第四讲-远期与期货的定价原理

金融工程概论史英哲中央财经大学金融学院第四讲远期与期货的定价原理远期价格和期货价格的关系远期的定价远期和期货的定价模型基本假设没有交易费用和税收市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金远期合约没有违约风险允许现货卖空行为当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率符号T：远期和期货合约的到期时间t：现在的时间，T－t代表远期和期货合约中以年为单位的剩下的时间S：标的资产在时间t时的价格𝑆𝑇：标的资产在时间T时的价格（在t时刻这个值是个未知变量）K：远期合约中的交割价格f：远期合约多头在t时刻的价值F：t时刻的远期合约和期货合约中标的资产的远期理论价格和期货理论价格r：T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率概念远期价格：使得远期合约价值为零的交割价格远期价值是指远期合约本身的价值关于远期价值的讨论要分远期合约签订时和签订后两种情形－在签订远期合约时，如果信息是对称的，而且合约双方对未来的预期相同，对于一份公平的合约，多空双方所选择的交割价格应使远期价值在签署合约时等于零。－在远期合约签订以后，由于交割价格不再变化，多空双方的远期价值将随着标的资产价格的变化而变化。远期的定价无收益资产远期合约的定价支付已知现金收益资产远期合约的定价支付已知收益率资产远期合约的定价无收益资产远期合约的定价无收益资产远期合约多头的价值例：构建如下两种组合：组合A：一份远期合约多头f加上一笔数额为K的现金组合B：一单位标的资产S根据无套利原则，这两种组合在t时刻的价值必须相等f+K=Sf=S－K)(tTre)(tTre)(tTre无收益资产远期合约的定价现货－远期平价定理远期价格（F）就是使合约价值（f）为零的交割价格（K）即当f=0时，K=F，F=𝑆𝑒𝑟(𝑇−𝑡)证明（反证法）𝐾𝑆𝑒𝑟(𝑇−𝑡)，卖空组合A，买进组合B，实现无风险套利。反之同理现货－远期平价定理例如：考虑一个股票远期合约，标的股票不支付红利。合约的期限是3个月，假设标的股票现在的价格是30元，连续复利的无风险年利率为4%。那么这份远期合约的合理交割价格应该为：如果市场上该合约的交割价格为30.10元，则套利者可以卖出股票并将所得收入以无风险利率进行投资，期末可以获得30.30－30.10＝0.20元。反之，如果市场上的远期合约的交割价格大于30.30元，套利者可以借钱买入股票并卖出远期合约，期末也可以获得无风险的利润。0.040.253030.30Fe支付已知现金收益资产远期合约的定价支付已知现金收益资产远期合约定价的一般方法例：构建如下两个组合：组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为K的现金；组合B：一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限为从现在到现金收益派发日、本金为I的负债。f+K=S－If=S－I－K)(tTre)(tTre)(tTre支付已知现金收益资产远期合约的定价现货－远期平价公式远期价格（F）就是使合约价值（f）为零的交割价格（K）即当f=0时，K=F，F=(S－I)证明（反证法）)(tTre现货－远期平价公式例：假设黄金的现价为每盎司450美元，其存储成本为每年每盎司2美元，在年底支付，无风险年利率为7%。则一年期黄金远期价格为：F=(450－I)其中，I=－2=－1.865，故：F=(450+1.865)=484.6美元/盎司107.0e107.0e107.0e支付已知收益率资产远期合约的定价构建如下两个组合：组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为K的现金组合B：单位证券并且所有收入都再投资于该证券，其中q为该资产按连续复利计算的已知收益率)(tTqe)()(tTqtTrSeKef)()(tTrtTqKeSef)(tTre支付已知收益率资产远期合约的定价现货－远期平价公式远期价格（F）就是使合约价值（f）为零的交割价格（K）即当f=0时，K=F，证明（反证法）))((tTqrSeF现货－远期平价公式例：A股票现在的市场价格是25美元，年平均红利率为4％，无风险利率为10％，若该股票6个月的远期合约的交割价格为27美元，求该远期合约的价值及远期价格:远期合约多头的价值远期价格()()0.040.50.10.525271.18qTtrTtfSeKeee美元()()0.060.52525.67rqTtFSee美元远期和期货的定价模型持有成本模型风险收益模型持有成本模型完全市场假设下的期货定价投资性资产期货合约的定价消费性资产期货合约的定价非完全市场情况下的期货定价存在交易成本的时候借贷存在利差的时候存在卖空限制的时候完全市场假设下的期货定价投资性资产期货合约的定价持有成本＝保存成本＋利息成本－标的资产在合约期限内提供的收益如果我们用C表示持有成本，那么，投资性资产的期货价格就为：()rTtFSe()cTtFSe)())((tTrtTrcKeSef完全市场假设下的期货定价消费性资产期货合约的定价对于消费性的资产，持有人可能并不愿意通过主动出售商品并买入期货合约进行套利，因此对于消费性资产，期货定价：z为商品的便利收益，即投资者持有此类商品比持有期货合约所获得的好处如果我们用C表示持有成本，那么，消费性资产的期货价格就为：F𝑒𝑧𝑇−𝑡=𝑆𝑒𝑐𝑇−𝑡()()czTtFSe)(tTcSeF非完全市场情况下的期货定价存在交易成本的时候：假定每一笔交易的费率为Y，那么不存在套利机会的远期价格就不再是确定的值，而是一个区间：()()1,1rTtrTtSYeSYe非完全市场情况下的期货定价借贷存在利差的时候：如果用表示借入利率，用表示借出利率，对非银行的机构和个人，一般是。这时远期和期货的价格区间为：brlrblrr()(),lbrTtrTtSeSe非完全市场情况下的期货定价存在卖空限制的时候：假设保证金比例为X，那么均衡的远期和期货价格区间应该是：)()1,rTtrTtXSeSe（（）如果上述三种情况同时存在，远期和期货价格区间应该是：完全市场可以看成是的特殊情况。11,1lbrTrTXSYeSYe（）0,0,lbXYrrr罗斯等证明：当无风险利率恒定，且对所有到期日都不变时，交割日相同的远期价格和期货价格应相等当利率变化无法预测时，远期价格和期货价格就不相等远期价格和期货价格的差异幅度还取决于合约有效期的长短。远期和期货的价格关系风险收益模型●例如，市场预期某一不易保存的商品3个月后的现货市场价格为$10，而当前市场上3个月后到期的该商品的期货价格为$12。假设市场预期是准确的，则投机者可以通过卖出该期货合约，等合约到期时再从现货市场上买入该商品进行实物交割，从而获得$2的投机利润。反之，如果当前市场上该商品期货合约的价格为$8，则投机者可以通过买入该期货合约，待合约到期时接受实物交割，再拿到现货市场上去卖，从而获得$2的投机利润。()TFES期货价格与预期即期价格预期即期价格：市场对于在将来某时刻资产的即期价格的一般观点。期货价格与预期即期价格凯恩斯和希克斯：如果对冲者倾向于持有短头寸而投机者倾向于持有长头寸，则资产期货价格会低于预期即期价格。反之，资产期货价格会高于预期即期价格。期货价格与预期即期价格风险与收益学说：当期货标的资产存在系统性风险，期货价格并非预期即期价格的无偏估计标的资产资产期望收益率k与无风险收益率r期货价格F与预期即期价格E(S)无系统风险k=rF=E(S)正系统风险krFE(S)负系统风险KrFE(S)期货价格与预期即期价格正常期货溢价（远期贴水）:期货价格低于预期即期价格期货倒价（远期升水）：期货价格高于预期即期价格远期（期货）价格与现货价格的关系同一时刻的两者价格高低取决于持有成本标的资产的现货价格对同一时刻的远期（期货）价格起着重要的制约关系远期（期货）与现货的相对价格只与持有成本有关，与预期未来现货的涨跌无关。价格的领先滞后关系（价格发现功能）。