现代控制理论知识点复习

第一章控制系统的状态空间表达式１．状态空间表达式n阶DuCxyBuAxx1:ru1:mynnA:rnB:nmC:rmD:A称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，D直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。２．状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。②状态方程和输出方程都是运动方程。③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n阶系统有n个状态变量可以选择。④状态变量的选择不唯一。⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。⑥建立状态空间描述的步骤：a选择状态变量；b列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。３．模拟结构图（积分器加法器比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。４．状态空间表达式的建立①由系统框图建立状态空间表达式：a将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b每个积分器的输出选作ix，输入则为ix；c由模拟图写出状态方程和输出方程。②由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。利用KVL和KCL列微分方程，整理。③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。实现是非唯一的。方法：微分方程系统函数模拟结构图状态空间表达式。注意：a如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。b模拟结构图的等效。如前馈点等效移到综合反馈点之前。c对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。5．状态矢量的线性变换。也说明了状态空间表达的非唯一性。不改变系统的特征值。特征多项式的系数也是系统的不变量。特征矢量ip的求解：也就是求0)(xAIi的非零解。状态空间表达式变换为约旦标准型（Ａ为任意矩阵）：主要是要先求出变换矩阵。a互异根时，各特征矢量按列排。b有重根时，设3阶系统，1＝2，3为单根，对特征矢量1p，3p求法与前面相同，2p称作1的广义特征矢量，应满足121)(ppAI。系统的并联实现：特征根互异；有重根。方法：系统函数部分分式展开模拟结构图状态空间表达式。6．由状态空间表达式求传递函数阵)(sWDBAsICsW1)()(rm的矩阵函数［ijW］ijW表示第j个输入对第i个输出的传递关系。状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵)(sW是不变的。子系统的并联、串联、反馈连接时，对应的状态空间表达及传递函数阵)(sW。方法：画出系统结构图，理清关系，用分块矩阵表示。第二章控制系统状态空间表达式的解一．线性定常系统齐次状态方程（Axx）的解：0)(xetxAt二．矩阵指数函数——状态转移矩阵1．Atet)(表示)0(x到)(tx的转移。5个基本性质。2．Ate的计算：a定义；b变换为约旦标准型ATTJ1)(或,11TTeTTeeJttAt或c用拉氏反变换])[(11AsILeAt记忆常用的拉氏变换对2222212cos;sin;)(1;!;1;1;1)(1;1)(sststastesntaseststtatnnatd应用凯莱-哈密顿定理三．线性定常系统非齐次方程（BuAxx）的解：dButxttxt)()()0()()(0。可由拉氏变换法证明（当然给出拉氏变换法的求解思路）。求解步骤：先求Atet)(，然后将B和u(t)代入公式即可。特殊激励下的解。第三章线性控制系统的能控性和能观性一．能控性及能观性定义（线性连续定常）二．线性定常系统的能控性判别（具有一般系统矩阵的多输入系统）判别方法（一）：通过线性变换BuAxxBuTATzTz111．若A的特征值互异，线性变换（Tzx）为对角线标准型，ATT1，能控性充要条件：BT1没有全为0的行。变换矩阵T的求法。2．若A的特征值有相同的，线性变换（Tzx）为约当标准型，ATTJ1，能控性充要条件：①对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的BT1中最后一行元素没有全为0的。②BT1中对应于互异特征根部分，各行元素没有全为0的。变换矩阵T的求法。这种方法能确定具体哪个状态不能控。但线性变换比较复杂，关键是求T、1T、BT1。判别方法（二）：直接从Ａ，Ｂ判别BuAxx能控的充要条件是能控性判别矩阵),,,(12BABAABBMn的秩为n。在单输入系统中，M是一个nn的方阵；而多输入系统，M是一个nrn的矩阵，可通过)(TMMrankrankM三．线性定常系统的能观性判别判别方法（一）：通过线性变换CxyAxxTCzyATzTz1１．若A的特征值互异，线性变换（Tzx）为对角线标准型，ATT1，能观性充要条件：TC中没有全为0的列。变换矩阵T的求法。２．若A的特征值有相同的，线性变换（Tzx）为约当标准型，ATTJ1，能控性充要条件：①对应于相同特征值的部分，每个约当块对应的TC中第一列元素没有全为０的。②对应于互异特征根部分，对应的TC中各列元素没有全为０的。变换矩阵T的求法。这种方法能确定具体哪个状态不能观。但线性变换比较复杂，关键是求T、1T、TC。判别方法（二）：直接从Ａ，C判别能观性的充要条件是能观性判别矩阵1nCACACN的秩为n。在单输入系统中，N是一个nn的方阵；而多输入系统，N是一个nnm的矩阵，可通过)(TMMrankrankM六．能控性与能观性的对偶原理１．若TAA12，TCB12，TBC12，则),,(1111CBA与),,(2222CBA对偶。对偶系统的传递函数阵是互为转置的。且他们的特征方程式是相同的。２．1与2对偶，则1能控性等价于2能观性，1能观性等价于2能控性。七．能控标准型和能观标准型对于状态反馈，化为能控标准型比较方便；对于观测器的设计及系统辨识，能观标准型比较方便。１．能控标准Ⅰ型（如果已知系统的状态空间表达式）①判别系统的能控性。②计算特征多项式0111||aaaAInnn，即可写出A。③求变换矩阵11111ncApAppT，111],,][1,,0,0[BAAbbpn。④求11cT，计算10011bTbc，1ccTc，也可以验证是否有111ccATTA。２．能观标准Ⅱ型①判别系统的能观性。②计算特征多项式0111||aaaAInnn，即可写出A。③求变换矩阵11112,,,TAATTTno，100111ncAcAcT。④求02T，计算bTb102，10002cTc，也可以验证是否有212ooATTA。３．如果已知传递函数阵，可直接写出能控标准Ⅰ型和能观标准Ⅱ型的状态空间表达。0122111012211)(asasasasssssWnnnnnnnnn能控标准Ⅰ型：1210100001000010naaaaA1000b][110nc能观标准Ⅱ型：1210100010001000naaaaA1210nnb]100[c八．线性系统的结构分解1．按能控性分解（状态不完全能控，即nnrankM1），通过非奇异变换xRxcˆ完成。nncRRRRR121，前1n个列矢量是M中1n个线性无关的列，其他列矢量保证cR非奇异的条件下是任意的。2．按能观性分解（状态不完全能观，即nnrankN1），通过非奇异变换xRxoˆ完成。nnoRRRRR1211，前1n个行矢量是N中1n个线性无关的行，其他行矢量保证1oR非奇异的条件下是任意的。3．按能控性和能观性分解（系统是不完全能控和不完全能观的），采用逐步分解法，虽然烦琐，但直观。步骤：①首先按能控性分解（cx能控状态，cx不能控状态）。②对不能控子系统按能观性分解（ocx不能控能观状态，ocx不能控不能观状态）。③将能控子系统按能观性分解（cox能控能观状态，ocx能控不能观状态）。④综合各步变换结果，写出最后的表达式。另一种方法：化为约当标准型，判断各状态的能控性能观测性，最后按4种类型分类排列。九．传递函数阵的实现问题1．实现的定义：由)(sW写出状态空间表达式，甚至画出模拟结构图，称为传递函数阵的实现问题。条件：①传递函数阵中每个元的分子分母多项式都是实常数；②元是s的真有理分式。注意：如果不是有理分式，首先求出直接传递矩阵)(limsWDs。2．能控标准型和能观标准型实现单入单出系统，)(sW是有理分式，可直接根据分子分母多项式系数写出能控标准1型和能观标准2型实现。3．最小实现（维数最小的实现）CxyBuAxx为)(sW最小实现的充要条件是),,(CBA是完全能控能观的。步骤：对给定的)(sW，初选一种实现（能控标准型或能观标准型），假设选能控标准型，判断是否完全能观测，若完全能观测则就是最小实现；否则进行能观性分解，进一步找出能控能观部分，即为最小实现。注意：传递函数阵)(sW的实现不是唯一的，最小实现也不是唯一的。十．传递函数)(sW中零极点对消与能控性和能观性之间的关系对单输入系统、单输出系统或者单输入单输出系统，系统能控能观的充要条件是传递函数没有零极点对消。而对多输入多输出系统，传递函数阵没有零极点对消只是最小实现的充分条件，也就是说，即使存在零极点对消，系统仍有可能是能控能观的（p147例3-19）。对单输入单输出系统，若传递函数出现了零极点对消，还不能判断到底是不能控还是不能观，还是既不能控又不能观。第四章稳定性与李雅普诺夫方法一．稳定性的定义李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的稳定性定义。1．平衡状态),(txfx为齐次状态方程。满足对所有t，都有0),(txfe成立的状态矢量ex称为系统的平衡状态。稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。通常只讨论坐标原点处的稳定性。2．稳定性的几个定义①李雅普诺夫意义下稳定（相当于自控里的临界稳定）；②渐近稳定（相当于自控里的稳定）；③大范围渐近稳定，大范围渐近稳定的必要条件是整个状态空间只有一个平衡状态；④不稳定。二．李雅普诺夫第一法（间接法）1．线性定常系统的稳定判据状态稳定性：平衡状态0ex渐近稳定的充要条件是A的所有特征值具有负实部。输出稳定性：充要条件是传递函数的极点位于s的左半平面。2．非线性系统的稳定性线性化处理。xAx；exxxfA，若A的所有特征值具有负实部，则原非线性系统在平衡状态ex渐近稳定。若A的所有特征值至少有一个具有正实部，则原非线性系统在平衡状态ex不稳定。若若A的所有特征值至少有实部为零，则稳定性不能有特征值的符号来确定。三．李雅普诺夫第二法（直接法）借助于一个李雅普诺夫函数来直接对平衡状态的稳定性做出判断。1．预备知识)(xV是由n维矢量x