锐角三角函数知识点总结与复习

1锐角三角函数知识点总结与复习1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。222cba2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0°30°45°60°90°定义表达式取值范围关系正弦斜边的对边AAsincaAsin1sin0A(∠A为锐角)BAcossinBAsincos1cossin22AA余弦斜边的邻边AAcoscbAcos1cos0A(∠A为锐角)正切的邻边的对边AtanAAbaAtan0tanA(∠A为锐角)BAcottanBAtancotAAcot1tan(倒数)1cottanAA余切的对边的邻边AAAcotabAcot0cotA(∠A为锐角))90cot(tanAA)90tan(cotAABAcottanBAtancot)90cos(sinAA)90sin(cosAABAcossinBAsincosA90B90得由BA对边邻边b斜边ACBacA90B90得由BA直角三角形中的边角关系锐角三角函数解直角三角形实际问题2sin02122231cos12322210tan03313不存在cot不存在313306、正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。7、正切、余切的增减性：当0°90°时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。一、知识性专题专题1：锐角三角函数的定义例1在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是()A．sinA＝32B．tanA＝12C．cosB＝32D．tanB＝3分析sinA＝BCAB＝12，tanA＝BCAC＝33，cosB＝BCAB＝12．故选D.例2在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝35,则tanA等于；分析在Rt△ABC中，设AC＝3k，AB＝5k，则BC＝4k，由定义可知tanA＝4433BCkACk．分析在Rt△ABC中，BC＝222254ABAC＝3，∴sinA＝35BCAB．故填35．例3（12·哈尔滨）在Rt△ABC中，∠C=900，AC=4，AB=5，则sinB的值是；【解析】本题考查了锐角三角函数的意义．解题思路：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比邻边，故sinB=54.例4（2012内江）如图4所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为；【解析】欲求sinA，需先寻找∠A所在的直角三角形，而图形中∠A所在的△ABC并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD（如下图所示），恰好可证得CD⊥AB，于是有sinA＝CDAC＝210＝55．CBA图4DCBA图43例5(2012宁波)，Rt△ABC,∠C=900,AB=6,cosB=23,则BC的长为；【解析】cosB=BCAB=23，又∵AB=6∴BC=4例6（2012贵州铜仁）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角的邻边与对边的比叫做角的余切，记作ctan,即ctan=BCAC的对边角的邻边角，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30◦=；（2）如图，已知tanA=43，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．【分析】（1）可先设最小边长为一个特殊数（这样做是为了计算方便），然后在计算出其它边长，根据余切定义进而求出ctan30◦。（2）由tanA=43，为了计算方便，可以设BC=3AC=4根据余切定义就可以求出ctanA的值．【解析】（1）设BC=1,∵α=30◦∴AB=2∴由勾股定理得：AC=3ctan30◦=BCAC=3(2)∵tanA=43∴设BC=3AC=4∴ctanA=BCAC=34例7（2012山东滨州）把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（）A．不变B．缩小为原来的13C．扩大为原来的3倍D．不能确定【解析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变．【答案】选A．例8（2012湖南）观察下列等式①sin30°=cos60°=②sin45°=cos=45°=③sin60°=cos30°=根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）=．解析：根据①②③可得出规律，即sin2a+sin2（90°﹣a）=1，继而可得出答案．答案：解：由题意得，sin230°+sin2（90°﹣30°）=1；sin245°+sin2（90°﹣45°）=1；sin260°+sin2（90°﹣60°）=1；故可得sin2a+sin2（90°﹣a）=1．故答案为：1．点评：此题考查了互余两角的三角函数的关系，属于规律型题目，注意根据题意总结，另外sin2a+sin2（90°﹣a）=1是个恒等式，同学们可以记住并直接运用．例9(2012山东德州)为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如下图形，其中ABBE，EFBE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有哪组22题图4【解析】对于①，可由公式AB=BC×tan∠ACB求出A、B两点间的距离；对于②，可设AB的长为x，则BC=xtanACB∠，BD=xtanADB∠，BD-BC=CD，可解出AB．对于③，易知△DEF∽△DBA，则DEBDEFAB，可求出AB的长；对于④无法求得，故有①、②、③三组【点评】此题考查解直角三角形和三角形相似的性质与判定．在直角三角形中至少要有已知一边和一角才能求出其他未知元素；判定两三角形相似的方法有：AA，SAS，SSS，两直角三角形相似的判定还有HL．例10（2012江苏泰州18）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是．【解析】要求tan∠APD的值，只要将∠APD放在直角三角形中，故过B作CD的垂线，然后利用勾股定理计算出线段的长度，最后利用正切的定义计算出结果即可．【答案】作BM⊥CD，DN⊥AB垂足分别为M、N，则BM=DM=22，易得：DN=1010，设PM=x，则PD=22-x，由△DNP∽△BMP，得：PNDNPMBM，即101022PNx，∴PN=55x，由DN2+PN2=PD2，得：110+15x2=(22-x)2，解得：x1=24，x2=2（舍去），∴tan∠APD=2224BMPM=2．例11.（2011江苏苏州）如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，ABCDEFF5BC=5，CD=3，则tanC等于．分析：根据三角形的中位线定理即可求得BD的长，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△BCD是直角三角形，然后根据正切函数的定义即可求解．解答：解：连接BD．∵E、F分別是AB、AD的中点．∴BD=2EF=4∵BC=5，CD=3∴△BCD是直角三角形．∴tanC=43例12（2011山东日照）在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=ab．则下列关系式中不成立的是（）A．tanA•cotA=1B．sinA=tanA•cosAC．cosA=cotA•sinAD．tan2A+cot2A=1解答：解：根据锐角三角函数的定义，得A、tanA•cotA=abba=1，关系式成立；B、sinA=ca，tanA•cosA=cacbba，关系式成立；C、cosA=，cotA•sinA=cbabca，关系式成立；D、tan2A+cot2A=（ba）2+（ab）2≠1，关系式不成立．故选D．点评：本题考查了同角三角函数的关系．（1）平方关系：sin2A+cos2A=1（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=BAcossin或sinA=tanA•cosA．（3）正切之间的关系：tanA•tanB=1．例13（2011•贵港）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，BD=4，AD=2，则tan∠CAD的值是．解答：解：∵AD是BC边上的中线，BD=4，∴CD=BD=4，在Rt△ACD中，AC===2，∴tan∠CAD===2．故选A．例14（2011烟台）如果△ABC中，sinA=cosB=22，则下列最确切的结论是（）A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC是锐角三角形6解：∵sinA=cosB=22，∴∠A=∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．故选C．例15（2011四川）如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是（）A、330sin602sinxB、3cos302xcos45C、3tan302xtan45D、3cot4502xcot3解答：故选D．同步练习1（2011甘肃）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为．解答：解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB=CD：BD=13，∴tanB′=tanB=13．2（2011甘肃兰州）点M（－sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是．解：∵sin60°=32，cos60°=12，∴点M（－32，12）．∵点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，-n），∴M关于x轴的对称点的坐标是（－32，－12）．故选B．3（2011广东）已知：45°＜A＜90°，则下列各式成立的是（）A、sinA=cosAB、sinA＞cosAC、sinA＞tanAD、sinA＜cosA解答：解：∵45°＜A＜90°，∴根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，当∠A＞45°时，sinA＞cosA，故选：B．4、（2011•宜昌）教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC=33，则边BC的长为．cm解：在直角三角形ABC中，根据三角函数定义可知：tan∠BAC=BCAC，又AC=30cm，tan∠BAC=33，则BC=ACtan∠BAC=30×33=103cm．故选C．5、（2011福建莆田）如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为．ABCC’B’7解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由题意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，∴∠DCF=∠AFE，∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，∴DF=3，∴tan∠AFE=tan∠DCF=DFDC=34．6、（2012连云港）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°的角的正切值是．ECDABF【答案】设AB=x,则BE=x,在直角三角形ABE中，用勾股定理求出AE=EF=2x,于是BF=（2+1）x.在直角三角形ABF中，tan∠FAB=(21)BFxABx=2+1=tan67.5°.选B。7、（2012福州）如图15