数字图像处理中的图像变换

第三讲图像变换刘春国河南理工大学测绘与国土信息工程学院图像与图像变换图像的表示空间域频率域将图像看成是线性叠加系统图像由像素组成，像素在图像空间中按某种规律排列的，图像在空间域上具有很强的相关性。图像变换是将图像从空间域变换到其它域如频率域的数学变换图像变换的目的在于：①使图像处理问题简化；②有利于图像特征提取；③有助于从概念上增强对图像信息的理解。图像变换概述图像变换通常是一种二维正交变换。一般要求正交变换：①正交变换必须是可逆的；②正变换和反变换的算法不能太复杂；图像正交变换③正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分布在低频率成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上。借助于正交变换的特性可使得在空间域上的复杂计算转换到频率域后得到简化，更有利于获得图像的各种特性和进行特殊处理线性系统系统的定义：接受一个输入，并产生相应输出的任何实体，系统的输入是一个或两个变量的函数，输出是相同变量的函数)t(y)(输出输入系统tx线性系统的定义：对于某特定系统有：x1(t)-y1(t)x2(t)-y2(t)该系统是线性的，当且仅当：x1(t)+x2(t)-y1(t)+y2(t)1122()()()()xtytxtyt线性系统移不变性线性系统移不变性的定义：对于某线性系统，有x(t)-y(t)当输入信号沿时间轴平移T，有：x(t-T)-y(t-T)则称该线性系统具有移不变性二维线性位移不变系统1212,[,],,,,TfxyTfxyTfxyfxyTfxyTfxy如果对二维函数施加运算T[·]，满足yxfaTyxafT,,则称该运算为二维线性运算。由它描述的系统，称为二维线性系统。LTI系统的零输入响应和零状态响应零输入响应：激励为零时，仅由系统的初始状态{x(0)}所引起的响应yx(t)；零状态响应：系统的初始状态为零时，仅有输入信号f(t)所引起的响应yf(t)LTI系统的完全响应为y(t)=yx(t)+yf(t)单位冲激响应：LTI系统，系统的初始状态为零时，由输入单位冲激信号δ(t)所引起的单位冲激响应h(t)，它与零输入响应具有相同的函数形式卷积定义对于一个线性时不变系统的输入f(t)和输出y(t),其间必定存在关系：h(t)称为线性系统的单位冲激响应函数，其含义为：当线性系统输入f(t)为单位脉冲函数时，线性系统的输出响应上式称之为卷积积分，两个函数的卷积运算是将一个函数反折平移后与另一个函数相乘，并计算积函数的积分dthfthtfty)()()(*)()(卷积过程卷积过程狄拉克函数0,0(,)01xyxydxdydxdy其他脉冲函数（）狄拉克函数性质1、偶函数f(-x)=f(x)δ函数性质δ函数的一个重要特性就是采样特性(据广义函数定义)。即:),(),(),(fdxdyyxyxf当α=β=0时dxdyyxyxff),(),()0,0(位移性),(),(),(yxyxfyxfδ函数的另一个重要特性就是位移性。即使用δ函数与另一个输入函数作卷积，输出仅依赖于影响和被影响变量之间的相对位置，而与实际位置不相关用卷积符号*表示为),(),(),(yxyxfyxf因此还有δ函数（冲激函数）与卷积积分卷积积分最简单的情况是函数之一是冲激函数某函数与冲激函数的卷积就是其本身点扩散函数当输入为单位脉冲δ(x,y)时，系统的输出便称为脉冲响应，用h(x，y)表示。在图像处理中，它便是对点源的响应，称为点扩散函数。用图表示为:当输入的单位脉冲函数延迟了α、β单位，即当输入为δ(x-α,y–β)时，如果输出为h(x–α,y–β)，则称此系统为位移不变系统。点扩散函数与二维线性位移不变系统ddyxTf,),(线性ddyxfTyxfTyxg),(),(),(),(ddyxhf,,移不变对于一个二维线性位移不变系统，如果输入为f(x,y),输出为g(x,y)，系统加于输入的线性运算为T[•]，则有),(),(),(yxhyxfyxg上式表明，线性位移不变系统的输出等于系统的输入和系统脉冲响应（点扩散函数）的卷积。互相关函数给定两个函数f(t)和g(t),它们的互相关函数定义为：dttgtftgtfRfg)()()(*)()(互相关函数可以反映两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度如果g(t)是点扩散函数h(t),那么输出为输入图像和点扩散函数的互相关函数。3.2傅立叶变换傅立叶级数：周期函数对于周期函数，我们可以将它展开成由简单的周期函数例如三角函数组成的级数。函数sinx是一种简单的正弦周期函数，描述如下：)sin(tAy是以2π/ω为周期的正弦函数。其中A振幅，ω为角频率，φ为初相，t表示时间，y表示动点的位置傅立叶级数：非正弦周期函数为了研究非正弦周期函数，可以将周期为T=2π/ω的周期函数用一系列以T为周期的正弦函数的级数来表示，记为：10)sin()(nnnTtnAAtf其中A0,An,φn是常数，n=1,2,3……这样就可以把一个比较复杂的周期运动看作是许多不同频率的简谐振动的叠加傅立叶级数进一步，对上式按三角公式变形可得：xcosbsinaA2asincoscossin)sin(,n,n00tAAtnAtnAtnAnnnnnnnnnn，令则周期函数可表示为：1nn0)sincosa(2a)x(fnxbnxn傅立叶级数三角函数系的正交性即：sinx,cosx,sin2x,cos2x,…,sinnx,cosnx,…在区间[-π,π]上正交，就是指在三角函数系中任何两个函数的乘积在区间[-π,π]上的积分等于零。傅立叶级数如周期函数可展成三角级数1nn0)sincosa(2a)x(fnxbnxn当该级数可逐项积分,且f(x)的系数a0,an,bn都存在，可求其系数：,...)3,2,1(sin)(2,...)3,2,1,0(cos)(22222nnxdxxfTbnnxdxxfTaTTnTTn那么函数f(x)的三角级数称为函数f(x)的傅立叶级数傅立叶级数狄利克雷（Dirichlet)条件设f(x)是周期为2π的周期函数，如果它满足：（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；（2）在一个周期内至多只有有限个极值点，则f(x)的傅立叶级数收敛，并且当x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x)；当x是f(x)的间断点时，级数收敛于1/2[f(x-0)+f(x+0)].傅立叶级数一个周期为T的函数f(t)在[-T/2,T/2]上满足狄利克雷（Dirichlet)条件，则在[-T/2,T/2]可以展成傅立叶级数-nTt.in)t(fecn其复数形式为：1nn0T)sincosa(2a)t(ftnbtnncn为：22)(1TTdtetfTctjnTn可见，傅立叶级数清楚地表明了信号由哪些频率分量组成及其所占的比重，从而有利于对信号进行分析与处理一维连续函数的傅立叶变换令f(x)为实变量x的连续函数，f(x)的傅立叶变换用F(u)表示，则定义式为：dxexfuFuxj2)()(若已知F(u)，则傅立叶反变换为：dueuFxfuxj2)()(上两个式子称为傅立叶变换对傅立叶变换uxjuxeuxj2sin2cos2dxexfuFuxj2)()(傅立叶变换中出现的变量u通常称为频率变量|R(u)I(u)|arctan:(u)I(u)R|F(u)|:(u)]I(u)[R:dxπux)sin(2f(x):dxπux)(2cosf(x)2222/122-φ(u)E(u)|F(u)|I(u)R(u)相位能量振幅虚部实部：这里f(x)是实函数，它的傅立叶变换F(u)通常是复函数。F(u)的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如右。其中振幅又称振幅谱，或傅立叶谱、或称频谱。频谱的平方称能量谱根据欧拉公式可以展开成dxuxxfjdxuxxfu)2sin()()2cos()()F(傅立叶变换傅立叶变换的目的傅立叶变换建立了函数在空间域与频率域之间的转换关系，把空间域中的问题转换到频率域中求解。求一个函数的傅立叶变换就是求它的频谱，即求它的各频率分量及分量所占的比重通常称傅立叶变换前变量变化的空间为空间域，而称傅立叶变换后变量变化的空间为频率域傅立叶变换变换分析的直观说明二维函数的傅立叶变换二维函数的傅立叶变换可由一维推广，如果f(x,y)是连续和可积的，存在如下傅立叶变换对：dudvev)F(u,y)f(x,dxdyey)f(x,v)F(u,vy)π(ux2jvy)π(ux2j二维函数的傅立叶谱、相位和能量谱分别为|F(u，v)∣=[R2(u，v)+I2(u，v)]1/2φ(u，v)=tan-1[I(u，v)／R(u，v)]E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v)离散函数的傅立叶变换假定取间隔△x单位的抽样方法将一个连续函数f(x)离散化为一个序列{f(x0),f(x0+△x),…，f[x0+(N-1)△x]}，如图所示。那么离散序列f(x)可以表示为f(x)=f(x0+iΔx)，其中i取离散值0,1,2,3,…,n-1。即用序列{f(0)，f(1)，f(2)，…，f(N-1)}代替{f(x0)，f(x0+△x)，…，f[x0+(N-1)△x]}。一维离散函数的傅立叶变换连续函数f(x)经离散采样后，形成一函数序列f(x)=f(x0+xΔx),仿照一维连续函数的傅立叶变换可以给出离散函数的傅立叶变换定义为右上式：13210ef(x)F(u)1N0xπux/N2jN1,...,N-,,,u其中傅立叶反变换为：1N-.,0,1,2,3,..x)()x(f10u/2其中NNuxjeuF离散傅立叶变换的例子10/21)()(NxNuxjNexfuF2/1)3(()2()1()0(]1111[)()()0(413041304/0241ffffxfexfFxxπx例如：对一维信号f(x)=[1010]进行傅立叶变换。由得u=0时，u=1时,0)3(()2()1()0(]11[)()1(412/x3041ffffjjexfFjπx2/1)3(()2()1()0(]1111[)()2(413041ffffexfFjππx0)3(()2()1()0(]11[)()3(412/33041ffffjjexfFπxjx0101111111111111)u(F41jjjju=2时,u=3时,在N=4时，傅立叶变换以矩阵形式表示为在二维离散的情况下，傅立叶变换对表示为F(u，v)=式中u=0，1，2，…，M-1；v=0，1，2，…，N-1。f(x，y)=式中x=0，1，2，…，M-1；y=0，1，2，…，N-1。一维和二维离散函数的傅立叶谱、相位和能量谱也分别由前面式子给出，唯一的差别在于独立变量是离散的。一般来说，对一幅图像进行傅立叶变换运算量很大，不直接利用以上公式计算。采用傅立叶变换快速算法。101