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3-6普朗特混合长度理论一、原理为了获得湍流动量扩散系数tν与时均量的关系,1925年普朗特仿照分子运动论的观点,提出了混合长度理论假设。分子运动论的观点认为,某个流体分子从一处运动到另一处与另一个分子碰撞而实现动量传递。在连续(相继)的两次碰撞期间,分子所经过的平均距离称为分子平均自由行程。在碰撞发生前的自由行程运动中,分子保持原来的运动状态不变。Prandtl认为,流体微团的湍流脉动过程与分子的热运动相似。前一次碰撞jvL平均自由行程jv下次碰撞前流体微团从某处脉动到另一处,与新位置的流体相结合,实现动量转移。微团在脉动过程中也得保持原来的运动状态不变。根据这个假设,Prandtl分析得出了tν与时均速度的关系。以流体绕流平壁的二维湍流边界层为例。二、tν关系式设离壁面y处的时均速度为()uy。在y处平面下方a′点,若某一微团以脉动速度v′向上脉动,经过距离L′到达y平面上a点,在x方向产生一个脉动速度u′。则:()()[()]()uuuuauauyLuyLyy∂∂′′′′=−=−−=−∂∂(a)a′()yva′ab()xub′b′yL′由连续性:vρ′与uρ′数量级应相同,但二者方向符号相反。实际测量也表明,虽u′一般大于v′,但二者数量级相同。可令:2Lvcu′′=−(b)Lc是系数,于是雷诺应力为:22222()tyxLLuuvcucLyτρρρ∂′′′′=−==⋅⋅∂(c)同样,若某微团由y面上的某点b′以v′向下经过L′距离脉动到a,产生u′。则:(')()uuubuaLy∂′′=−=⋅∂(d)又2Lvcu′′=−,则:22222()tyxLLuuvcucLyτρρρ∂′′′′=−==⋅⋅∂(e)因此,y处的雷诺应力总可表示为:222()tyxLucLyτρ∂′=⋅⋅∂(f)令222LLcL′=⋅,则:22()tyxuLyτρ∂=⋅∂(3.6.1)这里,L称为Prandtl混合长度。考虑到一般性,tyxτ约定为y向上层流体对下层流体的应力。(若0,uy∂∂则0tyxτ)所以:2tyxuuLyyτρ∂∂=∂∂(3.6.2)由湍流动量扩散系数定义:2tyxtuLyuyτνρ∂==∂∂∂(3.6.3)或:2tyxtuLyuyτµρ∂==∂∂∂(3.6.4)这样,Prandtl就将tν与时均速度梯度联系起来。三、Prandtl混合长度L的确定对湍流边界层,在壁面附近的内层区,(0.2yδ),近似有:Lky=⋅(3.6.5)k是由实验测得的系数。对湍流边界层外层区(0.2yδ),有:Lλδ=⋅(3.6.6)λ是与k类似的系数。k、λ的推荐值:Prandtl与VonKármán:k=0.4Patanka与Spalding:k=0.435,λ=0.09Anderson等:k=0.41,λ=0.085Cebeci:k=0.41,λ=0.08四、tα的关系式与获得tν关系式的分析类似,可以得出tα与时均量的函数关系式。设y处平面的时均速度,温度分别为()uy,()Ty。y面下方a′点处,一流体微团以v′向上脉动到a点处,产生温度脉动T′,则:uuLy∂′′=−∂(a)22LLuvcucLy∂′′′=−⋅=⋅∂(b)()()TTTaTaLy∂′′′=−=−∂(c)于是得到:yxL′L′a′b′22tppLyuTqcvTccLyyρρ∂∂′′′==−∂∂(d)同样,y面上方某处b′点流体微团向下脉动,造成y面u′,T′。uuLy∂′′=∂;22LLuvcucLy∂′′′=−⋅=−∂()()TTTbTaLy∂′′′=−=∂于是:22tppLyuTqcvTccLyyρρ∂∂′′′==−∂∂(e)则:22tpLuccLyλρ∂′=∂(3.6.7)2ttpuaLcyλρ∂==∂(3.6.8)由上述tν、tα关系式,可以得出:Pr1tttaν==(3.6.8)大量的实验结果表明,尽管tα与tν的数量级相同,但数值并不相同,实际上,Prt=0.5-2.0,这是Prandtl混合长度理论假设的缺陷。对于二维平壁绕流和直通道内湍流,Prandtl混合长度理论可以得到比较合理的结果。
本文标题:高等传热学课件对流换热-第3章-6
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