初中数学动点专题

动点问题动点问题：是指图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动所形成的轨迹或变化的图形.顾名思义，动点问题不同于我们一般的几何题目，它的图形是发生运动变化的。解决这类问题的关键：动中求静,找出运动的点（线）和不动的点（线）。要求在熟练掌握三角形、长方形（正方形）、梯形、扇形等图形的图形性质的基本上，通过“对称、平移、旋转”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。从数学思想的层面上要掌握：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等动点问题解题思路：归纳为12个字——“看要素，表线段，列等式，查结果”。分析动点变化的要素，包括：起点，终点，速度，方向，运动范围等观察哪些是运动的点（线），哪些是固定不动的点（线）明白了点的运动，再把图中的线段长度表示出来用距离（S）=速度（V）×时间（T），以便于下一步的运算利用一些不动的量，长度不变的线段，列出等式。这里有很多变化，动点问题的核心考查也在这里，查结果。这就涉及到动点问题的又一难点——范围。最后一定要将结果返代回题目中进行考查看是否满足题意，不满足的要舍去。例题：梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=6cm，BC=24cm，动点P从点A开始，沿AD边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边，以4厘米/秒的速度向B点运动。已知P、Q两点分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。假设运动时间为t秒，问：（1）t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？（2）在某个时刻，四边形PQCD可能是菱形吗？为什么？（3）t为何值时，四边形PQCD是直角梯形？（4）在某个时刻，四边形PQCD可能是等腰梯形吗？为什么？我们来通过这道例题，严格按照上面所讲的步骤尝试一次看看。1，看要素。其中点P和Q为动点，其余点问固定点。点P运动的起点为点A，终点为点D，方向为AD方向，速度为1厘米/秒。点Q运动的起点为点C，终点为点B，方向为CB方向，速度为4厘米/秒。我们可以看到两点是相向运动，点Q速度要快。另外大家这里要特别注意点的运动范围：点P从A到点D需16s，点Q从点C到点B只需6s，而题目中说“当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动”，所以这道题整个的运动时间最多是6s，也就是说大家解出的答案不能大于6了，这点往往易被大家忽略，也是经常出错的地方。2，表线段。运动时间为t，则AP=t，CQ=4t，PD=16-t，BQ=24-4t，还可以得到AB=6，CD=103，列等式。这里要借助几何图形本身的性质，找出其中的等量关系来列等式。平行四边形：对边相等。PD=CQ，16-t=4t，t=3.2菱形：四边都相等。PD=CD=CQ=PQ，即t=3.2且PD=12.8，但PD=CD=10，矛盾，不可能形成菱形。直角梯形：借助四边形APQB是矩形，矩形对边也相等。AP=BQ，t=24-4t，t=4.8等腰梯形：作等腰梯形的两高，底角的两个三角形全等。过点P，D分别向BC作垂线，垂足为E，F，则QE=CF，t-(24-4t)=24-16，t=6.44，查结果。我们发现第四问的结果超过6了，要舍去，所以题目不可能形成等腰梯形。动点问题常见题型：一、建立函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,和动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,1、应用勾股定理建立函数解析式例1：如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并写自变量x的取值范围（即自变量x的取值范围).(3)如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长.解:(1)当点P在弧AB上运动时,OP保持不变,于是线段GO、GP、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=NH=OP=2.图1(3)△2、应用比例式建立函数解析式例2：如图2,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=x,CE=y.(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y与x之间的函数解析式；(2)如果∠BAC的度数为,∠DAE的度数为,当,满足怎样的关系式时,(1)中y与x之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°,∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°,∴∠DAB+∠CAE=75°,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB∽△EAC,∴ACBDCEAB,∴11xy,∴xy1.(2)由于∠DAB+∠CAE=,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290,且函数关系式成立,∴290==,整理得290.当290时,函数解析式xy1成立.例3:如图3(1),在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3.点O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E.作EP⊥ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.(1)求证:△ADE∽△AEP.(2)设OA=x,AP=y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域.图3(1)(3)当BF=1时,求线段AP的长.解:(1)连结OD.根据题意,得OD⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP,∴△ADE∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3,∴AC=5.∵∠ABC=∠ADO=90°,∴OD∥BC,∴53xOD,54xAD,,,∴OD=x53,AD=x54.∴AE=xx53=x58.∵△ADE∽△AEP,∴AEADAPAE,∴xxyx585458.∴xy516(8250x)(3)当BF=1时，①若EP交线段CB的延长线于点F,如图3，则CF=4.∵∠ADE=∠AEP,∴∠PDE=∠PEC.∵∠FBP=∠DEP=90°,∠FPB=∠DPE,∴∠F=∠PDE,∴∠F=∠FEC,∴CF=CE.∴5-x58=4,得85x.可求y=2,即AP=2.②若EP交线段CB于点F,如图3(2),则CF=2.类似①,可得CF=CE.∴5-x58=2,得815x.可求得y=6,即AP=6.综上所述,当BF=1时,线段AP的长为2或6.●PDEACB3(2)OF3、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4：如图4,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=,⊙A的半径为1.若点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设BO=x,△AOC的面积为y.(1)求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当⊙O与⊙A相切时,△AOC的面积.解:(1)过点A作AH⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=,∴BC=4,AH=BC=2.∴OC=4-x.图4∵AHOCSAOC21,∴4xy(40x).(2)①当⊙O与⊙A外切时,在Rt△AOH中,OA=1x,OH=x2,∴222)2(2)1(xx.解得67x.此时,△AOC的面积y=617674.②当⊙O与⊙A内切时,在Rt△AOH中,OA=1x,OH=2x,∴222)2(2)1(xx.解得27x.此时,△AOC的面积y=21274.综上所述,当⊙O与⊙A相切时,△AOC的面积为617或21.二：动态几何题动态几何特点----问题背景是特殊图形，（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。点动问题．如图5，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D在边BC上，且BD=4，以点D为顶点作∠EDF=∠B，分别交边AB于点E，交AC或延长线于点F．（1）当AE=6时，求AF的长；（2）当以点C为圆心CF长为半径的⊙C和以点A为圆心AE长为半径的⊙A相切时，求BE的长；（3）当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时，求BE的长．[题型背景和区分度测量点]图5解：（1）证明CDF∽EBD∴BECDBDCF，代入数据得8CF，∴AF=2（2）设BE=x,则,10ACd,10xAE利用（1）的方法xCF32，相切时分外切和内切两种情况考虑：外切，xx321010，24x；内切，xx321010，17210x．100x∴当⊙C和⊙A相切时，BE的长为24或17210．（3）当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时，320BE．习题：1.如图，已知点F的坐标为（3，0），点A、B分别是某函数图像与x轴、y轴的交点，点P是此图像上的一动点，设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d=5－35x(0≤x≤5)，则结论：①AF=2②BF=4③OA=5④OB=3，正确结论的序号是A．①②③B①③C．①②④D．③④所用到的相关知识点：勾股定理解题思路：获得该曲线的解析式即可得到所有的答案。所谓的解析式就是曲线上的某一点的y值与x值之间的关系。解析式：1)当P点的x值小于OF时，则P点解析式：y2=d2-(3-x)2y2=(8-x)(2-x)B点坐标是（0，4），OB=4,BF=5(勾股数3,4,5)因此A、C排除。2)当P点的x值大于OF时，则P点解析式：y2=d2-(x-3)2y2=(2+x)(8-x)A点坐标是（5,0）OA=5，AF=5-3=2因此D排除因此答案是B.25858525yxOPFBADNMLMNLxxxxyyyyOOOO2.一电工沿着如图所示的梯子NL往上爬，当他爬到中点M处时，由于地面太滑，梯子沿墙面与地面滑下，设点M的坐标为（x，y）（x0）,则y与x之间的函数关系用图象表示大致是A．B．C．D．所用到的相关知识点：勾股定理、相似三角形。想办法找到y和x之间的关系式解题思路：获得该曲线的解析式，根据解析式判断图形的样子。设：梯子的长度是L.从M点做轴的垂线。因为M点是中点，所以ON=2x;解析式：y2=(错误!未找到引用源。)2-x2从解析式看，只有图形A是正确的。3．如图，矩形ABCD中，1AB，2AD，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿ABCM运动，则APM△的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的C．D．11233.5xy0A．11233.5xy0B．11233.5xy011233.5xy0DCBAPM所用到的相关知识点：勾股定理，三角形面积公式。想办法找到APM△和x之间的关系式解题思路：分段获得APM△与x的解析式，根据解析式判断图形的样子。ADM=1/4矩形ABCD;只要得到APB和PCM的面积，即可求出APM的面积。或者直接求出APM的面积。分段：第一段：P在AB线段上移动，则APM=y=错误!未找到引用源。*2*x=x排除了B、C第二段：P在BC段移动，则APM=y=2*1—错误!未找到引用源。—错误!未找到引用源。*1*(x-1)—错误!未找到引用源。*错误!未找到引用源。*（3-x）=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。x排除了B第三段：：P在BC段移动，则APM=y=错误!未找到引用源。*（1+2+0.5-x）*2=3.5-x答案是A4.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.设AP=x,△PBE的面积为y.则能够正确反映y与x之间的函数关系的图象是ABCDOxy112xy112O211yxO211yxOAB