高一数学经典例题及解法

集合集合，本身就是一个强有力的数学工具，高中数学学习的集合，可以说，仅仅是集合世界里的沧海一粟，我们学习了集合的概念，子集交集并集等概念，一些简单的集合运算与集合间的关系，但是高中考查集合的题目，基本上属于容易题，但也不乏中难题。做集合的题目，一定要细心，要特别当心的，比如有没有讨论空集啊，真子集和子集的区别啊，交集和并集有没有取错啊，等等。基础知识一、集合1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性（2）集合的分类；有限集，无限集（3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法2、集合间的关系：子集：对任意xA，都有xB，则称A是B的子集。记作AB真子集：若A是B的子集，且在B中至少存在一个元素不属于A，则A是B的真子集，记作AB集合相等：若：,ABBA,则AB3.元素与集合的关系：属于不属于：空集：4、集合的运算：并集：由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫并集，记为AB交集：由集合A和集合B中的公共元素组成的集合叫交集，记为AB补集：在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合叫补集，记为UCA5．集合12{,,,}naaa的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；6.常用数集：自然数集：N正整数集：*N整数集：Z有理数集：Q实数集：R例题【分析】A中至多有一个元素，换句话说，方程至多有一个解，也就是说，要么，方程无解，要么方程只有一个解。又因为二次项系数是a，我们不能确定这个方程到底是一元一次方程还是一元二次方程，所以就要对a是否等于0进行分类讨论。函数高一的函数包含了初中已学过的一次函数、二次函数、反比例函数，但是更多的，注重这些函数本质的研究，研究的是多种形式共存的函数的共性——单调性、奇偶性、周期性等等，都是函数重要的性质。函数的多重转化，也许一个函数只是一个数，也可以使一个式子，也可以是多个不同种类的函数组成一个新的函数。研究函数，不仅要从解析式，更要从图像、从实际应用的角度出发，构建一个完整的数学体系。基础知识一、函数的奇偶性1、定义：奇函数=f(–x)=–f(x)，偶函数=f(–x)=f(x)（注意定义域）2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；（2）偶函数的图象关于y轴成轴对称图形；（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；（4）如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．二、函数的单调性1、定义：对于定义域为D的函数f(x)，若任意的x1,x2∈D，且x1x2①f(x1)f(x2)=f(x1)–f(x2)0=f(x)是增函数②f(x1)f(x2)=f(x1)–f(x2)0=f(x)是减函数2、复合函数的单调性:同增异减三、二次函数y=ax2+bx+c（0a）的性质1、顶点坐标公式：abacab44,22，对称轴：abx2，最大（小）值：abac4422.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)fxaxbxca;(2)顶点式2()()(0)fxaxhka;(3)两根式12()()()(0)fxaxxxxa.四、指数与指数函数1、幂的运算法则：（1）am•an=am+n，（2）nmnmaaa，（3）(am)n=amn（4）(ab)n=an•bn（5）nnnbaba（6）a0=1(a≠0)（7）nnaa1（8）mnmnaa（9）mnmnaa12、根式的性质（1）()nnaa.（2）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0||,0nnaaaaaa.4、指数函数y=ax(a0且a≠1)的性质：（1）定义域：R；值域：(0,+∞)（2）图象过定点（0，1）5.指数式与对数式的互化：logbaNbaN(0,1,0)aaN.五、对数与对数函数1对数的运算法则：（1）ab=N=b=logaN（2）loga1=0（3）logaa=1（4）logaab=b（5）alogaN=N（6）loga(MN)=logaM+logaN（7）loga(NM)=logaM--logaN（8）logaNb=blogaN（9）换底公式：logaN=aNbbloglog（10）推论loglogmnaanbbm(0a,且1a,,0mn,且1m,1n,0N).（11）logaN=aNlog1（12）常用对数：lgN=log10N（13）自然对数：lnA=logeA（其中e=2.71828…）2、对数函数y=logax(a0且a≠1)的性质：（1）定义域：(0,+∞)；值域：R（2）图象过定点（1，0）Y0X1a10YX10a1X0Y10a10YX1a1六、幂函数y=xa的图象:（1）根据a的取值画出函数在第一象限的简图.例如：y=x221xxy11xxy七.图象平移：若将函数)(xfy的图象右移a、上移b个单位，得到函数baxfy)(的图象；规律：左加右减，上加下减八.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有(1)xyNp.九、函数的零点：1.定义：对于()yfx，把使()0fx的X叫()yfx的零点。即()yfx的图象与X轴相交时交点的横坐标。2.函数零点存在性定理：如果函数()yfx在区间,ab上的图象是连续不断的一条曲线，并有()()0fafb，那么()yfx在区间,ab内有零点，即存在,cab，使得()0fc，这个C就是零点。例题a00a1a1:0≤x≤2→0≤2x≤4→f（x）定义域为【0,4】，又因为x≠1所以g（x）定义域为【0,1）∪（1,4】下面是关于二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的例题，这一部分既是重点知识，也是高考必考的难点。