求体积的几种常用的方法

南昌市豫章中学授课人：徐娜复习回顾：1.棱柱、棱锥、棱台的体积公式是什么？它们的图形有何联系？上底扩大上底缩小正棱柱正棱台正棱锥s'=0s=s'V=--h(S+√SS'+S')13台体V=Sh柱体V=--Sh13锥体2.常见的几何体——正四面体的体积公式是什么？答：边长为的正四面体的体积为a3122aASCBOa36a33aBCA'B'如何求三棱锥的体积？V三棱锥=-V三棱柱13①②③ABCA'B'C'ABCA'CA'C'B'答：由于和的面积相等，且三棱锥和三棱锥具有相等的高，所以BAA,BAB,BAAC,BABC,BABCBAACVV,,又由于和的面积相等，且三棱锥和三棱锥具有相等的高，所以CBB'''CCBCBBA'''''CCBA'''''CCBACBBAVV一、等积转换法（换底法）等积转换法是针对当所给几何体的体积不能直接套用公式或涉及的某一量(底面积或高)不易求解时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算，该方法尤其适用于求三棱锥的体积。【例1】在边长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是棱A1B1、A1D1、A1A上的点，且满足A1M=A1B1，A1N=2ND1，A1P=A1A，如图，试求三棱锥A1—MNP的体积．2143MNAPMNPAVV11.241433221213121313111aaaaPANAMA解：思考：结论：对于三棱锥，四个面都可以作为底面，选取三个点所在的面作为底面，剩余的一个点作为顶点。至于如何选取，关键在于选取的底面积和高易求出。对于给出的一个不规则的几何体，不能直接套用公式，常常需要通过“割”或“补”化复杂图形为已熟知的简单几何体，并作体积的加、减法，从而较快地找到解决问题的突破口。二、割补法【例2】如右图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为.思考：EFABCDEFABCDGH(分割法2)PEFABCD（分割法3）QEGFPABCDH（补形法）EFABCD(分割法1)EFABCDEFABCD（分割法1）多面体分割成一个三棱锥和一个四棱锥，但是，三棱锥E-ADF的体积不易求得，所以，不考虑这种方法。注：将几何体分割时，尽量分割成体积容易求得的小几何体。.32221221213112212112221BHCAGDBHCFAGDEABCDEFBHCAGDVVVV，SS,23HCBHGDAG由题意得21分别过A、B作EF的垂线，垂足分别为G、H，连结DG、CH，容易求得EG=HF=.(分割法2)EFABCDEFABCDGH返回EFABCDPEFABCD（分割法3）：取EF的中点P，则多面体ABCDEF分割成正四面体ADEP，PBCF和正四棱锥P-ABCD32622122.6222131122ABCDEFABCDPPBCFADEPVVVV返回QEGFPABCDHEFABCD（补形法）：如图，过E分别作BA、CD的延长线的垂线EG、EH，过F分别作AB、DC的延长线的垂线FP、FQ，连接GH、PQ，则多面体EFH-FPQ为直三棱柱AG=DH=BP=CQ=，2123EG=EH=FP=FQ=E到平面AGHD的距离为223221222222221211222212131ABCDEFFPQEGHBCQPFAGHDEVVVV返回ABCDEF1.多面体常常切割成柱体和锥体，特别是三棱锥,比如2.将大几何体分割时，尽量分割成底面积或高容易求得的小几何体。ABCDEFGHabbbaa1.将不规则的几何体补成规则的或体积易于计算的几何体。2.常见的补形（1）将被平面所截得几何体还原；（2）将三棱锥补成平行六面体，特别是长方体或正方体；BPCBPACa.三条侧棱互相垂直，补成长方体b.将三棱锥补成三棱柱或平行六面体PABCPABCABCPABPCc.将正四面体补成正方体解：.,60,2,1,求此三棱锥的体积中在三棱锥BACPACPABACABPAABCP练习：.,,:,.360cos21221,222222PBCPAPCPAPBPAPBPAABPBPAB面故同理即中在PABCPABC.,PAPBC三棱锥的高为则为底面选平面D.32213131,21322PAPDBCPDSVBDPBPDPBC又（等积转换法）思考这个三棱锥还可以用“割补法”做吗？“割”或“补”一个几何体得到常见的几何体呢？法二(分割法）取AB、AC的中点M、N，连接PM、PN、MN，则P-AMN是一个棱长为1的正四面体。明显地，VP-ABC=4VP-AMN故VP-ABC=32112243MNPABCPABCOQ法三：明显地，P-ABC是棱长为2的正四面体，所以，VP-ABC=1/2VQ-ABC（补形法）延长AP至点Q，连接BQ、CQ，322122213求体积的常用方法所给的是非规范(或条件比较分散的规范的)几何体时,通过对图象的割补或体积变换,化为与已知条件直接联系的规范几何体,并作体积的加、减法。小结当按所给图象的方位不便计算时,可选择条件较集中的面作底面,以便计算底面积和高.所给的是规范几何体,且已知条件比较集中时,就按所给图象的方位用公式直接计算体积.换底法直接法割补法作业：P49B组1,2,3