高中数学人教版必修四配套课件第1部分--第三章--3.1--3.1.3--二倍角的正弦、余弦、正切公

第三章理解教材新知3.1把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三3.1.3返回返回返回返回返回问题1：在sin2α＝2sinα，cos2α＝2cosα，tan2α＝2tanα中，哪个式子成立？提示：都不成立．问题2：怎样才能得到sin2α，cos2α和tan2α的公式？提示：在和角公式中，令α＝β即可得到．返回二倍角公式名称公式记法二倍角的正弦sin2α＝S2α二倍角的余弦cos2α＝＝＝C2α二倍角的正切tan2α＝T2α2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2α返回1．二倍角公式给出了倍角2α与单角α之间的关系．对于“二倍角”应该有广义的理解，不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍角，α是α2的二倍角，2α＋π2是α＋π4的二倍角．2．在二倍角公式T2α中，α≠kπ＋π2且α≠kπ±π4(k∈Z)．返回返回[例1]求下列各式的值：(1)sinπ12cosπ12；(2)1－2sin2750°；(3)2tan150°1－tan2150°；(4)1sin10°－3cos10°；(5)cos20°cos40°cos80°.[思路点拨]灵活利用倍角公式求值．返回[精解详析](1)原式＝2sinπ12cosπ122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－3.返回(4)原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝2（12cos10°－32sin10°）sin10°cos10°＝4（sin30°cos10°－cos30°sin10°）2sin10°cos10°＝4sin20°sin20°＝4.(5)原式＝2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°＝2sin40°·cos40°·cos80°4sin20°＝2sin80°·cos80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝18.返回[一点通]解题过程中要注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活地运用公式及其变形，从而使问题迎刃而解．返回1．sin4π12－cos4π12等于()A．－12B．－32C.12D.32解析：sin4π12－cos4π12＝(sin2π12＋cos2π12)(sin2π12－cos2π12)＝－cosπ6＝－32.答案：B返回2．填空：(1)2sin37.5°·cos37.5°＝________；(2)sin267.5°－cos267.5°＝________；(3)tan7.5°1－tan27.5°＝________．返回解析：(1)原式＝sin(2×37.5°)＝sin75°＝6＋24；(2)原式＝－cos135°＝cos45°＝22；(3)原式＝12tan15°＝12tan(60°－45°)＝12×3－11＋3＝2－32.答案：(1)6＋24(2)22(3)2－32返回3．求下列各式的值：(1)sinπ24cosπ24cosπ12；(2)cosπ5cos2π5；(3)1sin50°＋3cos50°.解：(1)原式＝12(2sinπ24cosπ24)cosπ12＝12sinπ12cosπ12＝14sinπ6＝18.返回(2)原式＝2sinπ5cosπ5cos2π52sinπ5＝sin2π5cos2π52sinπ5＝sin4π54sinπ5＝sinπ54sinπ5＝14.返回(3)原式＝cos50°＋3sin50°sin50°cos50°＝2（12cos50°＋32sin50°）12×2sin50°cos50°＝2sin80°12sin100°＝2sin80°12sin80°＝4.返回[例2]已知sin(π4－x)＝513，0＜x＜π4，求cos2xcos（π4＋x）的值．[思路点拨]注意角的关系(π4＋x)＋(π4－x)＝π2，注意诱导公式的应用cos2x＝sin(π2＋2x)，利用倍角公式解题．返回[精解详析]原式＝sin（π2＋2x）cos（π4＋x）＝2sin（π4＋x）·cos（π4＋x）cos（π4＋x）＝2sin(π4＋x)．∵sin(π4－x)＝cos(π4＋x)＝513，且0＜x＜π4，∴π4＋x∈(π4，π2)，∴sin(π4＋x)＝1－cos2（π4＋x）＝1213，∴原式＝2×1213＝2413.返回[一点通]这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论，即解题过程既要结合已知条件，又要增强目标意识．返回4．已知sinα＝55，则sin4α－cos4α的值为()A．－35B．－15C.15D.35返回解析：sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝－cos2α＝2sin2α－1＝2×(55)2－1＝－35.答案：A返回5．若sin(π4＋θ)＝35，(0＜θ＜θ4)，则cos2θ＝________．解析：cos2θ＝sin(π2＋2θ)＝2sin(π4＋θ)cos(π4＋θ)．∵0＜θ＜π4，∴cos(π4＋θ)＝1－sin2（π4＋θ）＝45.∴cos2θ＝2×35×45＝2425.答案：2425返回6．已知tan(π4＋α)＝12.(1)求tanα的值；(2)求sin2α－cos2α1＋cos2α的值．解：(1)法一：∵tan(π4＋α)＝12，∴tanα＝tan[(π4＋α)－π4]＝tan（π4＋α）－tanπ41＋tan（π4＋α）·tanπ4＝12－11＋12＝－13.返回法二：∵tan(π4＋α)＝tanπ4＋tanα1－tanπ4·tanα＝1＋tanα1－tanα＝12，∴tanα＝－13.(2)原式＝2sinαcosα－cos2α2cos2α＝tanα－12＝－13－12＝－56.返回[例3](12分)化简：(1)cos10°（1＋3tan10°）cos70°1＋cos40°；(2)2cos2α－12tan（π4－α）sin2（π4＋α）.[思路点拨]先把切化弦，再结合和、差、二倍角公式求解．返回[精解详析](1)原式＝cos10°（1＋3sin10°cos10°）sin20°2cos20°＝cos10°＋3sin10°22sin40°＝2（12cos10°＋32sin10°）22sin40°＝22sin40°sin40°＝22(6分)返回(2)原式＝2cos2α－12sin（π4－α）cos（π4－α）·cos2（π4－α）＝2cos2α－12sin（π4－α）·cos（π4－α）＝2cos2α－1cos2α＝cos2αcos2α＝(12分)返回[一点通]当被化简的式子中有切函数和弦函数时，常首先切化弦；有角的互余或互补关系时，应用诱导公式转化，再利用两角和与差及二倍角公式进行化简．返回7．y＝(sinx－cosx)2－1是()A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数返回解析：y＝(sinx－cosx)2－1＝sin2x－2sinxcosx＋cos2x－1＝－2sinxcosx＝－sin2x，∴周期T＝π，且为奇函数．答案：D返回8．求证：3－4cos2A＋cos4A3＋4cos2A＋cos4A＝tan4A.证明：左边＝3－4cos2A＋2cos22A－13＋4cos2A＋2cos22A－1＝cos22A－2cos2A＋1cos22A＋2cos2A＋1＝(cos2A－1cos2A＋1)2＝(1－2sin2A－12cos2A－1＋1)2＝sin4Acos4A＝tan4A＝右边．故等式成立．返回1．在运用二倍角公式时，不仅要善于观察题目的结构特点，直接运用公式，还要善于逆用公式和变用公式．(1)公式的逆用及变形：2sinαcosα＝sin2α；sinαcosα＝12sin2α；cosα＝sin2α2sinα；cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α；2tanα1－tan2α＝tan2α.返回(2)配方变换：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2.(3)因式分解变换：cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．(4)升幂缩角变换：1＋cosα＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2.返回(5)降幂扩角变换：cos2α＝12(1＋cos2α)；sin2α＝12(1－cos2α)；sinαcosα＝12sin2α.2．解决给值求值问题的一般思路：一是先化简(变形)三角式，再代入求值；二是由已知变形，获得所求解的式子．其关键是找出条件和结论两者之间的关系．返回点此进入