高三数学-二项式定理(知识点和例题)

二项式定理1．知识精讲：（1）二项式定理：nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba110（Nn）其通项是1rTrrnrnbaC（r=0,1,2,……,n），知4求1，如：555156baCTTnn亦可写成：1rTrnrnabaC)(nnnnrrnrnrnnnnnbCbaCbaCaCba11110（Nn）特别地：nnnrnrnnnnnxCxCxCxCx101（Nn）其中，rnC——二项式系数。而系数是字母前的常数。例1．nnnnnnCCCC1321393等于（）A．n4B。n43C。134nD.314n解：设nnnnnnnCCCCS1321393，于是：nnnnnnnCCCCS3333333221=13333332210nnnnnnnCCCCC故选D例2．（1）求7(12)x的展开式的第四项的系数；（2）求91()xx的展开式中3x的系数及二项式系数奎屯王新敞新疆解：（1）7(12)x的展开式的第四项是333317(2)280TCxx，∴7(12)x的展开式的第四项的系数是280．（2）∵91()xx的展开式的通项是9921991()(1)rrrrrrrTCxCxx，∴923r，3r，∴3x的系数339(1)84C，3x的二项式系数3984C．（2）二项展开式系数的性质：①对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即,,,,22110knnknnnnnnnnnnCCCCCCCC②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n偶数：122maxnnnrnTCC；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即1211212121maxnnnnnnrnTTCCC。③所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于n2即nnnnnCCC210；奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即131202nnnnnCCCC例3．已知7270127(12)xaaxaxax，求：（1）127aaa；（2）1357aaaa；（3）017||||||aaa.解：（1）当1x时，77(12)(12)1x，展开式右边为0127aaaa∴0127aaaa1，当0x时，01a，∴127112aaa，（2）令1x，0127aaaa1①令1x，7012345673aaaaaaaa②①②得：713572()13aaaa，∴1357aaaa7132.（3）由展开式知：1357,,,aaaa均为负，0248,,,aaaa均为正，∴由（2）中①+②得：702462()13aaaa，∴70246132aaaa，∴017||||||aaa01234567aaaaaaaa702461357()()3aaaaaaaa奎屯王新敞新疆例4．（1）如果在nxx421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。（2）求321xx的展开式的常数项。解：（1）展开式中前三项的系数分别为1，2n，8)1(nn，由题意得：2×2n=1+8)1(nn得n=8。设第r+1项为有理项，43168121rrrrxcT，则r是4的倍数，所以r=0，4，8。有理项为295412561,835,xTxTxT。【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定r。（2）321xx61xx，其展开式的通项为2266111rrrrrxxCT22661rrrrxC，令02r26—r得3r所以，常数项为204T【思维点拨】密切注意通项公式的使用。（3）二项式定理的应用：近似计算和估计、证不等式，如证明：Nnnnn,322取nn112的展开式中的四项即可。例5、若n为奇数，则777712211nnnnnnnCCC被9除得的余数是（）A．0B。2C。7D.8解：777712211nnnnnnnCCC11918nn=1191991111nnnnnnnCC因为n为奇数，所以原式=2]9199[1111nnnnnnCC所以，其余数为9–2=7，选C例6：当Nn且n1，求证3)11(2nn证明:2111111)11(1221nCnCnCnCnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn12321!1!321!2121122112112122121212!1!31!212112nnn.32131n从而3)11(2nn【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定。2．重点难点:二项式定理，和二项展开式的性质。3．思维方式:一般与特殊的转化，赋值法的应用。4．特别注意:①二项式的展开式共有n+1项，rrnrnbaC是第r+1项。②通项是1rTrrnrnbaC（r=0,1,2,……,n）中含有rnbaTr,,,,1五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素。③注意二项式系数与某一项系数的异同。④当n不是很大，|x|比较小时可以用展开式的前几项求nx)1(的近似值。