北师大版九年级数学上册单元测试：第1章-特殊平行四边形(解析版)

第1页（共18页）北师大版九年级数学上册单元测试：第1章特殊平行四边形一、选择题（下列每小题只有一个正确答案，请将正确答案的序号填在括号内）1．下列条件能判定四边形是菱形的是（）A．对角线相等的四边形B．对角线互相垂直的四边形C．对角线互相垂直平分的四边形D．对角线相等且互相垂直的四边形2．下列对矩形的判定：“（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有四个角是直角的四边形是矩形；（5）四个角都相等的四边形是矩形；（6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形；（7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（8）对角线相等且互垂直的四边形是矩形”中，正确的个数有（）A．3个B．4个C．5个D．6个3．已知：如图，过四边形ABCD的顶点A、C、B、D分别作BD、AC的平行线围成四边形EFGH，如果EFGH成菱形，那么四边形ABCD必定是（）A．菱形B．平行四边形C．矩形D．对角线相等的四边形4．在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，且E，F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数为（）A．75°B．60°C．45°D．30°5．矩形的一条长边的中点与另一条长边构成等腰直角三角形，已知矩形的周长是36，则矩形一条对角线长是（）A．B．5C．D．36．矩形的内角平分线能够组成一个（）A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形7．以正方形ABCD的一组邻边AD、CD向形外作等边三角形ADE、CDF，则下列结论中错误的是（）A．BD平分∠EBFB．∠DEF=30°C．BD⊥EFD．∠BFD=45°8．已知正方形ABCD的边长是10cm，△APQ是等边三角形，点P在BC上，点Q在CD上，则BP的边长是（）第2页（共18页）A．cmB．cmC．cmD．cm9．菱形的周长为20，两邻角的比为2：1，则一组对边的距离为（）A．B．C．3D．10．正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．四个角都是直角B．两组对边分别相等C．内角和为360°D．对角线平分对角二、填空题11．将长为12，宽为5的矩形纸片ABCD沿对角线AC对折后，AD与BC交于点E，则DE的长度为．12．从矩形的一个顶点作一条对角线的垂线，这条垂线分这条对角线成1：3两部分，则矩形的两条对角线夹角为．13．菱形两条对角线长度比为1：，则菱形较小的内角的度数为度．14．正方形的一条对角线和一边所成的角是度．15．已知四边形ABCD是菱形，△AEF是正三角形，E、F分别在BC、CD上，且EF=CD，则∠BAD=度．三、解答题（第1、2小题各10分，第3、4小题各5分，共30分）16．如图，AB∥CD，∠ACB=90°，E是AB的中点，CE=CD，DE和AC相交于点F．求证：（1）DE⊥AC；（2）∠ACD=∠ACE．第3页（共18页）17．如图，ABCD为平行四边形，DFEC和BCGH为正方形．求证：AC⊥EG．18．证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．19．从菱形钝角的顶点向对边作垂线，且垂线平分对边，求菱形各角的度数．四、（第1、2小题各6分，第3小题7分，共19分）20．如图，正方形纸片ABCD的边BC上有一点E，AE=8cm，若把纸片对折，使点A与点E重合，则纸片折痕的长是多少？21．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点且AE=AD，又DF⊥AE于点F，证明：EC=EF．22．如图，已知P是矩形ABCD的内的一点．求证：PA2+PC2=PB2+PD2．第4页（共18页）2016年北师大版九年级数学上册单元测试：第1章特殊平行四边形参考答案与试题解析一、选择题（下列每小题只有一个正确答案，请将正确答案的序号填在括号内）1．下列条件能判定四边形是菱形的是（）A．对角线相等的四边形B．对角线互相垂直的四边形C．对角线互相垂直平分的四边形D．对角线相等且互相垂直的四边形【考点】菱形的判定．【分析】根据菱形的判定定理可直接选出答案．【解答】解：根据菱形的判定定理：对角线互相垂直平分的四边形是菱形可直接选出答案，故选：C．【点评】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定定理：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．2．下列对矩形的判定：“（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有四个角是直角的四边形是矩形；（5）四个角都相等的四边形是矩形；（6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形；（7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（8）对角线相等且互垂直的四边形是矩形”中，正确的个数有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】矩形的判定．【分析】根据矩形的判定方法对各小题分析判断即可得解．【解答】解：（1）对角线相等的四边形是矩形，错误；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确；（3）有一个角是直角的四边形是矩形，错误；（4）有四个角是直角的四边形是矩形，正确；（5）四个角都相等的四边形是矩形，正确；第5页（共18页）（6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形，错误；（7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，正确；（8）对角线相等且互垂直的四边形是矩形，错误；综上所述，正确的为（2）（4）（5）（7）共4个．故选B．【点评】本题考查了矩形的判定，熟记判定方法并理解矩形是特殊的平行四边形是解题的关键．3．已知：如图，过四边形ABCD的顶点A、C、B、D分别作BD、AC的平行线围成四边形EFGH，如果EFGH成菱形，那么四边形ABCD必定是（）A．菱形B．平行四边形C．矩形D．对角线相等的四边形【考点】菱形的判定．【分析】依题意四边形EFGH是菱形，则AC=BD，则可求解．【解答】解：根据平行四边形的判定，可得四边形EFGH是平行四边形，又知它是菱形，则AC=BD．故选D．【点评】此题主要考查平行四边形和菱形的判定．4．在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，且E，F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数为（）A．75°B．60°C．45°D．30°【考点】菱形的性质．【分析】画出图形：根据菱形的性质求出∠C+∠EAF=180°，又因为∠B+∠C=180°，推出BE=BC，AB=BC，BE=AB，最后可推出∠EAF=60°．【解答】解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AFC+AEC=180°，∴∠C+∠EAF=180°．又∵∠B+∠C=180°，第6页（共18页）∴∠EAF=∠B．又∵BE=BC，AB=BC，∴BE=AB，∴∠BAE=30°，∴∠B=60°，∴∠EAF=60°．故选B．【点评】此题主要考查的知识点：（1）直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半的逆定理；（2）菱形的两个邻角互补；（3）同角的补角相等；（4）菱形的四边相等．5．矩形的一条长边的中点与另一条长边构成等腰直角三角形，已知矩形的周长是36，则矩形一条对角线长是（）A．B．5C．D．3【考点】矩形的性质．【分析】因为是等腰直角三角形，所以底角是45°，所以中点与矩形顶点的连线也是矩形直角的角平分线，即矩形被分成三个等腰直角三角形，因此矩形的长是宽的2倍．再根据周长即可求出长与宽，利用勾股定理就可以求出对角线的长．【解答】解：如图，∵△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAE=∠ABE=45°，又矩形ABCD，∴∠DAE=∠90°﹣45°=45°，∴Rt△ADE是等腰直角三角形，∴AD=DE，∵点E是中点，∴CD=2AD，又∵（AD+CD）×2=36，∴AD=6，CD=12，第7页（共18页）所以对角线的长==6．故选A．【点评】判断出矩形被分成三个等腰直角三角形，然后根据中点得出矩形的长是宽的2倍，是解题的关键．6．矩形的内角平分线能够组成一个（）A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形【考点】正方形的判定；矩形的性质．【专题】证明题．【分析】根据矩形的性质及角平分线的性质进行分析即可．【解答】解：矩形的四个角平分线将矩形的四个角分成8个45°的角，因此形成的四边形每个角是90°又知两条角平分线与矩形的一边构成等腰直角三角形，所以这个四边形邻边相等，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，得到该四边形是正方形，故选C．【点评】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．7．以正方形ABCD的一组邻边AD、CD向形外作等边三角形ADE、CDF，则下列结论中错误的是（）A．BD平分∠EBFB．∠DEF=30°C．BD⊥EFD．∠BFD=45°【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】证明题．【分析】根据正方形对角线相互垂直平分相等的性质对各个选项进行分析验证即可．【解答】解：∵是正方形ABCD和等边三角形ADE、CDF∴可得△BAE≌△BCF∴∠ABE=∠CBF∵BD平分∠ABC∴BD平分∠EBF，A正确；第8页（共18页）∠EDF=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°，DE=DF∴∠DEF=15°，B错．故选B．【点评】解决本题需充分利用正方形和等边三角形相等的边和角来构造全等，求得度数．8．已知正方形ABCD的边长是10cm，△APQ是等边三角形，点P在BC上，点Q在CD上，则BP的边长是（）A．cmB．cmC．cmD．cm【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；勾股定理．【分析】在Rt△ABP和△PCQ中，可将等边三角形的AP和PQ的长表示出来，根据等边三角形的性质，两边长相等进行求解．【解答】解：设BP的长为x，则PC=CQ=10﹣x在Rt△ABP中，AP==在Rt△PCQ中，PQ=（10﹣x）∵AP=PQ，∴=（10﹣x）解得：x1=，x2=＞10（舍去）∴BP的边长是；故选C．【点评】本题主要考查正方形和等边三角形的性质及应用．9．菱形的周长为20，两邻角的比为2：1，则一组对边的距离为（）A．B．C．3D．【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的四条边都相等求出菱形的边长，根据菱形的邻角互补求出菱形的较小的内角为60°，然后求解即可．【解答】解：∵菱形的周长为20，∴菱形的边长为20÷4=5，∵两邻角的比为2：1，∴较小的内角为180°×=60°，∴一组对边的距离为5×=．第9页（共18页）故选D．【点评】本题考查了菱形的性质，求出较小的内角的度数为60°是解题的关键．10．正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．四个角都是直角B．两组对边分别相等C．内角和为360°D．对角线平分对角【考点】正方形的性质；菱形的性质．【专题】证明题．【分析】根据正方形对角线相互垂直平分相等和菱形对角线相互垂直平分的性质对各个选项进行分析就不难得到答案．【解答】解：A正确，因为正方形的四个角都是直角而菱形不是；B错误，因为正方形和菱形的两组对边都相等；C错误，因为正方形和菱形的内角和均为360°；D错误，因为正方形和菱形的对角线均平分对角．故选A．【点评】此题主要考查正方形和菱形的性质，应熟练掌握．二、填空题11．将长为12，宽为5的矩形纸片ABCD沿对角线AC对折后，AD与BC交于点E，则DE的长度为．【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质．【专题】计算题．【分析】设ED=x，AE=12﹣x，在Rt△AEB′中根据勾股定理即可解出x的值．【解答】解：如图所示设ED=x，AE=12﹣x，∵∠ACB=∠ACE又∵AD∥BC∴∠ACB=∠EAC∴∠EAC=∠ACE∴AE=CE=12﹣x∵在直角△CDE中，CE2=DE2+CD2即：（12﹣x）2=x2+25第10页（共18页）解得：x=故答案为【点评】本题主要考查了矩形的性质和折叠的性质．求线段的长的问题一般情况下要转化为利用勾股定理求解．1