管理数学I作业（习题二）

1管理数学习题二1．用随机变量来描述掷一枚骰子的试验结果，并写出它的分布律。解：设随机变量X为掷一枚骰子出现的结果，则X=n(n=1,2,…,6),即X仅取1~6六个自然数值，P(X=n)=1/6，即出现六种情况的概率均为1/6。分布律为X123456p1/61/61/61/61/61/62．某试验成功的概率为p，X代表第二次成功之前试验失败的次数，写出X的分布律。答：分布律为X012…nPp2p2(1-p)p2(1-p)2…p2(1-p)n3．下表能否为某个随机变量的分布律？为什么？X123p0.150.450.6答：不能表示为某个随机变量的分布律。因为三个概率之和大于1。4．产品有一、二、三等品和废品四种，一、二、三等品率和废品率分别为55%、25%、19%、1%，任取一件产品检验其质量等级，用随机变量X表示检验结果，并写出其分布律和分布函数。解：设随机变量X取1，2，3，4四个值分别表示出现一、二、三等品和废品四种情况，则分布律为X1234p0.550.250.190.01分布函数为xxxxxxF4,143,99.032,8.021,55.01,0)(x2表示出现二等品以上（不含二等品）产品，x3表示出现三等品以上（不含三等品）产品，x4表示出现次品以上（不含次品）产品。5．设某种试验成功的概率为0.7，现独立地进行10次这样的试验。问是否可以用一个服从二项分布的随机变量来描述这10次试验中成功的次数？如何描述？请写出它的分布以及分布的数学期望和标准差。答：可以描述。即设随机变量X为试验成功的次数，则nnnnnnnnCCppCnXP)(3.03.07.0)1()(37101010101010(n=1,2,…,10)E(X)=Np=100.7=7D(X)=Np(1-p)=100.70.3=2.16．如果你是一个投资咨询公司的雇员，你告诉你的客户，根据历史数据分析结果，企业A的平均投资回报比企业B的高，但是其标准差也比企业B的大。你应该如何回答客户提出的如下问题：（1）是否意味着企业A的投资回报肯定会比企业B的高？为什么？（2）是否意味着客户应该为企业A而不是企业B投资？为什么？答：（1）从长期投资来讲企业A肯定比企业B的投资回报高。因为企业A的平均投资回报比B的平均投资回报大。但短期投资需要比较两者的变化情况和变化及平均值的综合比较。2（2）不一定。如果企业A的平均投资回报与标准差的差大于企业B的平均投资回报与标准差的差，那么可投资企业A。如果两企业的平均投资回报比较接近，那么需要比较两者之间的变异系数，选择变异系数较小的企业投资。7．某公司估计在一定时间内完成某项任务的概率如下：天数12345概率0.050.200.350.300.10（1）求该任务能在3天（包括3天）之内完成的概率；（2）求完成该任务的期望天数；（3）该任务的费用由两部分组成——20,000元的固定费用加每天2,000元，求整个项目费用的期望值；（4）求完成天数的标准差。答：（1）P(天数3)=0.05+0.20+0.35=0.6（2）E(天数)=10.05+20.20+30.35+40.30+50.10=3.2（3）费用=20000+3.22000=26400元（4）D(天数)=E(X2)-(E(X))2=120.05+220.2+320.35+420.3+520.1-3.22=1.06标准差=1.0295638．求4中随机变量X的期望和方差，以及)(2XE。解：E(X)=10.55+20.25+30.19+40.01=1.66E(X2)=120.55+220.25+320.19+420.01=3.42D(X)=E(X2)-(E(X))2=3.42-1.662=0.66449．设随机变量X的概率密度函数为0,00,)(xxexfx求（1）XY2，（2）XeY2的数学期望。解：（1）E(Y)=E(2X)=2E(X)=2x)(xfdx=20xxedx=2(-xe-xxe)0=2（2）E(Y)=E(xe2)=xe2)(xf=02dxeexx=-03dxex=-331)(xe0=3110．一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为0,00,41)(4xxexfx工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。解：根据题意，设随机变量X赢利时取值100，亏损时取值-200，则赢利的数学期望为E(X)=1001)(dxxf-2001)(dxxf=1001)(dxxf-200(1-1)(dxxf)=3001)(dxxf-200=3004/1e-200=33.6(元)11．设X与Y为随机变量，3)(XE，2)(YE，9)(XD，4)(YD。在下列情3况下，求)3(YXE和)3(YXD：（1）1),(YXCov；（2）0),(YXCov；（3）1),(YXCov。解：E(3X-Y)=E(3X)-E(Y)=3E(X)-E(Y)=9+2=11与协方差无关。D(3X-Y)=9D(X)-6Cov(X,Y)+D(Y)=81-6Cov(X,Y)+4=1),(,910),(,851),(,79YXCovYXCovYXCov12．查表求：05.0z，025.0z，975.0z，9.0z。答：查表，1-0.05=0.9595.0)645.1(005.0z=1.645025.0z=1.96975.0z=-1.969.0z=-1.28513．某零件的寿命服从均值为1200小时，标准差为50小时的正态分布。随机地抽取一只零件，试求：（1）它的寿命不低于1300小时的概率；（2）它的寿命在1100小时和1300小时之间的概率；（3）它的寿命不低于多少小时的概率为95%？解：（1）02275.0)2(1)(1)1300(1)1300(050120013000XF（2）9545.01)2(2)2()2()1100()1300()13001100(000XF（3）95.00xz查表得95.0)645.1(05012000645.1xxx=1118即寿命不低于1118小时的概率为95%。14．一工厂生产的电子管寿命X（以小时计算）服从期望值为160的正态分布，若要求：80.0200120XP，允许标准差最大为多少？解：80.01)(2)()()()()120()200(}200120{40040040016012001602000XPXPXP90.0)(40028.14025.31即允许的标准差最大为31.25。