1.3--函数的基本性质

本章内容1.1集合1.2函数及其表示1.3函数的基本概念第一章小结1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值(第一课时)1.3.2奇偶性1.3.1单调性与最大(小)值(第二课时)复习与提高单调性与最大(小)值1.3.1第一课时函数的单调性返回目录1.什么是增函数?什么是减函数?2.增函数区间的图象有什么特点?减函数区间的图象有什么特点?3.什么是函数的单调性?它是怎样定义的?4.怎样证明函数的单调性?问题1.(1)已知函数f(x)=x,取x=-3,-2,-1,0,1,2,3,列表表示这个函数,函数值与自变量的大小变化有什么关系?画出这个函数的图象,观察图象是怎样倾斜的?(2)同样讨论函数g(x)=1-x.图象是左低右高倾斜的.x增大,函数值也增大.(1)xyo123-1-2-3-2-1123-3y=x这个函数是定义域上的增函数.x-3-2-10123y-3-2-10123图象是左高右低倾斜的.x增大,函数值减小.(2)xyo123-1-2-3-2-1123y=1-x这个函数是定义域上的减函数.问题1.(1)已知函数f(x)=x,取x=-3,-2,-1,0,1,2,3,列表表示这个函数,函数值与自变量的大小变化有什么关系?画出这个函数的图象,观察图象是怎样倾斜的?(2)同样讨论函数g(x)=1-x.x-3-2-10123y43210-1-2问题2.如图是函数f(x)=x2的图象,(1)当x≤0时,图象是怎样倾斜的?x增大时间,函数值是增大还是减小?如果取x1x2≤0,f(x1)与f(x2)哪个大?(2)当x0呢?xyo(1)当x≤0时,图象左高右低.自变量x增大时,函数值f(x)减小.x1x2≤0时,f(x1)f(x2)f(x1)f(x2).函数f(x)=x2在(-∞,0]上是减函数.(2)当x≥0时,图象左低右高.自变量x增大时,函数值f(x)也增大.x1x2≥0时,f(x1)f(x2).函数f(x)=x2在[0,+∞)上是增函数.x1x2x1x2f(x1)f(x2)一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.函数在某个区间是增函数或减函数的性质叫函数的单调性,这个区间叫函数的单调区间.例1.如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?xyo12345-1-2-3-4-5-2-1123解:函数的单调区间有[-5,-2),[-2,1).其中[-5,-2),[1,3)[1,3),[3,5].是单调减区间,[-2,1),[3,5]是单调增区间.下面我们观察图象上动点P随x坐标的增大,y坐标的变化情况.请稍候练习:(32页)第1、2、3题.练习:(32页)1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系.工人数生产效率O解:a工人数在一定范围内时,如在区间(0,a]时,随着工人数的增多生产效率得到提高.当超过了这个范围时,如大于a,随着工人数的增多,生产效率反而下降.2.整个上午(8:00~12:00)天气越来越暖,中午时分(12:00~13:00)一场暴雨使天气骤然凉爽了许多,暴雨过后,天气转暖,直到太阳落山(18:00)才又开始转凉.画出这一天8:00~20:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象,并说出所画函数的单调区间.解:时间气温o8:0012:0013:0018:0020:00图象如下:函数的增区间有[8:00,12:00],[13:00,18:00].函数的减区间有[12:00,13:00],[18:00,20:00].3.根据下图说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数.xyo12345-11234567解:函数在区间[-1,0]上是减函数,[0,2]上是增函数,[2,4]上是减函数,[4,5]上是增函数.【函数单调性的证明】在某区间上,若任取x1x2时,都有f(x1)f(x2),则f(x)在这区间上是增函数.若任取x1x2时,都有f(x1)f(x2),则f(x)在这区间上是减函数.函数单调性的定义,是证明函数单调性的依据.证明单调性的基本步骤:(1)在某区间上任取x1x2(或x1x2);(2)计算函数值的差f(x1)-f(x2),看其结果的正负,以判断f(x1)f(x2),还是f(x1)f(x2);(3)如果自变量x1与x2的大小顺序与函数值f(x1)与f(x2)的大小顺序相同,则函数在这个区间是增函数;如果顺序相反,则是减函数.例2.物理学中的玻意耳定律(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大.试用函数的单调性证明之.Vkp=证明:∵气体体积和压强都是正数,V1V20,则在区间(0,+∞)内任取p(V1)-p(V2)=21VkVk-,)(2112VVVVk-=∵V10,V20,V2-V10,k0,,0)(2112-VVVVk即p(V1)-p(V2)0,得p(V1)p(V2),∴函数是区间(0,+∞)上的减函数,Vkp=则体积V减小时,压强p增大.例3(课本探究).画出反比例函数的图象.(1)这个函数的定义域I是什么?(2)它在定义域I上的单调性是怎样的?证明你的结论.xy1=-11-11xyo22-2-2xy1=解:画出函数的图象如图:xy1=函数的定义域(1)I={x|x0,或x0}.(2)函数在定义域I内的区间(-∞,0)上是减函数,在区间(0,+∞)上也是减函数.证明:212111)()(xxxfxf-=-,2112xxxx-=-11-11xyo22-2-2xy1=解:画出函数的图象如图:xy1=函数的定义域(1)I={x|x0,x0}.(2)函数在定义域I内的区间(-∞,0)上是减函数,在区间(0,+∞)上也是减函数.证明:212111)()(xxxfxf-=-,2112xxxx-=例3(课本探究).画出反比例函数的图象.(1)这个函数的定义域I是什么?(2)它在定义域I上的单调性是怎样的?证明你的结论.xy1=在区间(-∞,0)上任取x1x20,则x1x20,x2-x10,∴f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),∴函数在(-∞,0)上是减函数.在区间(0,+∞)上任取x1x20,则x1x20,x2-x10,∴f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),∴函数在(0,+∞)上也是减函数.-11-11xyo22-2-2xy1=解:画出函数的图象如图:xy1=函数的定义域(1)I={x|x0,x0}.(2)函数在定义域I内的区间(-∞,0)上是减函数,在区间(0,+∞)上也是减函数.证明:212111)()(xxxfxf-=-,2112xxxx-=例3(课本探究).画出反比例函数的图象.(1)这个函数的定义域I是什么?(2)它在定义域I上的单调性是怎样的?证明你的结论.xy1=练习:(课本32页)第4题.4.证明函数f(x)=-2x+1在R上是减函数.证明:在R上任取x1x2,f(x1)-f(x2)=(-2x1+1)-(-2x2+1)=2(x2-x1)∵x1x2,∴x2-x10,即f(x1)-f(x2)0,得f(x1)f(x2),∴函数f(x)=-2x+1在R上是减函数.练习:(课本32页)【课时小结】增函数:x增大时,y也增大,图象左低右高.减函数:x增大时,y减小,图象左高右低.在区间D内,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),函数在区间D内单增;当x1x2时,都有f(x1)f(x2),函数在区间D内单减.1.函数的单调性单调性:【课时小结】2.函数单调性的证明①在区间D内任取x1x2;②计算f(x1)-f(x2);③判断f(x1)-f(x2)的值的正负;④由③确定f(x1)与f(x2)的大小;⑤与x1x2对照,如果自变量与函数值的大小一致,则是增函数,否则是减函数.习题1.3A组第1、2、3、4题.1.画出下列函数的图象,并根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在各单调区间上,函数y=f(x)是增函数还是减函数.(1)y=x2-5x+5;(2)y=9-x2.解:(1)xyo1234-1-1123函数是二次函数,其图象是开口向上的抛物线,顶点).45,25(-两对称点(1,1),45-(4,1).函数在上是减函数,]25,(-在上是增函数.),25[+习题1.3A组1.画出下列函数的图象,并根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在各单调区间上,函数y=f(x)是增函数还是减函数.(1)y=x2-5x+5;(2)y=9-x2.解:(2)函数也是二次函数,其图象是开口向下的抛物线,顶点两对称点(-3,0),(3,0).函数在(-∞,0]上是增函数,在[0,+∞)上是减函数.(0,9).xyo231-1123-2-3456789···习题1.3A组2.证明:(1)函数f(x)=x2+1在(-∞,0)上是减函数;(2)函数f(x)=1-在(-∞,0)上是增函数.x1证明:(1)任取x1x20,f(x1)-f(x2)=(x12+1)-(x22+1)=x12-x22=(x1+x2)(x1-x2),∵x1x20,∴x1+x20,x1-x20,则(x1+x2)(x1-x2)0,得f(x1)f(x2),∴函数f(x)=x2+1在(-∞,0)上是减函数.2.证明:(1)函数f(x)=x2+1在(-∞,0)上是减函数;(2)函数f(x)=1-在(-∞,0)上是增函数.x1证明:(2)任取x1x20,f(x1)-f(x2)=∵x1x20,∴x1x20,x1-x20,得f(x1)f(x2),)11()11(21xx---,2121xxxx-=则,02121-xxxx∴函数在(-∞,0)上是增函数.xxf11)(-=3.探究一次函数y=mx+b(xR)的单调性,并证明你的结论.解:当m0时,函数y=mx+b在R上是减函数.在R上任取x1x2,f(x1)-f(x2)=(mx1+b)-(mx2+b)=m(x1-x2),∵x1x2,x1-x20,即得f(x1)f(x2),∴m(x1-x2)0,又m0,∴当m0时,函数y=mx+b在R上是减函数.3.探究一次函数y=mx+b(xR)的单调性,并证明你的结论.解:当m0时,函数y=mx+b在R上是增函数.在R上任取x1x2,f(x1)-f(x2)=(mx1+b)-(mx2+b)=m(x1-x2),∵x1x2,x1-x20,即得f(x1)f(x2),∴m(x1-x2)0,又m0,∴当m0时,函数y=mx+b在R上是增函数.4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢,之后随着药力的减退,心率再次慢慢升高.画出自服药那一刻起,心率关于时间的一个可能的图象(示意图).解:时间(h)心率o4其图象如下:单调性与最大(小)值1.3.1第二课时函数的最大(小)值返回目录1.什么是函数的最大值和最小值?2.怎样求函数的最大值和最小值?问题2.画出函数f(x)=x2的图象,观察图象,是否存在一个自变量x0,对定义域内任意x,使f(x)≥f(x0)或f(x)≤f(x0)?若存在,x0是多少?f(x0)是多少?xyoy=x2图象在x轴的上方,向上无限延伸,最低点是原点.不存在一个x0,使定义域内这时f(0)=0是最小值.存在一个x0=0,使定义域内的任意x,都有f(x)≤f(x0).的任意x,都有f(x)≥f(0)=0.一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的xI,都有f(x)≤M;(2)存在x0I,使得f(x0)=