-简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断pqp且qp或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，非p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，非p(x)知识拓展1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．(2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．(3)非p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则非q”，否命题是“若非p，则非q”．题组二教材改编2．[P18B组]已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题非p，非q，p∨q，p∧q中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4答案B解析p和q显然都是真命题，所以非p，非q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．3．[P28T6(4)]命题“正方形都是矩形”的否定是____________________．答案存在一个正方形，这个正方形不是矩形题组三易错自纠4．已知命题p，q，“非p为真”是“p∧q为假”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由非p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而非p为假，故“非p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件，故选A.5．(2017·贵阳调研)下列命题中的假命题是()A．∃x0∈R，lgx0＝1B．∃x0∈R，sinx0＝0C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R，2x＞0答案C解析当x＝10时，lg10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin0＝0，则B为真命题；当x＜0时，x3＜0，则C为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R，2x＞0，则D为真命题．故选C.6．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题p：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为__________．答案(－∞，－2]题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断1．(2018·济南调研)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中的真命题是()A．p∨qB．p∧qC．(非p)∧(非q)D．p∨(非q)答案A解析如图所示，若a＝A1A→，b＝AB→，c＝B1B→，则a·c≠0，命题p为假命题；显然命题q为真命题，所以p∨q为真命题．故选A.2．(2017·山东)已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是()A．p∧qB．p∧(非q)C．(非p)∧qD．(非p)∧(非q)答案B解析∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln(x＋1)＞ln1＝0.∴命题p为真命题，∴非p为假命题．∵a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2＜b2，∴命题q为假命题，∴非q为真命题．∴p∧q为假命题，p∧(非q)为真命题，(非p)∧q为假命题，(非p)∧(非q)为假命题．故选B.3．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(非p)∨(非q)为假．其中，正确的是________．(填序号)答案②解析命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．思维升华“p∨q”“p∧q”“非p”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p、q的真假；(3)确定“p∧q”“p∨q”“非p”等形式命题的真假．题型二含有一个量词的命题命题点1全称命题、特称命题的真假典例下列四个命题：p1：∃x0∈(0，＋∞)，0011()()23xx；p2：∃x0∈(0,1)，101023loglogxx；p3：∀x∈(0，＋∞)，12x＞12logx；p4：∀x∈0，13，12x＜13logx.其中真命题是()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案D假命题；对于p4，结合指数函数y＝12x与对数函数y＝13logx在0，13上的图象，可以判断p4是真命题．命题点2含一个量词的命题的否定典例(1)命题“∀x∈R，13x＞0”的否定是()A．∃x0∈R，01()3x＜0B．∀x∈R，13x≤0C．∀x∈R，13x＜0D．∃x0∈R，01()3x≤0答案D解析全称命题的否定是特称命题，“”的否定是“≤”．(2)(2017·河北五个一名校联考)命题“∃x0∈R，1＜f(x0)≤2”的否定形式是()A．∀x∈R，1＜f(x)≤2B．∃x0∈R，1＜f(x0)≤2C．∃x0∈R，f(x0)≤1或f(x0)＞2D．∀x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2答案D解析特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“∀x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2”．思维升华(1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立．(2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；②对原命题的结论进行否定．跟踪训练(1)下列命题是假命题的是()A．∃α，β∈R，使cos(α＋β)＝cosα＋cosβB．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数C．∃x0∈R，使x30＋ax20＋bx0＋c＝0(a，b，c∈R且为常数)D．∀a0，函数f(x)＝ln2x＋lnx－a有零点答案B解析取α＝π2，β＝－π4，cos(α＋β)＝cosα＋cosβ，A正确；取φ＝π2，函数f(x)＝sin2x＋π2＝cos2x是偶函数，B错误；对于三次函数y＝f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x→－∞时，y→－∞，当x→＋∞时，y→＋∞，又f(x)在R上为连续函数，故∃x0∈R，使x30＋ax20＋bx0＋c＝0，C正确；当f(x)＝0时，ln2x＋lnx－a＝0，则有a＝ln2x＋lnx＝lnx＋122－14≥－14，所以∀a0，函数f(x)＝ln2x＋lnx－a有零点，D正确，综上可知，选B.(2)(2017·福州质检)已知命题p：“∃x0∈R，0ex－x0－1≤0”，则非p为()A．∃x0∈R，0ex－x0－1≥0B．∃x0∈R，0ex－x0－10C．∀x∈R，ex－x－10D．∀x∈R，ex－x－1≥0答案C解析根据全称命题与特称命题的否定关系，可得非p为“∀x∈R，ex－x－10”，故选C.题型三含参命题中参数的取值范围典例(1)已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p∧q是真命题，则实数a的取值范围是________________．答案[－12，－4]∪[4，＋∞)解析若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；若命题q是真命题，则－a4≤3，即a≥－12.∵p∧q是真命题，∴p，q均为真，∴a的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝12x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________．答案14，＋∞解析当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝14－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥14－m，所以m≥14.引申探究本例(2)中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是___________．答案12，＋∞解析当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝12－m，由f(x)min≥g(x)max，得0≥12－m，∴m≥12.思维升华(1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练(1)已知命题“∃x0∈R，使2x20＋(a－1)x0＋12≤0”是假命题，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－1,3)C．(－3，＋∞)D．(－3,1)答案B解析原命题的否定为∀x∈R，2x2＋(a－1)x＋12＞0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a－1)2－4×2×12＜0，则－2＜a－1＜2，即－1＜a＜3.(2)(2017·洛阳模拟)已知p：∀x∈14，12，2xm(x2＋1)，q：函数f(x)＝4x＋2x＋1＋m－1存在零点，若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围是__________．答案45，1解析由2xm(x2＋1)，可得m2xx2＋1，又x∈14，12时，2xx2＋1max＝45，故当p为真时，m45；函数f(x)＝4x＋2x＋1＋m－1＝(2x＋1)2＋m－2，令f(x)＝0，得2x＝2－m－1，若f(x)存在零点，则2－m－10，解得m1，故当q为真时，m1.若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围是45，1.常用逻辑用语考点分析有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．一、命题的真假判断典例1(1)(2017·佛山模拟)已知a，b都是实数，那么“a＞b”是“lna＞lnb”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由lna＞lnb⇒a＞b＞0⇒a＞b，故必要性成立．当a＝1，b＝0时，满足a＞b，但lnb无意义，所以lna＞lnb不成立，故充分性不成立．(2)(2017·江西红色七校联考)已知函数f(x)＝3x，x＜0，m－x2，x≥0，给出下列两个命题：命题p：∃m∈(－∞，0)，方程f(x)＝0有解，命题q：若m＝19，则f(f(－1))＝0，则下列命题为真命题的是()A．p∧qB．(非p)∧qC．p∧(非q)D．(非p)∧(非q)答案B解析因为3x＞0，当m＜0时，m－x2＜0，所以命题p为假命题；当m＝19时，因为f(－1)＝3－1＝13，所以f(f(－1))＝f13＝19－132＝0，所以命题q为真命题，逐项检验可知，只有(非p)∧q为真命题，故选B.二、充要条件的判断典例2(1)(2017·湖南五市十校联考)已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B(q≠0)，则“A＝－B”是“数列{an}是等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析若A＝B＝0，则Sn＝0，数列{an}不是等比数列；若数列{an}是等比数列，则由a1＝Aq＋B，a2＝Aq2－Aq，a3＝Aq3－Aq2及a3a2＝a2a1，得A＝－B，故选B.(2)(2017·湖北七市联