屈婉玲离散数学PPT16

1第十六章树主要内容无向树及其性质生成树根树及其应用216.1无向树及其性质定义16.1(1)无向树——连通无回路的无向图(2)平凡树——平凡图(3)森林——至少由两个连通分支（每个都是树）组成(4)树叶——1度顶点(5)分支点——度数2的顶点3无向树的等价定义定理16.1设G=V,E是n阶m条边的无向图，则下面各命题是等价的：(1)G是树(2)G中任意两个顶点之间存在惟一的路径.(3)G中无回路且m=n1.(4)G是连通的且m=n1.(5)G是连通的且G中任何边均为桥.(6)G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到惟一的一个含新边的圈.4(3)(4).只需证明G连通.用反证法.否则G有s（s2）个连通分支都是小树.于是有mi=ni1,，这与m=n1矛盾.证明思路(2)(3).若G中有回路，则回路上任意两点之间的路径不惟一.对n用归纳法证明m=n1.n=1正确.设nk时对，证n=k+1时也对：取G中边e，Ge有且仅有两个连通分支G1,G2(为什么?).nik，由归纳假设得mi=ni1,i=1,2.于是，m=m1+m2+1=n1+n22+1=n1.)2(11ssnsnmmsiisii(1)(2).关键一步是,若路径不惟一必有回路.5(4)(5).只需证明G中每条边都是桥.为此只需证明命题“G是n阶m条边的无向连通图，则mn1”.命题的证明:对n归纳.eE,Ge只有n2条边，由命题可知Ge不连通，故e为桥.证明思路(5)(6).由(5)易知G为树，由(1)(2)知，u,vV（uv）,u到v有惟一路径，加新边(u,v)得惟一的一个圈.(6)(1).只需证明G连通，这是显然的.6)(2)()1(2xnxvdni由上式解出x2.定理16.2设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶.无向树的性质证设T有x片树叶，由握手定理及定理16.1可知，7例题例1已知无向树T中有1个3度顶点，2个2度顶点，其余顶点全是树叶，试求树叶数，并画出满足要求的非同构的无向树.解解本题用树的性质m=n1，握手定理.设有x片树叶，于是n=1+2+x=3+x,2m=2(n1)=2(2+x)=13+22+x解出x=3，故T有3片树叶.T的度数列应为1,1,1,2,2,3，易知3度顶点与1个2度顶点相邻与和2个2度顶点均相邻是非同构的，因而有2棵非同构的无向树T1,T2，如图所示.8例2已知无向树T有5片树叶，2度与3度顶点各1个，其余顶点的度数均为4，求T的阶数n，并画出满足要求的所有非同构的无向树.例题解设T的阶数为n,则边数为n1，4度顶点的个数为n7.由握手定理得2m=2(n1)=51+21+31+4(n7)解出n=8，4度顶点为1个.9T的度数列为1,1,1,1,1,2,3,4，共有3棵非同构的无向树，如图所示.例题10不一定连通，也不一定不含回路，如图所示T定义16.2设G为无向图(1)G的树——T是G的子图并且是树(2)G的生成树——T是G的生成子图并且是树(3)生成树T的树枝——T中的边(4)生成树T的弦——不在T中的边(5)生成树T的余树——全体弦组成的集合的导出子图T16.2生成树11推论2的边数为mn+1.T推论3为G的生成树T的余树，C为G中任意一个圈，则C与一定有公共边.证否则，C中的边全在T中，这与T为树矛盾.TT定理16.3无向图G具有生成树当且仅当G连通.生成树存在条件推论1G为n阶m条边的无向连通图，则mn1.证必要性显然.充分性用破圈法（注意：在圈上删除任何一条边，不破坏连通性）12基本回路系统定理16.4设T为G的生成树，e为T的任意一条弦，则Te中含一个只有一条弦其余边均为T的树枝的圈.不同的弦对应的圈也不同.证设e=(u,v)，在T中u到v有惟一路径，则e为所求的圈.定义16.3设T是n阶m条边的无向连通图G的一棵生成树，设e1,e2,…,emn+1为T的弦.设Cr为T添加弦er产生的只含弦er、其余边均为树枝的圈.称Cr为G的对应树T的弦er的基本回路或基本圈，r=1,2,…,mn+1.并称{C1,C2,…,Cmn+1}为G对应T的基本回路系统，称mn+1为G的圈秩，记作(G).求基本回路的算法：设弦e=(u,v)，先求T中u到v的路径uv，再并上弦e，即得对应e的基本回路.13基本割集的存在定理16.5设T是连通图G的一棵生成树，e为T的树枝，则G中存在只含树枝e，其余边都是弦的割集，且不同的树枝对应的割集也不同.证由定理16.1可知，e是T的桥，因而Te有两个连通分支T1和T2，令Se={e|eE(G)且e的两个端点分别属于V(T1)和V(T2)}，由构造显然可知Se为G的割集，eSe且Se中除e外都是弦，所以Se为所求.显然不同的树枝对应的割集不同.14定义16.4设T是n阶连通图G的一棵生成树，e1,e2,…,en1为T的树枝，Si是G的只含树枝ei的割集，则称Si为G的对应于生成树T由树枝ei生成的基本割集，i=1,2,…,n1.并称{S1,S2,…,Sn1}为G对应T的基本割集系统，称n1为G的割集秩，记作(G).基本割集与基本割集系统求基本割集的算法设e为生成树T的树枝，Te为两棵小树T1与T2，令Se={e|eE(G)且e的两个端点分别属于T1与T2}则Se为e对应的基本割集.15解弦e,f,g对应的基本回路分别为Ce=ebc,Cf=fabc,Cg=gabcd,C基={Ce,Cf,Cg}.树枝a,b,c,d对应的基本割集分别为Sa={a,f,g},Sb={b,e,f,g},Sc={c,e,fg},Sd={d,g},S基={Sa,Sb,Sc,Sd}.例3图5实线边所示为生成树，求基本回路系统与基本割集系统实例16最小生成树定义16.5T是G=V,E,W的生成树(1)W(T)——T各边权之和(2)最小生成树——G的所有生成树中权最小的求最小生成树的一个算法避圈法（Kruskal）设G=V,E,W，将G中非环边按权从小到大排序：e1,e2,…,em.(1)取e1在T中(2)查e2，若e2与e1不构成回路，取e2也在T中，否则弃e2.(3)再查e3,…,直到得到生成树为止.17例4求图的一棵最小生成树.所求最小生成树如图所示，W(T)=38.实例1816.3根树及其应用定义16.6T是有向树（基图为无向树）(1)T为根树——T中一个顶点入度为0，其余的入度均为1.(2)树根——入度为0的顶点(3)树叶——入度为1，出度为0的顶点(4)内点——入度为1，出度不为0的顶点(5)分支点——树根与内点的总称(6)顶点v的层数——从树根到v的通路长度(7)树高——T中层数最大顶点的层数(8)平凡根树——平凡图19根树实例根树的画法——树根放上方，省去所有有向边上的箭头20家族树与根子树定义16.7T为非平凡根树(1)祖先与后代(2)父亲与儿子(3)兄弟定义16.8设v为根树T中任意一顶点，称v及其后代的导出子图为以v为根的根子树.215．根树的分类(1)T为有序根树——同层上顶点标定次序的根树(2)分类①r叉树——每个分支点至多有r个儿子②r叉有序树——r树是有序的③r叉正则树——每个分支点恰有r个儿子④r叉正则有序树⑤r叉完全正则树——树叶层数相同的r叉正则树⑥r叉完全正则有序树22定义16.9设2叉树T有t片树叶v1,v2,…,vt，权分别为w1,w2,…,wt，称为T的权，其中l(vi)是vi的层数.在所有有t片树叶，带权w1,w2,…,wt的2叉树中，权最小的2叉树称为最优2叉树.)()(1itiivlwtW最优二叉树求最优树的算法——Huffman算法给定实数w1,w2,…,wt，且w1w2…wt.(1)连接权为w1,w2的两片树叶，得一个分支点，其权为w1+w2.(2)在w1+w2,w3,…,wt中选出两个最小的权，连接它们对应的顶点(不一定是树叶)，得新分支点及所带的权.(3)重复(2)，直到形成t1个分支点，t片树叶为止.23例5求带权为1,1,2,3,4,5的最优树.解题过程由图9给出，W(T)=3824最佳前缀码定义16.10设1,2,…,n-1,n是长度为n的符号串(1)前缀——1,12,…,12…n1(2)前缀码——{1,2,…,m}中任何两个元素互不为前缀(3)二元前缀码——i(i=1,2,…,m)中只出现两个符号，如0与1.如何产生二元前缀码？定理16.6一棵2叉树产生一个二元前缀码.推论一棵正则2叉树产生惟一的前缀码（按左子树标0，右子树标1）25图所示二叉树产生的前缀码为{00,10,11,011,0100,0101}26用Huffman算法产生最佳前缀码例6在通信中，八进制数字出现的频率如下：0：25%1：20%2：15%3：10%4：10%5：10%6：5%7：5%求传输它们的最佳前缀码，并求传输10n（n2）个按上述比例出现的八进制数字需要多少个二进制数字？若用等长的（长为3）的码字传输需要多少个二进制数字？27解用100个八进制数字中各数字出现的个数，即以100乘各频率为权，并将各权由小到大排列，得w1=5,w2=5,w3=10,w4=10,w5=10,w6=15,w7=20,w8=25.用此权产生的最优树如图所示.求最佳前缀码01-----011-----1001-----2100-----3101-----40001-----500000-----600001-----7W(T)=285，传10n(n2)个用二进制数字需2.8510n个，用等长码需310n个数字.28波兰符号法与逆波兰符号法行遍或周游根树T——对T的每个顶点访问且仅访问一次.对2叉有序正则树的周游方式：①中序行遍法——次序为：左子树、根、右子树②前序行遍法——次序为：根、左子树、右子树③后序行遍法——次序为：左子树、右子树、根对图所示根树按中序、前序、后序行遍法访问结果分别为：ba(fdg)ce，ab(c(dfg)e)，b((fgd)ec)a29用2叉有序正则树存放算式存放规则最高层次运算放在树根后依次将运算符放在根子树的根上数放在树叶上规定：被除数、被减数放在左子树树叶上算式((b+(c+d))a)((ef)(g+h)(ij))存放在图所示2叉树上.30波兰符号法波兰符号法按前序行遍法访问存放算式的2叉有序正则树，其结果不加括号，规定每个运算符号与其后面紧邻两个数进行运算，运算结果正确.称此算法为波兰符号法或前缀符号法.对上图的访问结果为b+cdaef+ghij逆波兰符号法按后序行遍法访问，规定每个运算符与前面紧邻两数运算，称为逆波兰符号法或后缀符号法.对上图的访问结果为bcd++aefgh+ij31第十六章习题课主要内容无向树及其性质生成树、最小生成树、基本回路系统、基本割集系统根树及其分类、最优树、最佳前缀码、波兰符号法、逆波兰符号法基本要求深刻理解无向树的定义及性质熟练地求解无向树准确地求出给定带权连通图的最小生成树深刻理解基本回路、基本割集的概念，并会计算理解根树及其分类等概念会画n阶（n较小）非同构的无向树及根树（1n6）熟练掌握求最优树及最佳前缀码的方法掌握波兰符号法与逆波兰符号法32为树叶数ttnnkii2kiitnm21tnivdtnmkiiniikii212)(22222)2(3kiinit（2）（3）从而解出练习11.无向树T有ni个i度顶点，i=2,3,…,k，其余顶点全是树叶，求T的树叶数.解用树的性质：边数m=n1（n为阶数），及握手定理.(1)332．设n阶非平凡的无向树T中，(T)k，k1.证明T至少有k片树叶.证反证法.否则，T至多有s片树叶，