数学建模计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究

计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究摘要本文建立了实行计划生育后我国人口增长的预测模型，并对人口老龄化、人口抚养比等一系列评价指标进行了预测。最后提出了有关人口控制与管理的措施。针对问题一：利用1995到2013年全国总人口数据建立了logistic人口阻滞增长模型，通过matlab软件运算得到拟合曲线预测未来总人口数。拟合的曲线的可决系数为0.9990，同时预测得到2020年、2033年我国的总人口数分别为13.8819亿和14.1433亿人，与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值误差分别为4.26%和5.71%。针对问题二：因实行计划生育，人口年龄结构对人口增长的影响很大，所以建立了按年龄分布的Leslie模型。得到：第一、我国总人口在2010年达到14.2609亿人，在2020年达到14.9513亿人，在2023年达到峰值14.985亿人；第二、预测我国在短期内劳动力不缺，但须加强劳动力结构方面的调整；第三、得到我国老龄化在加速，预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达4.45亿人，比重达33.277%；65岁以上老年人口达3.51亿人，比重达25.53%；人口抚养呈现增加的趋势。关键词：logistic人口模型Leslie模型人口增长预测matlab老龄化一、问题重述人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。因此，计划生育政策的实施与调整对国家的发展将会有至关重要的影响。同时，人口问题有着悠久的研究历史，也有不少经典的理论和模型。这些理论和模型都依赖生育模式、生育率、死亡率和性别比等多个因素。这些因素与政策及人的观念、社会文化习俗有着紧密的关系，后者又受社会经济发展水平的影响。现完成以下问题：问题一：收集一些典型的研究评论报告，根据每十年一次的全国人口普查数据，建立模型，对报告的假设和某些结论发表自己的独立见解。问题二：针对某区域，讨论计划生育新政策（可综合考虑城镇化、延迟退休年龄、养老金统筹等政策因素）对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。二、问题分析2.1问题一分析对于问题一，从《国家人口发展战略研究报告》中，我们看到过去一些专家对中国的总人口数做出了2020年达到14.5亿人，2033年前后达到峰值15亿人左右的预测。因而，我们可以先对总人口的增长趋势做出自己的预测与专家预测数据进行比较，对于预测所要用到的一些相关数据，我们作了相应的补充，由此我们建立了模型1：阻滞增长模型(也叫logistic模型)。2.2问题二分析用有规律的定量分析并不能预测完全，所以我们用Leslie模型模型和定性分析相结合的方法进行分析，主要是研究计划生育新政策“单独二孩”引起的影响。“单独二孩”政策的实施，改变了人口结构的发展模式，影响了人口数量的增长趋势，特别是对老年人退休和劳动就业产生了很大影响。三、模型假设1)假设收集的数据误差在允许的范围内，不会影响模型的最终结果。2)在预测人口模型中，不考虑与境外的迁入与迁出问题。3)假设出生率、死亡率和自然增长率比例不随人口流动而变化。4)不考虑自然资源制约与意外灾难等因素对人口变化的影响。5)假设地球能容纳的总人数有限，随着人口的增长，出生率必然会下降。6)男女性别比为1:1。四、符号说明表1符号说明表符号含义r人口自然增长率x人口数量xm自然资源和环境所能容纳的最大人口数量R2可决系数t年份（初始年份t=0）s比例常数ib第i年龄生育率is第i年龄的死亡率()int第i年龄的女性人口数五、模型的建立求解5.1模型一：阻滞增长模型5.1.1阻滞增长模型模型原理logistic是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降。若将表示为x的函数)(xr。则它应是减函数。于是有：0x(),(0)drxxxxdt==（1）设为的线性函数，即：(),(0,0)rxrsxrs=−（2）r)(xrx为了确定系数s的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量mx，当x=mx时人口不在增长，即增长率()0mrx=，代入（2）式得：mrsx=，于是得到：()(1)mxrxrx=−（3）将（3）式代入（1）式得：0(1),x(0)xmdxxrxdtx=−=（4）式中，rx体现了人口自身的增长趋势，(1)mxx−反映了环境等因素对人口增长的阻滞作用。解方程（4）可以得到人口预测模型：0()1(1)emrtmxxtxx−=+−（5）由式(5)可知:当时间t无限增加时0rte−→，人口总数x(t)趋于环境容纳量mx；当()mxtx时，()dxtdt0，即当人口数量小于环境容纳量时，人口数量将增加；当()mxtx时，()dxtdt0，即当人口数量大于环境容纳量时，人口数量将减少。可决系数（即相关系数的平方，是判别曲线拟合效果的一个指标）计算公式为：2^02201niiniiyRyyy=−=−=−−∑∑（6）5.1.2模型的建立Logistic模型对人口进行预测需要先确定增长率r和能容纳的最大人口数量mx（见附录1），我们通过对中国1995年到2013年全国总人口的数据进行拟合，确定模型参数。我国从1995年到2013年全国总人口的数据见表2：表2各年份全国总人口数（单位：亿）年份199519961997199819992000200120022003总人口12.1112.2412.3612.4812.5812.6712.7612.8512.92年份200420052006200720082009201020112012总人口13.0013.0813.1413.2113.2813.3513.4113.4713.54将1995年看成初始时刻即，则1996为，以次类推，以2013年为t=18作为终时刻。通过Matlab编程（见附录1），用函数（5）对表2中的数据进行非线性拟合，拟合图像如下：图1中国从1995年到2013年的总人口的拟合曲线得到的相关参数：14.3423mx=，0.0660r=，2R=0.9990。即人口峰值为14.3423（亿），人口增长率为0.066。由可决系数(0.9990)来看拟合的效果比较理想，所以得到中国各年份人口变化趋势的拟合曲线为：0.66614.3423()14.34231112.11txte−=+−(7)5.1.3结果分析：根据《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值，我们知道一些专家对中国的总人口数做出了2020年达到14亿人，2033年前后达到峰值15亿人左右的预测。用函数（7）可以对2020年（）、及2033年（）进行预测0=t1=t26t=39t=得到：x(26)=13.8819（亿），x(39)=14.1433（亿）。表3.本文预测与专家预测对比年份20202033专家预测14.515本文预测13.881914.1433误差4.26%5.71%我们分别根据拟合曲线（7）对各年份中国总人口进行预测得到结果如表4：表4各年份全国总人口用拟合曲线预测数（单位：亿）年份201420162018202020222024202620282030人口预测13.668813.748613.819313.881913.937213.986014.029114.067014.1005根据拟合曲线（7）画出中国未来的总人口数的趋势图：图2中国未来总人口的趋势预测由图可以看出中国未来总人口数量在2050年开始就趋于平稳。20世纪70年代以来，我国实行计划生育政策。1995-2013年这个时期的人口增长受到国家计划生育政策的控制，这一时期，国家虽然对人口大增长进行了干预，但国家的计划生育的政策是基本稳定的，在此其间没有其他大的干扰，所以人口增长的随机误差应服从正态分布。所以我们的结果应是比较可信的。5.2模型二：leslie模型5.2.1leslie模型原理Leslie模型是一个简单的离散的人口增长模型，借用差分方程模型，因为人口的增长与女性人口密切相关，所以仅考虑了女性人口的发展变化。将女性人口按年龄大小等间隔地划分成m个年龄组，模型要讨论在不同时间人口的年龄分布，对时间也要离散化，其单位与年龄组的间隔相同。时间离散化为2,1,0=t.设在时间段t第i年龄组的人口总数为m,2,1i),t(ni=，定义向量Tmtntntntn)](),(),([)(21=，模型要研究的是女性的人口分布)(tn随t的变化规律，从而进一步研究总人口数等指标的变化规律。设第i年龄组的生育率为ib，即ib是单位时间第i年龄组的每个女性平均生育女儿的人数；第i年龄组的死亡率为id，即id是单位时间第i年龄组女性死亡人数与总人数之比，iids−=1称为存活率。设ib、is不随时间t变化，根据ib、is和)(tni的定义写出)(tni与)1(+tni应满足关系：−==+=++=∑1,,2,1),()1()()1(11mitnstntnbtniiimiiii（8）在（8）式中我们假设ib中已经扣除婴儿死亡率，即扣除了在时段t以后出生而活不到1t+的那些婴儿。若记矩阵=−−0s00s000sbbbbL1m21m1m21（9）则（t+1）年的分年龄人口向量表达式可写作:)()1(tLntn=+(10)当L、)0(n已知时，对任意的,2,1=t有:)0()(nLtnt=(11)若（11）中的元素满足0,(1,2,,1)isim=−,0,(1,2,)ibim≥=，且至少一个0ib，则矩阵L称为Leslie矩阵。只要我们求出Leslie矩阵L并根据人口分布的初始向量)0(n，我们就可以求出t时段的人口分布向量)(tn。5.2.2模型的建立由于小区域内的数据比较难以获取，而且数据量小，不足以反映整体情况，因此我们仍然选取国家作为我们的研究对象。我们以2001年为初始年份对以后各年的女性总数及总人口数进行预测，根据数据，以一岁为间距对女性分组。Step1:查找资料可确定2001年处在各个年龄上的女性人数的分布向量)90,,2,1,0),0(+=ini（，见表5。表5我国2001年处在各个年龄上的女性人数（单位：百万）年龄人数年龄人数年龄人数年龄人数年龄人数06.17422010.78804013.0646607.5388801.842315.7687219.87954113.9055616.5409811.716326.23042211.04474211.6531626.3747821.574236.3415239.60804313.1448635.6014831.271746.4412248.67304412.9569645.2703841.174456.5775258.50584512.8583655.0595850.937265.9760268.45884614.9321664.4923860.706976.4034279.5048476.4366674.4706870.613086.6990288.43024811.1054684.5049880.521396.7631298.4118498.1953694.2002890.4491106.7574308.7876507.6648703.821090+1.1893117.5216318.8724519.5621714.0661127.5594328.45315210.5222723.7408137.9490339.5793539.9436733.5861148.71893410.02275410.3045743.3856158.28353510.89695510.3630753.1816168.62843611.7229569.3376762.9949178.58143712.2465579.2471772.5171188.76243812.5421588.1