2014年陕西高考理科数学试题及答案详解

12014年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学试题一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【2014年陕西卷（理01）】已知集合2{|0},{|1,}MxxNxxxR，则MN（）.[0,1]A.[0,1)B.(0,1]C.(0,1)D【答案】B【解析】BNMNM选，).1,0[),11-(),,0[=∩∴=+∞=【2014年陕西卷（理02）】函数()cos(2)6fxx的最小正周期是（）.2A.B.2C.4D【答案】B【解析】BT选∴,π2π2||π2===ω【2014年陕西卷（理03）】定积分10(2)xxedx的值为（）.2Ae.1Be.Ce.1De【答案】C【解析】Ceeeexdxexxx选∴,-0-1|)()2(1001102∫=+=+=+【2014年陕西卷（理04）】根据右边框图，对大于2的整数N，输出数列的通项公式是（）.2nAan.2(1)nBan.2nnCa1.2nnDa2【答案】C【解析】Cqaaaaan选的等比数列是.2,2∴,8,4,21321=====【2014年陕西卷（理05）】已知底面边长为1，侧棱长为2则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）32.3A.4B.2C4.3D【答案】D【解析】Drrrr选解得设球的半径为.π3434V∴,1,4)2(11)2(,32222====++=π【2014年陕西卷（理06）】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）1.5A2.5B3.5C4.5D【答案】C【解析】Cp选反向解题.53C4C4-1.2525===【2014年陕西卷（理07）】下列函数中，满足“fxyfxfy”的单调递增函数是（）（A）12fxx（B）3fxx（C）12xfx（D）3xfx【答案】D【解析】DyfxfyxfDCyxyxyx选而言，对不是递增函数只有.333)()(,3)(.++=•=•=+【2014年陕西卷（理08）】原命题为“若12,zz互为共轭复数，则12zz”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）3（A）真，假，真（B）假，假，真（C）真，真，假（D）假，假，假【答案】B【解析】Bzzbazbazbiazbiaz选选择完成判断逆命题的真假即可逆否名称也为真，不需，原命题为真，则设，逆命题和否命题等价原命题和逆否名称等价.,||||∴,||||,-,.2122222111=+=+==+=【2014年陕西卷（理09）】设样本数据1210,,,xxx的均值和方差分别为1和4，若iiyxa（a为非零常数，1,2,,10i），则12,10,yyy的均值和方差分别为（）（A）1+,4a（B）1,4aa（C）1,4（D）1,4+a【答案】A【解析】A选变均值也加此数，方差不样本数据加同一个数，.【2014年陕西卷（理10）】如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（）（A）3131255yxx（B）3241255yxx（C）33125yxx（D）3311255yxx【答案】A【解析】AAfxffxfAfx选符合只有，，而言，对即为极值点且），三次奇函数过点..053-53)5(53-1253x)(2-3-1)5(∴x53-x1251)(.0)5(,5,2-5(),0,0(23==′=′====′=4第二部分（共100分）二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.【2014年陕西卷（理11）】已知,lg,24axa则x=________.【答案】10【解析】.1010,21lg12a∴,lg,224212aa========xaxax所以，【2014年陕西卷（理12）】若圆C的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线xy对称，则圆C的标准方程为_______.【答案】11-(22=+）yx【解析】.11-(1),1,0(∴)1,0()0,1(22=+=）的标准方程为半径为圆心为，的对称点关于点yxxy【2014年陕西卷（理13）】设20，向量sin2coscos1ab，，，，若ba//，则tan_______.【答案】21【解析】.21tanθθ,cosθcosθsin2θcosθ2sin∴//).1,θ(cos),θcos,θ2(sin22=====解得即，baba【2014年陕西卷（理14）】观察分析下表中的数据：多面体面数（F）顶点数（V)棱数（E)三棱锥569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中，EVF，，所满足的等式是_________.5【答案】2+=+EVF【解析】.2+=+EVF经观察规律，可得【2014年陕西卷（理15）】（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）.A(不等式选做题)设,,,abmnR，且225,5abmanb，则22mn的最小值为.B（几何证明选做题）如图，ABC中，6BC，以BC为直径的半圆分别交,ABAC于点,EF，若2ACAE,则EF.C（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点(2,)6到直线sin()16的距离是【答案】A5B3C1【解析】A5.≤5)φθsin(∴5)φθsin(5osθ5θsin5,osθ5,θsin5∴,52222222222的最小值为所以，，则设nmnmnmnmcnmnbmacbaba++=++=++=+=+===+B.3,2,6∴Δ=∴===ΔEFAEACBCCBEFACAEACBAEF，且相似与C1|1323-3|023-1,3(∴,2-3121osθρ-23θsinρ)6π-θsin(ρ,1,3()6π,2(=++==+==••=dyxxyc的距离）到直线点即对应直线）对应直角坐标点极坐标点6三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）【2014年陕西卷（理16）】（本小题满分12分）ABC的内角CBA，，所对的边分别为cba，，.（I）若cba，，成等差数列，证明：CACAsin2sinsin；（II）若cba，，成等比数列，求Bcos的最小值.（1）a、b、c成等数列，a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.sinB=sin[-(A+C)]=sin(A+C)=sin(A+C)sinA+sinC=2sin（A+C）.(II)a,b,c成等比例，b2=2c.由余弦定理得cosB=acaccaacbca2222222≥2122acacac，当且仅当a=c时等号成立.cosB的最小值为21.【2014年陕西卷（理17）】（本小题满分12分）四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱CADCBD，，于点HGF，，.（I）证明：四边形EFGH是矩形；（II）求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值.解（I）由该四面体的三视图可知，7BDDC,BDAD,ADDC,BD=DC=2，AD=1.由题设，BC//平面EFGH,平面EFGH平面BDC=FG,平面EFGH平面ABC=EH,BC//FG,BC//EH,FG//EH.同理EF//AD,HG//AD,EF//HG,四边形EFGH是平行四边形。又ADDC,ADBD,AD平面BDC，ADBC,EFFG,四边形EFGH是矩形.（II）解法一如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D（0,0,0）,A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),DA=(0,0,1),BC=(-2,2,0),BA=(-2,0,1).设平面EFGH的法向量n=（x,y,z），EF//AD,FG//BC,nDA=0,nBC=0，得.022,0yxz取n=（1,1,0）.sin=.510252n,cosBAnBAnBA解法二如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D（0,0,0），A（0,0,1），B（2,0,0）,C(0,2,0).E)21,0,1(,F(1,0,0),G(0,1,0).).1,0,2(),0,1,1(),21,0,0(BAFGFE设平面EFGH的法向量n=（x，y，z），则,0,0FGnFEn得,0,021yxz取n=（1,1,0），.510252,cossinnBAnBAnBA8【2014年陕西卷（理18）】（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，已知点)2,3(),3,2(),1,1(CBA，点),(yxP在ABC三边围成的区域（含边界）上（1）若0PCPBPA，求OP；（2）设),(RnmACnABmOP，用yx,表示nm，并求nm的最大值.【答案】解（I）解法一,0PCPBPA又)2,3()3,2()y-1x1(yxyxPCPBPA，=（6-3x，6-3y），,036,036yx解得x=2，y=2，即.22),2,2(OPOP故解法二，0PCPBPA则，0OPOCOPOBOPOA，，)22(31OCOBOAOP.22OP(II),ACnABmOP(x,y)=(m+2n,2m+n),,2,2nmynmx两式相减得，m-n=y-x，令y-x=t，由图知，当直线y=x+t过点B（2,3）时，t取得最大值1，故m-n的最大值为1.【2014年陕西卷（理19）】（本小题满分12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物市场价格（元/kg）6109（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元的概率.解（I）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)=0.5，P(B)=0.4利润=产量市场价格-成本，X所有可能地取值为500X10-1000=4000，500X6-1000=2000.300X10-1000=2000，300X6-1000=800.P(X=4000)=PBPA=(1-0.5)X(1-0.4)=0.3.P(X=2000)=PBPA+PBPA=(1-0.5)X0.4X0.5X(1-0.4)=0.5.P(X=800)=PBPA=0.5X0.4=0.2.所以X的分布列为（II）设C1，C2，C3相互独立，由（I）知，P（G）=P(X=4000)+P(X=2000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),3季的利润均不少于2000元的概率为P(321CCC)+P(321CCC)+P(321CCC)=3X0.82X0.2=0.384,所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.512+0.384=0.896.【2014年陕西卷（理20）】（本小题满分13分）如图，曲线C由上半椭圆22122:1(0,0)yxCabyab和部分抛物线22:1(0)Cyxy连接而成，12,CC的公共点为,AB，其中1C的离心率为32.（1）求,ab的值；概率0.40.6作物产量（kg）300500概率0.50.510（2）过点B的直线l与12,CC分别交于,PQ（均异于点,AB），若APAQ