2019届安徽六校教育研究会高三第一次素质测试数学(理)试题(解析版)

第1页共21页2019届安徽六校教育研究会高三第一次素质测试数学（理）试题一、单选题1．设集合，集合，则（）A．[1,3）B．（1,3]C．[3,+∞）D．[1,+∞）【答案】C【解析】通过解指数函数不等式和对数函数的定义域先分别求出集合和集合，由此利用交集定义能求出．【详解】∵集合，集合，∴，故选C．【点睛】本题考查交集的求法，指数函数不等式的解法，对数函数的定义域，注意交集定义的合理运用，属于基础题.2．设i为虚数单位，复数z满足，则复数z的共轭复数等于（）A．1-iB．-1-iC．1+iD．-1+i【答案】B【解析】利用复数的运算法则解得，结合共轭复数的概念即可得结果.【详解】∵复数满足，∴，∴复数的共轭复数等于，故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础第2页共21页题．3．已知命题,，，则()A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，命题，，其否定是一个全称命题，按书写规则写出答案即可【详解】命题，是一个特称命题，其否定是一个全称命题，所以命题，的否定为，故选A．【点睛】本题考查特称命题的否定，解题的关键是熟练掌握特称命题的否定的书写规则，依据规律得到答案，要注意理解含有量词的命题的书写规则，特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，属于基础题.4．若不等式组表示的区域为，不等式表示的区域为T，则在区域内任取一点，则此点落在区域T中的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【详解】作出不等式组表示的区域，不等式化为它表示的区域为，如图所示；第3页共21页则区域表示，由，解得点；又，，∴，又区域表示圆，且圆心在直线上，在内的面积为；∴所求的概率为，故选D．【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算问题，利用数形结合求出对应的面积是解题的关键，属于中档题.5．古代数字著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于50尺，该女子所需的天数至少为（）A．7B．8C．9D．10【答案】C【解析】设该女子所需的天数至少为n天，第一天织布a1尺，则由题意知：51512512aS，解得1531a，512315012nnS，解得2n≥311，由29=512，28=256，第4页共21页∴要使织布的总尺数不少于50尺，该女子所需的天数至少为9.故选：C．6．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是2513，则（）A．a=11B．a=12C．a=13D．a=14【答案】B【解析】模拟执行程序，程序的功能是求和，1111...12231213S1252,121313a，故选B.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7．已知△ABC的三个内角ABC所对的边长分别是abc，且，若将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，则g(x)的解析式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】首先利用已知条件和正弦定理求出，进一步利用余弦定理求出的值，最后第5页共21页求出的解析式.【详解】由，利用正弦定理得，整理得：，利用余弦定理，则，，将图象向右平移个单位长度单位，得到，故选D.【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，正弦函数图象的平移变换问题，三点提醒（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由的图象得到的图象时，需平移的单位数应为，而不是．8．如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点.第n个图形是由正n+2边形扩展而来，则第n个图形的顶点个数是（）（1）（2）（3）（4）A．(2n+1)(2n+2)B．3(2n+2)C．2n(5n+1)D．(n+2)(n+3)【答案】D【解析】由已知图形中，我们可以列出顶点个数与多边形边数，然后分析其中的变化规律，然后用归纳推理可以推断出一个一般性的结论.【详解】由已知中的图形我们可以得到：第6页共21页当时，顶点共有（个），时，顶点共有（个），时，顶点共有（个），时，顶点共有（个），…由此我们可以推断：第个图形共有顶点个，故选D.【点睛】本题考查的知识点是归纳推理，解答的关键是：先通过观察个别情况发现某些相同性质；然后从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题或猜想．9．已知函数,则（）A．0B．C．1009D．2018【答案】C【解析】使用二项式定理化简得，根据与互为相反数便可得出答案.【详解】．∵，，，…．∴，，，…．∴，故选C．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键是将函数化为，属于中档题．第7页共21页10．已知双曲线的一条渐近线截圆所得弦长为1，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【答案】B【解析】求得圆的圆心和半径，双曲线的渐近线方程，可得圆心到渐近线的距离，运用弦长公式可得，由，，的关系和离心率公式计算即可得到所求值．【详解】圆的圆心为，半径为1，双曲线的一条渐近线方程为，即有圆心到渐近线的距离，由弦长公式可得，化为，由，可得，即，故选B．【点睛】本题考查双曲线的连线的求法，注意运用渐近线方程和点到直线的距离公式，考查圆的弦长公式的运用，以及运算能力，属于中档题．11．在△ABC中，已知,,，D是边AC上的一点，将△ABC沿BD折叠，得到三棱锥A-BCD，若该三棱锥的顶点A在底面BCD的射影M在线段BC上，设BM=x，则x的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】折叠前在图1中，，垂足为，设图1中点在上的射影为，运动点并加以观察，可得当点与点无限接近时，点与点无限接近，所以，在图2第8页共21页中根据斜边大于直角边，可得，所以，最后在中，利用余弦定理算出，然后在中算出，可得答案．【详解】∵将沿折起，得到三棱锥，且点在底面的射影在线段上，∴在图2中，平面，、都与垂直因此，折叠前在图1中，，垂足为．在图1中过作于，运动点可得当点与点无限接近时，折痕接近，此时与点无限接近；在图2中，由于是的斜边，是直角边，所以．由此可得：，∵中，,,，，∴，可得，由此可得中，，∴，由可得的取值范围为，故选C．【点睛】本题以平面图形的折叠为载体，求线段的取值范围．着重考查了空间垂直位置关系的判定与性质、余弦定理解三角形等知识，同时考查了空间想象能力与逻辑推理能力以及极限思想，属于难题．12．已知定义在上的函数f(x)的导函数为，满足f(x)0.当x0时，当第9页共21页x2时，，且（其中e是自然对数的底数）.则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，构造函数和，对于，由题意可得，利用导数分析可得在区间上单调递增，进而有，对其变形可得，同理分析的单调性可得，综合即可得答案．【详解】根据题意，设，（），，（）∵，∴，即，∴对于，其导数，∵，，则有在区间上单调递增；所以，即，变形可得；对于，其导数，∵时，，则在区间上单调递减；则有，即，变形可得，第10页共21页综合可得：，即的范围为，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的导数与函数的单调性的关系，关键是构造新函数和，并分析其单调性，该题另一个难点是根据得到关于对称，属于难题.二、填空题13．已知向量和的夹角为60°，且，，则____.【答案】4【解析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得的值，根据数量积的运算法则以及可得最后的值．【详解】∵向量和的夹角为60°，且，，∴，∴，故答案为4.【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算，考查计算能力，属于基础题.14．的展开式中x3的系数是____．【答案】8【解析】利用二项展开式的通项公式求出和的通项，再利用多项式的乘法进一步求的系数.【详解】和的通项公式分别为，，第11页共21页从而的系数是，故答案为8．【点睛】本题主要解决二项展开式的特定项问题，一般利用的工具是二项展开式的通项公式，属于基础题.15．等腰三角形ABC腰长为3，底边BC长为4，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为2，此时四面体ABCD外接球表面积为____.【答案】【解析】，侧棱底面，底面是等边三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积．【详解】根据题意可知三棱锥，侧棱底面，底面是等边三角形，可将其扩展为直三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长分别为3，3，所以三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱的外接球的球心为，外接球的半径为，球心到底面的距离为，底面中心到底面三角形的顶点的距离为，∴球的半径为，外接球的表面积为，故答案为.【点睛】本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．第12页共21页16．已知函数，，其中e为自然对数的底数，若存在实数，使成立，则实数a的值为____.【答案】【解析】令，运用导数求出的最小值；运用基本不等式可得，从而可证明，由等号成立的条件，从而解得．【详解】令，令，，故在上是减函数，上是增函数，故当时，有最小值，而，（当且仅当，即时，等号成立）；故，若存在实数，使成立（当且仅当等号同时成立时，等号成立），故，即，故答案为．【点睛】本题考查了导数的综合应用及基本不等式的应用，同时考查了方程的根与函数的零点的关系应用，属于中档题．三、解答题17．已知函数（1）当时，求函数f(x)的值域；（2）若三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足,，求f(B)的值.【答案】（1）（2）2第13页共21页【解析】（1）由降幂公式，两角和的正弦公式化简解析式，由的范围求出的范围，由正弦函数的性质求出的值域；（2）由两角和与差的正弦公式、正弦定理化简已知的式子，由条件和余弦定理求出的值，由的范围和特殊角的三角函数值求出，由三角形的内角和定理求出，代入可得的值．【详解】（1）∵∵∴∴∴；（2）∵,∴,∴,∴,即,由正弦定理可得，又由可得，由余弦定理可得∴A=30°，由正弦定理可得，C=90°，由三角形的内角和可得B=60°∴第14页共21页【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，二倍角公式以及变形、两角和差的正弦公式，以及正弦函数的性质的应用，考查化简、变形能力，属于中档题.18．设数列{an}满足.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设anbn=n，求数列{bn}的前n项和Sn.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意得当时，∴，两式相减，验证即可得的通项公式；（2）利用错位相减法求其前项和即可.【详解】（1）∵，①∴当时，∴②①-②，得，∴，在①中，令n=1，得也满足上式，∴（2）∵∴，∴，③∴④④-③，得，即，∴【点睛】本题主要考查了这一常用等式以及数列的求和；常见的数列求和的方法有公第15页共21页式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.19．甲、乙、丙三人参加微信群抢红包游戏，规则如下：每轮游戏发100个红包，每个红包金额为x元，．已知在每轮游戏中所产生的100个红包金额的频率分布直方图如图所示．（1）求a的值，并根据频率分布直方图，估计红包金