量子力学课件(2)

1第三部分表象理论一、学习要点),(tp1.动量表象波函数的绝对值平方为动量几率密度。表示时刻粒子的三个动量分量在的几率。2|),(|tpzyxzyxppptpppddd),,,(2,d~,d~yyyxxxppppppzzzpppd~t2.动量表象波函数与坐标表象波函数之间的关系是),(tp),(trpetptrrpi323d),()2(1),(retptprpi323d),()2(1),(2对一维运动，以上两式变为petptxipxd),()2(1),(21dxetxtpipx),()2(1),(213.在动量表象下满足方程),(tpptpVtpptptipp32d),(),(2),(d),()2(1)(3trVeVrppipp应该学会把S方程直接从坐标表象变换到动量表象:3以一维运动为例，坐标表象中的S.Eq为方程两边取动量表象，上式成为),(|)(2|),(|2txxVpptxpti),(|)(2),(|2txxVptxti按照约定，上式变为),(|),(|tptxp),'(|'d),(|2),(|'2tpVptpptptipp得证。),(|''|)(|'d),(|''|2|'d2txppxVpptxppppp),(|''|)(|'d),(|''|2'd2txppxVpptxppppp),(|''|)(|'d),(|')'(2'd2txppxVpptxppppp4对一维运动，以上两式变为ptpVtpptptippd),(),(2),(2如果势能不含t，则)(rV)(),(/petpiEt)(pE为定态能量，满足定态方程)(d)()(232pEppVppppxtxVeVxppippd),(21)'('5Qˆ4.在本征值为分立的力学量表象中，波函数表示为一列矩阵321ccc其中d)()(*rrucnn是的第个本征函数)(ruQˆn,2,1),()(ˆnruqruQnnn6在表象中，力学量表示为方矩阵QˆFˆ::::333231232221131211FFFFFFFFFFduFuFnmmnˆ*波函数及算符由表象到表象变换的公式为QˆFˆ'ˆQS1SFSSFSF7,:,:,:332313322212312111SSSSSSSSS将它们依次排列起来得到:::333231232221131211SSSSSSSSSS注意：陈书中变换矩阵S的定义与教材中略有不同从而导致了波函数和算符的变换公式不同其中矩阵可以通过在表象求出的所有本征态矢SQˆ'ˆQ8则从原表象到新表象的变换矩阵元可表示为kSk|在教材中，原表象基矢用表示k|新表象基矢用表示|意义：原表象第k个基矢在新表象第α个基矢中的分量。而在本参考书中，表示新表象的第α个基矢在原表象的第k个基矢上的分量。kS为统一方便，建议使用教材中的定义。实际上，由于S矩阵是幺正对称矩阵，不管采取哪种定义，其最终形式是一样的。9表象变换中基矢之间变换矩阵的问题,可简单证明如下：不失一般性，设Q表象基矢为，Q’表象基矢为，则有n||nnnnSnn||||其中表示从表象（基矢为）到Q表象（基矢为）的变换矩阵。|nSn|n|'Q据据表象理论，的第个本征态在Q表象内用'Q21SS表示。即有本征值方程10显然是幺正矩阵S的行列矩阵元。nSn2121'SSSSQnnnSSSSSSSSSS212222111211因而在Q表象内解出的的第个本征矢正好是S矩阵的第列元素。故把在Q表象内解得的本征矢按照本征值的顺序并列，就得幺正变换矩阵'Q'Q﹟11二、例题3.1在表象求解势阱中的束缚态能量和波函数()。p)()(xxV0提示：基本思路同在坐标表象，就是换了个表象不过对δ势采用动量表象好一些。解：利用在动量表象中的定态方程)(d)()(22pEppVpppp其中对应束缚态||EE2)d(2)d(21)'()'(xxexxVeVxppixppipp代入上式，得12pppEpd)()(|)|2(2方程右边与无关，两边可对求导，有pp0)(2d)(d|)|2(2ppppEp其解为||2)(2EpAp为求能量，将上式代入前式中的积分，有||2||2d12EEpp由此得定态能量222E代入波函数的形式解内，并将其归一化，有22222/3/12)(pp不如坐标表象中的解简单LxeLx/||/1)(﹟22dxx13试计算，验证测不准关系。px3.2已知在势阱中的定态归一化波函数()为)()(xxV表象p222)(kpAp332kA2k提示：基本思路同在坐标表象，就是换了个表象注意坐标算符在动量表象中的表示pixˆ同时注意，计算根据,需要计算和AA2A222)(AAA14解：根据上述分析，先在动量表象下计算平均值0)()()(22222*kpppApppppdd222222222*2)()()(kkpppApppppddpkppikpAppxpxdd2222222*11)(ˆ)(0)(232222kpppAidpkppikpAppxpxdd222222222*211)(ˆ)(221k从而得出kxxxkppp21222222px故﹟153.4质量为的粒子在均匀力场中运动，运动范围限制在。试给出动量表象中的定态方程并求出定态波函数。)(p)0()(FFxf0x提示：将力场变为势场，xFVˆˆ此时定态方程可写为)()(ˆ22pEpxFp解：利用动量表象中坐标算符的表达式pixddˆ有方程)()(dd22pEppFip即pEpFid2d2解之得EppFiA6exp3﹟163.5质量为的粒子在均匀力场中运动，为其在动量空间的几率密度，求与的关系。),(tp)0()(FFxftp类比教材中在坐标表象下研究定域的几率守恒方法来做关键是找到*解：根据波函数所满足的方程),(tp)1(),(2),(2tppFiptpti上述方程两边取复共轭，得)2(),(2),(*2*tppFiptpti17)2(),()1(),(*tptp22|),(||),(|tppFtpt令2|),(|tp则有ptpFttp),(),(﹟3.8有一量子体系，其态矢空间三维，选择基矢。体系的哈密顿及另两个力学量与为}3|,2|,1{|HˆBˆAˆ2000200010H010100001aA100001010bB183|212|211|21)0(|0t设时体系态矢为(1)在时测量体系能量可得哪些结果？相应几率多大？计算及。0tH22)(HHHH(2)如在时测量，可能值及相应几率多大？写出测量后体系的态矢量。0tA(3)计算任意时刻与的平均值与tAB)(tA)(tB根据测量结果写出态矢量分析：2）要在态中测量A可能取值，需要求出A的本征值和本征态，然后用其来展开。)0(|1）注意采用的是什么表象19解：（2）写出A的本征值方程||ˆAA或321321010100001cccAccca容易解得;11021|,11aA但对另一简并本征值，aAA32132,ccc取任意值不过三者满足归一化条件1||||||232221ccc我们取两个最简单的简并态2011021|,;001|,3322aAaA3|212|211|21)0(|已知时体系态矢为0t在H表象中写出，有11221)0(|则在此态中，测得A=-a的概率为011221)1,1,0(21|)0(||221说明t=0时刻在此态中只能测到值a。故测量A后体系的态矢是32|or|或它们的任意组合。21(3)计算任意时刻与的平均值与tAB)(tA)(tB已知时体系态矢为3|212|211|21)0(|0t根据容易写出任意时刻的波函数nnEtinect)(|3|212|211|21)(|///321tiEtiEtiEeeet在H表象中可以写为///321221)(|tiEtiEtiEeeet然后根据下式计算算符A与B在任意时刻的平均值:)(|ˆ|)()(tFttF﹟032012,EEE223.9厄米算符与满足且。求(1)在表象中算符与的矩阵表示；(2)在表象中算符的本征值与本征态矢；(3)求由表象到表象的幺正变换矩阵，并把矩阵对角化。0ˆˆˆˆABBABˆ1ˆˆ22BAAˆAAˆBˆABˆABBˆ解：(1)A在自身表象下是对角矩阵，需求A算符的本征值令本征值为α，本征态为ψ，则有,ˆA显然1,12由于在A表象中，A算符的矩阵表示为对角矩阵，对角元就是本征值，从而有1001A?ˆ2A223而由于A，B算符不对易，故无共同的本征态，在A表象下B算符不是对角矩阵，令为dcbaB代入0BAAB可得0,0da从而有00cbB由于B是厄米算符，故有BB即0000**bccb所以*cb从而有00*bbB代入12B有iebb1||2其中φ为任意实数。取0则1b这样在A表象下0110B(2)A表象下B算符的本征值及本征态矢容易求出24令本征值为β，本征矢为21cc即有21210110cccc解得1121,1;1121,1(3)求A表象到B表象的变换矩阵：将原表象A下求得的新表象B的本征态矢按照本征值的