《复变函数与积分变换》教学大纲

《复变函数与积分变换》教学大纲课程名称复变函数与积分变换课程代码学分4总学时48学时教材：《复变函数与积分变换》高等教育出版社,苏变萍,陈东立编适用专业电子信息科学与技术先修课程高等数学【课程性质、目标和要求】复变函数与积分变换是工程数学的重要基础课程。也是很多工科专业的必修课程。复变函数论方法在工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学，弹性理论中的平面问题的有力工具。复变函数与积分变换的方法在电学，小波理论等方面更是有着重要的作用。因此，对于工科的学生，通过本课程的学习，掌握复变函数与积分变换，为以后的学习有着重要作用。熟练掌握复变函数的基本理论和基本方法，对解析函数、柯西积分定理、柯西积分公式、解析函数的泰勒展开与罗朗展开、留数理论等有较深入的理解，并能用来解决简单的实际问题。1、正确理解复数、复平面、复变函数、复球面及无穷远点的概念，熟练掌握复数与复变函数运算、性质及应用；2、熟练掌握解析函数的等价刻划定理特别是柯西-黎曼条件。掌握初等函数的解析性，以及解析函数的无穷可微性、解析函数零点的孤立性与解析函数的唯一性定理、最大模原理等；3、正确理解复变函数积分的定义，熟练掌握柯西积分定理及其推广形式、柯西积分公式、解析函数的平均值定理以及它们的各种应用；4、掌握解析函数的泰勒展式、罗朗展式，并能用它来解决实际问题；5、正确理解留数的定义及留数定理、辐角原理，会用留数计算实积分。6、掌握傅里叶变换与拉普拉斯变换的性质、方法，熟练运用Fourier变换和Laplace变换解决一些实际问题。【教学内容要点】第一篇复变函数第一章复数与复变函数一、学习目的要求1、熟练掌握复数的模与辐角、复数的三种表示、复数的基本性质，掌握复数的乘幂与方根的求法，会用复数表示平面图形，会用复数解决一些简单的几何问题。2、理解平面点集的几个基本概念，理解区域与约当曲线的概念，了解约当定理，会区分单连通区域与多连通区域。3、充分理解复变函数、多值函数、反函数等概念，理解复变函数的几何表示，会求简单平面图形的变换象（或原象），理解复变函数的极限，掌握极限的等价刻划定理，理解复变函数的连续性及其等价刻划定理，熟悉有界闭集上连续函数的性质。4、了解复球面，理解无穷远点与扩充复平面。二、主要教学内容1、复数：复数域、复平面、复数的模与辐角、复数的乘幂与方根、共轭复数、复数在几何上的应用举例2、复平面上的点集：复平面上的点集的几个基本概念、区域与约当曲线3、复变函数：复变函数的概念、复变函数的极限与连续性4、复球面与无穷远点：复球面、扩充复平面上的几个概念第二章导数一、学习目的要求1、理解复变函数的导数的概念，掌握解析函数的定义及其简单性质，熟练掌握解析函数的等价刻划定理特别是柯西-黎曼条件。2、熟练掌握指数函数的定义与主要性质，掌握三角函数的定义与基本性质，了解双曲函数定义与基本性质。3、掌握幂函数与指数函数的变换性质与单叶性区域，理解并逐步掌握通过限制幅角或割破平面的方法求根式函数和对数函数的单值解析分支，了解一般幂函数与一般指数函数，理解并掌握求具有多个支点的多值函数的支点从而使其能分出单值解析分支的方法，会由已知单值解析分支的初值计算终值，了解反三角函数与反双曲函数。4、掌握调和函数与共轭调和函数的概念，理解解析函数与调和函数的关系，掌握由解析函数的实部（或虚部）求虚部（或实部）的两种方法。二、主要教学内容1、解析函数的概念与柯西-黎曼方程：复变函数的导数与微分、解析函数及其简单性质、柯西-黎曼方程2、初等解析函数：指数函数、三角函数与双曲函数3、初等多值函数：根式函数、对数函数、一般幂函数与一般指数函数、具有多个有限支点的情形、反三角函数与反双曲函数4、调和函数：调和函数的概念、已知实部或虚部的解析函数的表达式。第三章积分一、学习目的要求1、理解复变函数的积分的定义，掌握复积分的性质与计算方法。2、掌握柯西积分定理及其等价形式和两种推广形式以及它们的应用，掌握不定积分特别是由变上限积分确定的单值解析函数，会用牛顿-莱布尼兹公式计算复定积分。3、熟练掌握柯西积分公式与高阶导数公式，掌握解析函数的平均值定理、无穷可微性以及它的第二个等价刻划定理，掌握柯西不等式、刘维尔定理、摩勒拉定理。二、主要教学内容1、复积分的概念与简单性质：复变函数的积分的定义、复积分的计算问题、复变函数积分的基本性质2、柯西积分定理：柯西积分定理、柯西积分定理的古莎证明、不定积分、柯西积分定理推广、柯西积分定理推广到复围线的情形3、柯西积分公式及其推论：柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、柯西不等式、刘维尔定理、摩勒拉定理第四章级数一、学习目的要求1、理解复数项级数敛散性的定义，掌握其收敛性的两个刻划定理，掌握复级数的绝对收敛性及绝对收敛复级数的性质，掌握关于复变函数项级数的柯西一致收敛准则与优级数准则，熟悉复连续函数项级数的性质，了解复变函数项级数的内闭一致收敛性，熟练掌握关于解析函数项级数的维尔斯特拉斯定理。2、掌握阿贝尔定理，充分理解幂级数的敛散性，熟练掌握幂级数收敛半径的求法，掌握幂级数和函数的解析性。3、掌握泰勒定理，理解幂级数的和函数在收敛圆周上的情况，掌握一些初等函数的泰勒展开式，会用间接法把解析函数展开为幂级数。4、掌握解析函数零点的概念及具有零点的解析函数的表达式，掌握解析函数零点的孤立性与解析函数的唯一性定理，熟练掌握最大模原理及其推论。5、了解双边幂级数的敛散性及其和函数的解析性，掌握罗朗定理，理解罗朗级数与泰勒级数的关系，会用间接法把解析函数在孤立奇点邻域内展成罗朗级数。二、主要教学内容1、复级数的基本性质：复数项级数、一致收敛的复函数项级数、解析函数项级数2、幂级数：幂级数的敛散性、收敛半径的求法、柯西—阿达马(Hadamard)公式、幂级数和函数的解析性3、解析函数的泰勒(Taylor)展式：泰勒定理、幂级数的和函数在收敛圆周上的情况、一些初等函数的泰勒展开式4、解析函数零点的孤立性及唯一性定理：解析函数零点的孤立性、唯一性定理、最大模原理5、解析函数的罗朗展式：双边幂级数、解析函数的罗朗展式、罗朗级数与泰勒级数的关系、解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式第五章留数一、学习目的要求1、掌握留数的定义与留数定理，熟练掌握留数的求法，掌握无穷远点的留数的定义及其求法。2、掌握用留数计算三角函数有理式在一个周期上的积分、有理函数的无穷限广义积分、有理函数与纯虚变量指数函数（或三角函数）乘积的无穷限广义积分的方法，了解积分路径上有奇点的积分的求法。3、掌握关于解析函数零点与极点个数的定理，掌握辐角原理及其应用，掌握儒歇定理及其应用。二、主要教学内容1、留数：留数的定义及留数定理、留数的求法、函数在无穷远点的留数2、用留数定理计算实积分：用留数定理计算三角函数有理式在一个周期上的积分、用留数定理计算有理函数的无穷限广义积分、用留数定理计算有理函数与纯虚变量指数函数（或三角函数）乘积的无穷限广义积分、用留数定理计算积分路径上有奇点的积分、杂例、用留数定理计算多值函数的积分3、辐角原理及其应用：对数留数、辐角原理、儒歇（Rouche）定理第二篇积分变换第一章傅里叶变换一、学习目的要求1．正确理解傅立叶变换的概念。2．知道傅立叶变换的存在定理，会用定义求一些简单的函数的傅立叶变换。3．掌握傅立叶变换的性质。4．了解函数的描述性定义及函数的傅立叶变换式（广义傅立叶变换）。二、主要教学内容1、傅里叶积分：概念、物理意义及傅里叶积分定理.2、傅里叶变换：定义及性质。3、函数及傅里叶变换：函数的概念、性质及函数的傅里叶变换。第二章拉普拉斯变换一、学习目的要求1、理解拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换的概念。2、掌握拉普拉斯变换的性质。3、会求一些简单函数的拉普拉斯变换及其逆变换。4、了解卷积概念，会用定义求一些简单的卷集。5、了解拉普拉斯变换的一些简单应用。二、主要教学内容1、拉普拉斯变换：概念，拉普拉斯积分、拉普拉斯变换。2、拉普拉斯逆变换3、拉普拉斯变换的性质。4、拉普拉斯变换的应用。主要参考书目：[1]复变函数论（第三版），钟玉泉编，高教出版社，2003。[2]积分变换（第四版），东南大学数学系，张元林编，高等教育出版社，2003。[3]复变函数与积分变换学习辅导与习题全解，李红、谢松法著，高等教育出版，2003。[4]复变函数（第四版）西安交通大学高等数学教研室编，高等教育出版社，2006。[5]积分变换南京工学院数学教研组编，高等教育出版社，2006。