高一数学必修一、必修二知识点整合

必修一第一章集合与函数概念1.1集合的含义与表示集合元素的三大特征：确定性、互异性、无序性。通常，集合用大写字母表示，集合元素用小写字母表示。如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA。如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA。非负整数集（自然数集）N整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R集合的两种表示方式：列举法，描述法。1.2集合间的基本关系①一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集。记作：()ABBA或读作：A含于B(或B包含A)。②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等。Venn图法表示集合。空集的定义：不含任何元素的集合称为空集。空集的性质：空集是一切集合的子集。空集是任何非空集合的真子集。子集的定义：对于两个集合A与B，若然任何属于A的元素也属于B，我们就说A是B的子集。真子集的定义：如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。1.3集合的基本运算交集、并集、全集、补集。一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集。记作：A∩B。读作：A交B。其含义用符号表示为：{|,}.ABxxAxB且用Venn图表示如下：—般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。记作：A∪B.读作：A并B.其含义用符号表示为：{|,}ABxxAxB或用Venn图表示如下：补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个真子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做子集A在S中的补集记作∁sA.读作A在S中的补集。ABAB1.4函数的概念（1）设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．注意：①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．（2）构成函数的三要素：定义域、值域、对应关系。（3）区间的概念①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；②无穷区间；③区间的数轴表示．（4）求函数定义域的方法：1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）5）满足实际问题有意义.1.5函数的表示法函数的三种常用表示法：解析法、列表法、图像法解析式的特点为：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域。列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值。图像法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化情况。注意：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等。②解析法：必须注明函数的定义域。③图象法：是否连线。④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征。1.6映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A→B”。说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其中f表示具体的对应法则，可以用多种形式表述．（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．1.7函数的单调性增函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。减函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。注意：1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质。2）必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)。函数单调性的定义：如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。判断函数单调性的步骤：①任取x1，x2∈D，且x1x2。②作差f(x1)－f(x2)。③变形（通常是因式分解和配方）。④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）。⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。1.8函数的最大最小值(1)最大（小）值定义：一般地，设函数()yfx的定义域为I，如果存在实数M满足：1）对于任意的xI，都有f(x)=(=)M；2）存在0xI，使得0()fxM．那么，称M是函数()yfx的最大值。(2)利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法。①配方法②换元法③数形结合法1.9函数的奇偶性偶函数的定义：一般地，对于函数()fx的定义域内的任意一个x，都有()()fxfx，那么()fx就叫做偶函数。奇函数的定义：一般地，对于函数()fx的定义域的任意一个x，都有()()fxfx，那么()fx就叫做奇函数．注意：1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质。2）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。3）偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称。偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致。第二章基本初等函数2.1指数与指数幂的运算n次方根：一般地，若nxa，则x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈Ｎ＊,当n为偶数时，a的n次方根中，正数用na表示，如果是负数，用na表示，na叫做根式.n为奇数时，a的n次方根用符号na表示，其中n称为根指数，a为被开方数。nnnanaanana为奇数,的次方根有一个,为为正数:为偶数,的次方根有两个,为nnanaanan为奇数,的次方根只有一个,为为负数:为偶数,的次方根不存在.零的n次方根为零，记为00n正数的分数指数幂的意义为：*(0,,)mnmnaaamnN正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.即：*1(0,,)mnmnaamnNa规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是111(0)nmmmmaaaaa由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：（1）(0,,)rsrsaaaarsQ（2）()(0,,)rSrsaaarsQ（3）()(0,0,)rrrababQbrQ一般来说，无理数指数幂(0,)paap是一个无理数是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的。整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序。2.2指数函数及其性质指数函数的定义：一般地，函数xya（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R。从图上看xya（a＞1）与xya（0＜a＜1）两函数图象的特征。8642-2-4-6-8-10-5510指数函数xya（a＞0且a≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.图象特征函数性质a＞10＜a＜1a＞10＜a＜1向x轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点（0，1）0a=1自左向右，图象逐渐上升自左向右，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1x＞0，xa＞1x＞0，xa＜1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1x＜0，xa＜1x＜0，xa＞1利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[,]xabfxa上,()=（a＞0且a≠1）值域是[(),()][(),()];fafbfbfa或（2）若0,xfxfxx则()1;()取遍所有正数当且仅当R;（3）对于指数函数()xfxa（a＞0且a≠1），总有(1);fa（4）当a＞1时，若1x＜2x，则1()fx＜2()fx。2.3对数对数的定义：一般地，若(0,1)xaNaa且，那么数x叫做以a为底N的对数，记作logaxN，a叫做对数的底数，N叫做真数。在对数的概念中，要注意：（1）底数的限制a＞0，且a≠1（2）logxaaNNx指数式对数式幂底数←a→对数底数指数←x→对数幂←N→真数说明：对数式logaN可看作一记号，表示底为a（a＞0，且a≠1），幂为N的指数工表示方程xaN（a＞0，且a≠1）的解。也可以看作一种运算，即已知底为a（a＞0，且a≠1）幂为N，求幂指数的运算.因此，对数式logaN又可看幂运算的逆运算。两类对数：①以10为底的对数称为常用对数，10logN常记为lgN.②以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，logeN常记为lnN.以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即lg1002.2.4对数及其性质1的对数是零，负数和零没有对数对数的性质log1aaa＞0且a≠1logaNaN如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么：（1）logloglogaaaMNMN（2）logloglogaaaMMNN（3）loglog()naaMnMnR换底公式：a＞0，且a≠1，c＞0，且e≠1，b＞0logloglogcacbba一般地，我们把函数logayx（a＞0且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。对数函数的性质：图象的特征函数的性质（1）图象都在y轴的右边（1）定义域是（0，+∞）（2）函数图象都经过（1，0）点（2）1的对数是0（3）从左往右看，当a＞1时，图象逐渐上升，当0＜a＜1时，图象逐渐下降.（3）当a＞1时，logxay是增函数，当0＜a＜1时，logayx是减函数.（4）当a＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0.当0＜a＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都（4）当a＞1时x＞1，则logax＞00＜x＜1，logax＜0当0＜a＜1时x＞1，则logax＜0大于0.0＜x＜1，logax＜0a＞10＜a＜1图象性质（1）定义域（0，+∞）；（2）值域R；（3）过点（1，0），即当x=1，y=0；（4）在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）是上减函数反函数：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数为反函数.同底的指数函数和对数函数互为反函数。2.5