g(x)f(x)g(x),②|f(x)|g(x)型不等式|f(x)|g(x)⇔f(x)g(x)或f(x)-g(x)题型4:题型5:含有多个绝对值的不等式的解法－－－零点分段法|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式例1、(1)不等式|x－1|＜2的解集是_____.【解析】由|x－1|＜2得－2＜x－1＜2，解得－1＜x＜3.答案：(－1,3)(2)不等式|4－3x|≥2的解集是_____.【解析】|4－3x|≥2⇔|3x－4|≥2⇔3x－4≤－2或3x－4≥2，解得或x≥2.答案：2(,)[2,)32x3三、例题讲解三、例题讲解例2、解不等式3|3-2x|≤5.5|23|31x：解法5|32|3x5|32|3|32|xx5325332332xxx或，4103xxx或，即}.4301|{xxx或，原不等式的解集是03-14三、例题讲解例2解不等式3|3-2x|≤5.5|23|32x：解法5|32|3x，5323032xx5)32(3032xx或，4323xx，或0123xx.0143xx或，}.4301|{xxx或，原不等式的解集是三、例题讲解例2解不等式3|3-2x|≤5.5|23|33x：解法5|32|3x，5323x3325x或.0143xx或，}.4301|{xxx或，原不等式的解集是03-14例3、解不等式|2x－1|2－3x.解：原不等式等价为3x－22x－12－3x，即2x－12－3x，2x－13x－2，得5x3，x1，原不等式解集为{x|x35}．三、例题讲解形如|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)型不等式.①|f(x)|g(x)⇔-g(x)f(x)g(x),②|f(x)|g(x)⇔f(x)g(x)或f(x)-g(x)19xx例4、解不等式19xx2219xx5x591解：三、例题讲解平方法例5、解不等式|x+1|+|x-1|≥3.三、例题讲解题型：|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法.【思路点拨】可用零点分段讨论，可用图象法，也可用绝对值几何意义求解．方法一：当x≤-1时,原不等式可以化为-(x+1)-(x-1)≥3,解得当-1＜x＜1时,原不等式可以化为x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立,无解.当x≥1时,原不等式可以化为x+1+x-1≥3.所以综上,可知原不等式的解集为3x.23x.233{x|xx}.22或例5、解不等式|x+1|+|x-1|≥3.方法二：将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0.构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,即作出函数的图象(如图).函数的零点是y2x3x1,11x1,2x3x1.，，，33,,22从图象可知当或时,y≥0.即|x+1|+|x-1|-3≥0.所以原不等式的解集为3x23x233(,][,).22例5、解不等式|x+1|+|x-1|≥3.解：方法三：如图,设数轴上与-1,1对应的点分别为A,B,那么A,B两点间的距离为2,因此区间［-1,1］上的数都不是不等式的解.设在A点左侧有一点A1到A,B两点的距离和为3,A1对应数轴上的.同理设B点右侧有一点B1到A,B两点的距离和为3，B1对应数轴上的,3x.23x.2从数轴上可看到，点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3，所以原不等式的解集是33(,][,).22例5、解不等式|x+1|+|x-1|≥3.小结：|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法.(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想,理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释.(2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号内多项式的_______性，进而去掉绝对值符号.(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.正确求出函数的_____并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是关键.正、负零点(1)对任意x∈R，若|x－3|＋|x＋2|a恒成立，求实数a的取值范围．(2)关于x的不等式a|x－3|＋|x＋2|的解集非空，求实数a的取值范围．(3)关于x的不等式a|x－3|＋|x＋2|在R上无解，求实数a的取值范围．形如|x＋m|±|x＋n|(或)a恒成立的问题例6【思路点拨】对(1)(2)(3)来说，问题的关键是如何转化，求出函数f(x)＝|x－3|＋|x＋2|的最值,则问题获解．【解】(1)问题可转化为对一切x∈R恒有af(x)⇔af(x)min，∵f(x)＝|x－3|＋|x＋2|≥|(x－3)－(x＋2)|＝5，即f(x)min＝5，∴a5.(2)问题可转化为af(x)的某些值，由题意af(x)min，同上得a5.(3)问题可转化为对一切x∈R恒有a≤f(x)⇔a≤f(x)min，可知a≤5.四、小结（1）解含绝对值的不等式的关键是要去掉绝对值的符号，其基本思想是把含绝对值的不等式转为不含绝对值的不等式。（2）零点分段法解含有多个绝对值的不等式。x1x2②①③