优选法

优选法——读高中选修4-7优选法是高中数学课程标准实验教材选修4-7的内容。著名数学大师华罗庚先生，从20世纪60年代开始，致力于优选法的推广、应用于普及。当时为了适应社会的生产发展，他把数学方法创造性的应用于国民经济领域，筛选出了以改进生产工艺和提高质量为内容的优选法，并且用深入浅出的语言写出了《优选法平话及其补充》一书。优选法这部分内容一直都是大学里面的课程，学习数学专业方面的学生会在大学学习中遇到。但是随着新课标课程的实施，把一部分优选法下放到了高中，作为选修出现在了高中课本里，这就不得不思考其意义和目的何在。据了解，不少学校对这部分内容都是不讲的，因为与高考无关。但是把它放在高中里合适不合适？我觉得还是有必要先简单的了解一下什么是优选法。我们每个人在日常生活里都会遇到应用优选法的问题，只是我们没有注意到而已。举个简单的例子，蒸馒头是日常生活中常做的事，为了使蒸出的馒头好吃，就要放碱。如果碱放少了，蒸出的馒头就会发酸，碱放多了，馒头就会发黄并且有碱味。对一定量的面粉来说，放多少碱合适呢？如果没有做馒头的经验，也没有人指导，如何迅速的找出合适的碱量？又比如，一个农场希望知道某个玉米品种的高产栽培条件，假如可以掌握的因素有种植密度、施化肥量、施化肥时间，如何迅速找出高产栽培的条件？如何找出其中对玉米的产量影响比较大的因素呢？类似于这样的问题层出不穷，解决这些问题的方法就正是用到优选法。说了半天，到底什么叫做优选法？在生产，生活和科学实验中，为了达到优质、高产、低消耗的等目的，需要对有关因素的最佳组合进行选择，关于最佳点选择的问题，就成为优选问题。上文中提到的两个例子都是属于优选问题。我们知道，如果目标和因素之间能有一个函数表达式这是最好不过的了。通过分析函数图象，就可以得出最合适，最好的点在哪。但实际上有许多问题，实验结果和相关因素的关系不易用数学形式表达，对于这些问题，就需要做实验来寻找各种因素的最佳点。在实验过程中，如果不合理安排，可能面临大量的实验，不仅要花费大量的人力，财力和时间，而且可能不具有操作性。这就需要我们考虑，怎么进行实验才是最好的，所以我们就采用优选法来安排实验。根据生产和科学研究中的不同问题，利用数学原理，合理安排实验，以最少的试验次数迅速找到最佳点的科学试验方法，就是优选法，优选法的目的在于减少哦试验次数。具体介绍优选法的方法之前，先说几个概念和性质，这些都是在应用优选法的时候会遇到的。1.单峰函数例：在军事训练中，经常要考虑发射角度多大时炮弹的射程最远，假设炮弹的初速是v，发射角度为20，在时刻t，炮弹距发射点的水平距离为x，离地面高度为y。如果忽略空气阻力，则有222cos21tanxvgxy，其中vv，g为重力加速度。另0y，得2sin,0221gvxx。因此，炮弹的射程为2sin2gv。从上述讨论可以发现，在一定的发射速度下，炮弹的射程是发射角的函数，当发射角4,0时，射程随发射角的增加而增加；当发射角为4时，射程最大，当发射角2,4，射程随发射角的增加而减小。许多优选问题都有如上所述的情形，就是说，我们常常仅知道在实验范围内有一个最佳点，但实验范围内变化因素的取值比最佳点再大些或者再小些时，实验效果都差，而且取值离最佳点越远实验效果越差，通常称这样的实验具有单峰性。用数学的语言说，就死如果函数xf在区间ba,上只有唯一的最大值点（或最小值点）C，而在最大值点（或最小值点）C的左侧，函数单调增加（减少）；在C的右侧，函数单调减少（增加），则称这个函数为区间ba,上啊的单峰函数。同时我们还规定，区间ba,上的单点函数也是单峰函数。2.因素在炮弹发射的试验中，除了发射角度以外，初速度，空气阻力等也会影响炮弹的射程，我们把影响实验目标的初速度、发射角、空气阻力等成为因素。在实验过程中，只有一个因素在变化的问题，成为单因素问题。把试验中可以认为调控的射程xO发射角θ42xyOabCf(x)xyOabCg(x)xyOabxyOab因素叫做可控因素，而把那些不能人为调控的因素叫做不可控因素。3.目标函数炮弹试验中，射程（目标）可以表示为发射角的（因素）的函数。像这样表示目标与因素之间对应关系的函数，成为目标函数。我们常用x表示因素，xf表示目标函数（并不需要xf的真正表达式）。假定包含最佳点的因素范围（实验范围）下限用a表示，上限用b表示，因素范围可以用a到b的线段来表示，并记作ba,。还有一点我们需要注意的是，在单峰函数图像中，设1x和2x是因素范围ba,内的任意两个试点，C为最佳点，并把两个试点中效果较好的点称为好点，效果较差的点成为差点。有之前的图可以直观地发现，如目标函数为单峰函数，当好点与差点在最佳点的同侧时，好点比差点更接近最佳点，且最佳点与好点比在差点的同侧。于是我们可以以差点为分界点，把因素范围分成两部分，并称好点所在的部分为存优范围。有了以上的预备知识，接下来就要介绍优选法的具体方法了。这里主要介绍两个，一个是黄金分割法——0.618法，一个是分数法。1.黄金分割法我们知道，对于单峰函数，在同侧，离最佳点越近的点越是好点，且最佳点月好点必在差点同侧。所以可按如下方法安排试点：现在因素范围ba,内任选两点各做一次试验，根据实验结果确定差点与好点，在差点处把ba,分成两段，截掉不含好点的一段，留下存优范围11,ba，显然有baba,,11；再在11,ba内任选两点各做一次试验，并与上次的好点比较，确定新的好点和新的差点，并在新的差点处把11,ba分成两段，截掉不包含新好点的那一段，留下新的存优范围22,ba，同样有1122,,baba······重复上述步骤，可使存优范围逐步缩小。但是在这种方法中，试点的选取是任意的，只要在前一次留下的范围内就行了，所以实验比较具有盲目性。这种任意性会给寻找最佳点的效率带来影响。例如，假设因素区间为1,0，取两个试点102101、，那么对峰值在101,0中的单峰函数，两次实验便去掉了长度为54的区间；但对于峰值在1,102的函数，只能去掉长度为101的区间，实验效果就不理想了。如下图所示：可以看出这样安排实验点并不理想，那么还有没有好一点的办法呢？为了摆脱取点盲目性这一问题，我们做这样一个变化。在安排实验点的时候，使两个点关于ba,的中心2ba对称。为了尽快找到最佳点，每次截去的区间不能太短，但是也不能很长，如果一次截的足够长，就要使两个试点1x和2x与2ba足够近，这样，第一次可以截去ba,的将近一半，但按照对称原则，做第三次实验后会发现，以后每次只能截去很小的一段，结果反而不利于很快接近最佳点。为了使每次去掉的区间有一定的规律定，在对称的基础上，我们再加一个条件，使每次舍去的区间占舍去前区间的比例不变。接下来我们就分析如何按照这些原则确定合适的试点，以及确定这个比例是多少。设第1试点、第2试点分别为1x和2x，12xx且1x和2x关于ba,的中心对称，即12xbax。显然，不论2x（或1x）是好点还是差点，由于对称性，舍去的区间长度都等于1xb。我们另2x是好点，1x是差点，于是舍去bx,1，再在存优范围1,xa内安排第三次实验，设试点为3x，3x与2x关于1,xa的中心对称。应该注意的是，点3x应在点2x的左侧。因为如果3x在2x的右侧，那么当3x是好点，2x是差点时，要舍去区间2,xa，而它的长度和上次舍去区间bx,1的长度相同，就不是按照成比例舍去的原则进行了。所以点3x一定是在点2x的左侧。这样不论点3x（或是点2x）是好点还是差点，被舍去的区间长度都等于21xx。按成比例舍去的原则，我们有axxxabxb1211，其中左边是第一次舍去的比例数，右边是第二次舍去的比例数。对等式变形得axxxabxb121111，即axaxabax121。设每次舍弃后的存优范围与舍弃前全区间的比值为t，即tabax1，所以tabax12。由axaxabax121可得abaxabaxabax121。将t代入得到ttt1，即012tt，解得2511t，2512t。其中1t为对本题有意义的根。而这，就是黄金分割常数，用表示。在实验方法中，利用黄金分割常数确定试点的方法叫做黄金分割法。由于251是无理数，具体应用时，取其近似值0.618.黄金分割法，是最常用的单因素单峰函数的优选法之一。下面通过例子来说明它的具体操作方法。案例炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料，使炼出的钢满足一定的指标要求。假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入某元素的量在1000g到2000g之间，问如何通过实验找到它的最优加入量？最原始简单的想法就是以1g为间隔，从1001开始一直到1999。但是这样要做1000次试验，在时间、人力和物力上都是一种浪费。用0.618法，可以更快更有效的找出最佳点。具体操作如下：先画出因素范围2000,1000，以1000为起点标出刻度，找出它的黄金分割点1x（在长度的0.618处）作为第1试点，再找出1x的对称点2x作为第2试点。这两点的材料加入量是1618)10002000(618.010001x，13822000100012xx；比较两次实验结果，如果第2试点比第一试点好，则沿1618处将纸条剪断，去掉1618以上部分；再找出2x关于1618,1000中点的对称点3x作为第3试点，12363x，比较3x和2x谁是好点，谁是差点。去掉不含好点的部分，留下包含好点的存优范围，按同样的方法继续下去，就能迅速逼近该元素的最佳加入量。对于一般的因素范围ba,，用0.618法确定试点的操作过程与上述过程完全一致。从上述过程可以看到，用0.618法寻找最佳点时，虽然不能保证在有限次内准确找出最佳点，但随着试验次数的增加，最佳点被限定在越来越小的范围内，即存优范围会越来越小。我们用存优范围与原始范围的比值来衡量一种试验方法的效率，这个比值叫做精度，即n次试验后的精度为原始的因素范围次试验后的存优范围nn，显然在相同试验次数的情况下，精度越高，方法越好。我们使用0.618法的时候，从第二次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的0.618.因此，n次试验后的精度为1618.0nn。所以，若要精度达到0.05，则05.0618.01n，即22.71618.0lg05.0lgn，于是安排8次试验就能达到。一般的，给定精度，为了达到这个精度，只需试验次数n满足1618.0n，即1618.0lglgn即可。2.分数法案例1在配置某种清洗液时，需要加入某种材料，经验表明，加入量大于130ml肯定不好，用150ml的锥形量杯计量加入量，量杯的量程分为15格，没格代表10ml，用试验法找出这种材料的最优加入量。对于这个问题，如果使用0.618发的话，第一个试验点1x我们就要取在34.80618.0130处，但实际上量杯很难两处这么精确的量，所以这个问题用0.618法就不合适，这个时候我们就要考虑其他的方法。而分数法就可以很好的解决这个问题。我们知道，0.618是黄金分割常数215的近似数，那是否可以用其他形式的数作为的近似数来解决上面的问题呢？由于215是方程012的根，因此11，即1，将等式右边的用11代替，得1111，继续这个步骤，可得111111，等号右边是一个繁分式，我们称它为连分数，为了方便书写，可以把它写成111111111111。下面计算这个无穷分数的前几项：111，2111111111，32111111111111，5311111111