正弦定理---说课稿

正弦定理说课稿各位老师大家好！今天我说课的题目是《正弦定理》，选自北师大版必修五第二章《解三角形》第一节。下面主要从以下几个方面对本课进行说明。教材分析1、教材地位《解三角形》这一章内容，是初中解直角三角形内容的拓展与延续，也是高一《三角函数》与《平面向量》在解三角形中的应用。初中阶段着重定性的讨论三角形中线段与角的位置关系，本章主要是定量地揭示三角形边、角之间的数量关系。本章内容在高考中主要与三角函数、平面向量等知识联系起来以及在立体几何问题求解中的应用。正弦定理是解斜三角形的基本工具之一，同时它的推导过程也为余弦定理的推导设下伏笔，因此它具有承上启下的重要地位，并且它还是解决实际生活中与三角形有关的问题的有力工具。据此，我们制定以下教学目标2、教学目标(1)知识与技能正弦定理的发现、证明及基本应用(2)过程与方法通过对直角三角形边角数量关系的研究，发现正弦定理，体验用特殊到一般的思想方法发现数学规律的过程。(3)情感态度与价值观在观察、探索、发现、总结、解决问题的过程中，用心体验数学的思想方法，培养多思考的习惯，激发学生学习数学的兴趣。3、教学重点、难点(1)重点：正弦定理的发现、证明及基本应用（正弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具，也是三角函数与平面向量知识在三角形中的应用.因此，本节课重点内容是正弦定理证明与基本应用.）(2)难点：证明方法推导的多样性.（在证明过程中通过教师的引导，学生的研讨，对知识多角度地挖掘来证明定理.因此，本节课难点的内容是证法的多样性.）教学过程1、设疑引入，创设情景兴趣是最好的老师,如果一节课有个好的开头，那就意味着成功了一半，因此通过问题引入，巧设疑问来激发学生的思维，激活学生的求知欲。首先提出问题：为了求得不可直接到达的两点A、B之间的距离，通常另选一点C，测得a，b和角（图1）。如果90，那是一个简单的解直角三角形的问题；但若90，那就是斜三角形的问题了，如何求得AB的距离呢？这样，由实际的问题步步深入，提出问题，引导学生知道仅利用直角三角形来解决实际问题还存在局限性，提出求解斜三角形的必要性，激发学生探索新知识的兴趣。abABC（图1）接着，教师给学生指明一个探究的方向，在直角三角形这样的特殊情况下，有caAsin，cbBsin，1sinC，即Aacsin，Bbcsin，Cccsin，故CcBbAasinsinsin，在此提出问题1，对任意的三角形，是否都存在CcBbAasinsinsin呢？引导学生自己探索证明方法。这样由特殊情况到一般问题的提出，符合由特殊到一般，由具体到抽象的认识过程。（在证明方法的探索过程中，说明以下问题，以帮助学生获得证明思路：1．强调将猜想转化为定理，需要严格的理论证明。2．鼓励学生通过作高转化为熟悉的直角三角形进行证明，即引导方法一。3．提示学生思考哪些知识能把长度和三角函数联系起来，继而思考用向量分析，用数量积作为工具证明定理，体现了数形结合的数学思想，即引导方法二。4．思考是否还有其他的方法来证明正弦定理，提示，做三角形的外接圆构造直角三角形，即引导方法三。）2、带疑探究，严谨推理证明一（1）（等面积法）分别作三边上的高，所以BABBCADBCSABCsin2121CBCACBEACSABCsin2121所以得CABBACsinsin，同理可证ABCBACsinsin即证。FEDABC（等面积法较为简单、学生容易理解并独立完成，将一般三角形问题转化为熟悉的直角三角形问题，此法体现了划归转化的数学思想）证明二（平面向量法）：过A作单位向量j垂直于ACAC+CB=AB两边同乘以单位向量jj•(AC+CB)=j•AB则：j•AC+j•CB=j•AB∴|j|•|AC|cos90+|j|•|CB|cos(90C)=|j|•|AB|cos(90A)∴AcCasinsin∴Aasin=Ccsin同理：若过C作j垂直于CB得：Ccsin=Bbsin∴Aasin=Bbsin=Ccsin当△ABC为钝角三角形时，设A90过A作单位向量j垂直于向量AC，则j与AB的夹角为90A，j与CB的夹角为C90.同样可得CcBbAasinsinsin.(平面向量法较为复杂，但以向量作为工具来研究解决数学问题，也体现了向量的工具性，并且以锐角三角型为例说明，可以让学生下去之后完成钝角三角形的证明，再加深此法的理解和应用)以上两种方法都说明定理的成立，提出问题2：定理的比值有什么特殊意义？引入方法三。证明三（外接圆法）：如图，在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，作△ABC的外接圆，O为圆心，连接BO并延长交圆于B′，设BB′＝2R．则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到：∠BAB′＝90°，∠C＝∠B′∴sinsin2cCBR∴2sincRC同理可得2sinaRA,2sinbRB∴Aasin=Bbsin=RCc2sin（此法在将一般三角形问题转化为直角三角形问题时，通过构建三角形的外接圆来进行证明，不但证明了定理并且说明了正弦定理比值的几何意义即三角形的外接圆直径）ACVBVjACVBVj（总结：以上三种证法在本质上都是同一证法，只不过是从代数、几何与平面向量的几个角度构造直角三角形，通过寻找等量关系达到证明等式得目的，在证明过程中，我们以锐角三角型为例进行说明，在此应注意提醒学生考虑问题的全面性，即注意对钝角三角形情况的证明，体会分类讨论思想的应用）通过以上三种证法，我们说明对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形来说，上面的关系式均成立，因此我们得到下面的定理正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即Aasin=Bbsin=RCc2sin(RABC为外接圆半径)。（这一部分的设计，首先通过实例引导学生的思维尽快进入探究正弦定理这个主题，逐步完成“情境思考”——“提出问题”——“研究特例”——“归纳猜想”——“理论探究”——“解决问题”这一思维和解决问题的操作过程，进而形成解决问题的能力。同时，由实际问题出发又与第三部分正弦定理的应用相衔接。）以上是本节课的新课讲解过程，下面通过四个例题，来深化和巩固本节课所学内容。3、实例分析，深化理解教师分析，正弦定理RCcBbAa2sinsinsin实际上可以写成三个等式，实际应用时根据题意选取，每一个等式中有两边与两角，引导学生归纳出正弦定理可解决的两类解三角形问题：（1）已知两角与一边（2）已知两边与其中一边的对角即知三求一，另正弦定理适合于任何三角形。例1．若sincoscosABCabc则ABC是（）A．等边三角形B．有一内角是30°C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形（C这个问题较为简单，是直接由正弦定理及已知条件对比发现sincosBB,sincosCC故045BC,090A）例2、在ABC证明coscoscBbCa。（利用正弦定理将等式左端边转化为角表示，再结合三角函数知识进行化简即体现通过正弦定理实现边角转化的功能）例3、已知在BbaCAcABC和求中，,,30,45,1000以及ABC的外接圆面积。解：CcAasinsin21030sin45sin10sinsinCAca00105)(180CAB又CcBbsinsin而25654262075sin2030sin105sin10sinsinCBcb（利用正弦定理解斜三角形的应用一：已知两角及一边，并且考察了正弦定理比值的几何意义）例4、在△ABC中，已知20a，28b，40A，求B（精确到1）和c（保留两个有效数字）。解：8999.02040sin28sinsinaAbB641B，1162B当641B时，76)4064(180)(18011ABC，3040sin76sin20sinsin11ACac当1162B时，24)40116(180)(18022ABC1340sin24sin20sinsin22ACac（正弦定理解斜三角形的应用二：已知两边及一边对角。在此例中出现了多解的情况在讲完本例后，提出问题3：如何从理论角度说明在利用正弦定理解已知两边及一边对角过程中解的情况？引导学生进行归纳总结，为下节课的讲解做好铺垫。）4、总结提高，明确要点1、理解三角形的面积公式，熟悉正弦定理用向量来证明的推导过程，教师可引导学生课后再去探究其它证明方法，为下一节课的余弦定理的推导埋下伏笔。2、在正弦定理中，若∠C=90，则有caAsin，cbBsin，即为直角三角形中的边角关系，与初中学过的知识相吻合。把知识又从一般过渡到特殊，由抽象到具体。2、正弦定理的两个应用：（1）已知三角形中两角及一边，求其他元素；（2）已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素,这时可引导学生加以叙述,培养学生的归纳总结能力。5、课堂练习、提高巩固（这三个练习题是针对以上例题设计的巩固练习。练习1、2分别是针对例3、例4的强化练习。练习3是正弦定理及比值几何意义的应用）6、深入思考，课后延申（1）课后证明钝角三角形的情况。（为了巩固向量方法的证明）（2）还有没什么其它的证明方法。（例如坐标法）（3）根据正弦定理的特点设计三道题，要有一定的代表性。（为下一节课正弦定理应用做准备）评价分析我认为我的这堂课的设计基本符合新课程改革的理念.在整堂课的设计中,我充分考虑了数学的学科特点和高中学生的心理特点,运用了多种教学方法和手段,引导学生积极主动的参与学习,帮助他们掌握了数学的基础知识和基本技能,培养了学生们发展应用的意识和创新意识,提高了数学的素养,形成了积极的情感态度与价值观.我估计学生在上完这节课后应该能基本掌握正弦定理的几种推导方法,能比较熟练的使用正弦定理解决相应的实际问题,以上是我对本节课的认识和设计，其中难免有不到之处，请各位老师多多给与批评指正。