管理数学I作业（习题四）

管理数学作业（习题四）1.令21,XX为具有均值，方差2的总体X的一个样本，考虑以下的估计量212121XXX，2114341ˆXX，2123231ˆXX。1）证明以上三个估计量都是的无偏估计量；2）谁是最有效的估计量？解：1）)(21)()(21)2121()(2121XEXEXXEXE4341)(43)(41)4341()ˆ(21211XEXEXXEE3231)(32)(31)3231()ˆ(21212XEXEXXEE所以，上述三个估计量都是的无偏估计量。2）21)(41)()(41)2121()(2121XDXDXXDXD85169161)(169)(161)4341()ˆ(21211XDXDXXED959491)(94)(91)3231()ˆ(21212XDXDXXED)(XD最小，所以，X是最有效的估计量。2．设1,,,21nXXX为来自总体21,~NX的一个样本，2,,,21nYYY为来自总体22,~NY的一个样本，且两个样本相互独立，证明1)YX是21的无偏估计；2)21121222211nnSnSn是2的无偏估计。解：1）因为1)()(XEXE，2)()(YEYE所以21)()()(YEXEYXE，即YX是21的无偏估计。2）22222212122222222212211221121222221212121121221222211)(21)()()()(21)()()()(212)()(21121nnnnnnnnnnnnYEnYEnXEnXEnnnnnYYXXEnnSnSnEniinii即21121222211nnSnSn是2的无偏估计。证毕。3．对快艇的6次试验中，得到下列最大速度（单位：米/秒）：27，38，30，37，35，31．求快艇的最大速度的数学期望与方差的无偏估计量，并计算对应于给定样本观测值的估计值。解：设快艇的最大速度为随机变量X，其服从数学期望为、方差为2的分布则其无偏估计量分别为X（)(XE）、2S（22)(SE）具体估计值为8.18,332SX4．美国教师联合会每年都对教师的工资做调查，1991-1992年教师的平均工资为$34,213。假设上述结果是容量为400的一个样本的均值，并且1991-1992年教师工资的标准差为$4800。试求教师平均工资的99%的单侧置信下限，并解释其含义。解：30400,4800,34213nX为大样本单侧置信下限为3365424033.23421340048003421301.0znzX即有99%的可能1991-1992年教师的平均工资高于33654美元。5．某银行原来平均贷款数额为60,000元，近来贷款利息发生变化。为了解这种变化对平均贷款数的影响，从变化后的贷款中随机抽取144个样本，求得1.68x，0.45s（单位：千元），（1）求平均贷款数的95%的置信区间；（2）不做任何计算，判断置信度为99%的置信区间的宽度比（1）中的大还是小？为什么？解：（1）设贷款数额为正态总体，1.68x，0.45s，144n，95.01平均贷款数的95%的置信区间为]45.75,75.60[]75.396.11.68[]12451.68[][025.02znszx（2）宽度比（1）大。因为99%覆盖的范围比95%覆盖的范围广。6．设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为：6.05.75.86.57.06.35.66.15.0设干燥时间总体服从正态分布2,N。在下列条件下，求的置信度为0.95的置信区间：1）若由以往经验知6.0（小时），2）若为未知。解：1）正态总体，6.0，9n，将数据输入计算器得6x的置信度为0.95的置信区间为]392.6,608.5[]36.096.16[][025.0nzx2）正态总体，9n，将数据输入计算器得5745.0,6sx的置信度为0.95的置信区间为]442.6,558.5[]1915.0306.26[]35745.0)8(6[])1([025.0025.0tnsntx7．某啤酒公司制造的罐装啤酒容量服从标准差为0.2盎司的正态分布。1）若要抽取一个容量为25的样本，并且要求啤酒的平均容量的置信区间为（11.98,12.12），求该置信区间的置信度。2）若公司经理希望啤酒平均容量的99%的置信区间的总宽度不超过0.1，应抽取容量为多大的样本？解：正态总体，2.0，25n，05.12x1）]07.005.12[]12.12,98.11[07.052.022znz75.12z75.104.0z08.092.01该置信区间的置信度为92%。2）99.0105.02nz10732.10)05.02.0()05.0(22005.022zzn8．某工厂最近向它的客户发出新形式的广告，据说该广告的有效率为0.1。为求其90%的置信区间，应选多大容量的样本？设其置信区间的总宽度为0.04。若有效率为0.12，所需样本容量又如何？解：0-1总体，1.0x，1.0,9.01则nXXz)1(204.026135.6129.01.050205.02zn当有效率为0.12时，7195.71888.012.050205.02zn9．若想估计某个地区居民的平均家庭收入，已知该地区居民家庭收入的标准差为15000元，现要求估计的误差不超过1000元，置信度为95%，应抽取多少个家庭做样本？若已知该地区共有2000个家庭，则应抽取多少个家庭做样本？解：正态总体，1500095.01则nz2100086536.864)96.115()100015000(22025.0zn即抽取865个家庭做样本。若总体2000N，则6047.603200036.864)36.8641999(1999200036.8641199920001500096.11000110002nnnnnnNnNnz即若已知该地区共有2000个家庭，则应抽取604个家庭做样本。