函数的单调性和奇偶性精品讲义

1第三讲函数的单调性、奇偶性一、知识点归纳函数的单调性（1）定义：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)（f(x1)f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数），区间D为函数y=f(x)的增区间（减区间）概括起来，即1212121212121212()()()()()()()()xxxxfxfxfxfxxxxxfxfxfxfx增函数或“同增异减”减函数或（2）函数单调性的证明的一般步骤：①设1x，2x是区间D上的任意两个实数，且12xx②作差12()()fxfx，并通过因式分解、配方、通分、有力化等方法使其转化为易于判断正负的式子；③确定12()()fxfx的符号；④给出结论证明函数单调性时要注意三点：①1x和2x的任意性，即从区间D中任取1x和2x，证明单调性时不可随意用量额特殊值代替；②有序性，即通常规定12xx；③同区间性，即1x和2x必须属于同一个区间。（3）设复合函数xgfy是定义区间M上的函数，若外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相反，则xgfy在区间M上是减函数；若外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相同，则xgfy在区间M上是增函数。概括起来，即“同增异减II号”（4）简单性质：①()fx与()fx单调性相同；()fx与()fx及1()fx单调性相反②在公共定义域内：增函数)(xf增函数)(xg是增函数；减函数)(xf减函数)(xg是减函数；增函数)(xf减函数)(xg是增函数；减函数)(xf增函数)(xg是减函数。（5）必须掌握特殊函数单调性①一次函数ykxb：2②二次函数2yaxbxc：③反比例函数kyx：④双钩函数kyxx：注：①函数的多个单调区间通常不能用并集联接；②单调区间的端点只要在定义域内就要加上③增函数在图像上反映出来就是“向上”，减函数从图像上反映出来就是“向下”函数的最值（1）定义：()fx的最大值：()fx最大的函数值；()fx的最小值：()fx最小的函数值（2）求最值方法与求值域方法类似函数的奇偶性1．定义:①设y=f(x)，定义域为A且A关于原点对称，如果对于任意x∈A，都有()()fxfx，称y=f(x)为偶函数。②设y=f(x)，定义域为A且A关于原点对称，如果对于任意x∈A，都有()()fxfx，称y=f(x)为奇函数。概括起来，即()()()()fxfxfxfx定义域关于原点对称为偶函数，()()()()fxfxfxfx定义域关于原点对称为奇函数2．函数奇偶性的判断的步骤：①求()fx定义域，若()fx定义域不关于原点对称，则函数()fx既不是奇函数也不是偶函数；若()fx定义域关于原点对称，则判断()fx与()fx的关系②判断()fx与()fx的关系，若()()fxfx，则()fx为偶函数；若()()fxfx，则()fx为奇函数；若()()fxfx且()()fxfx，则()fx既是奇函数又是偶函数；若()()fxfx且()()fxfx，则函数()fx既不是奇函数也不是偶函数3.性质：（1）若()fx为奇函数，则：①()()fxfx；②()fx图像关于原点对称；③0在()fx定义域内时有(0)0f；④()fx在关于原点对称的区间上单调性相同⑤几种特殊的奇函数yx，3yx，1yx，sinyx（2）若()fx为偶函数，则：①()()fxfx；②()fx图像关于y轴对称③()fx在关于原点对称的区间上单调性相反；④几种特殊的偶函数：yx，2yx，cosyx3注：①若二次函数2yaxbxc为偶函数，则0b；②在同一定义域内，=奇偶奇，=奇奇奇，=偶偶偶；③既是奇函数又是偶函数的函数只有一个解析式()0fx二、典例例题解析：题型一单调性的定义例1定义在R上的函数()fx对任意两个不相等的实数,ab总有()()0fafbab，试判断()fx单调性。例2若()fx在区间(,)ab上是增函数，在区间(,)bc上也是增函数，则函数()fx在区间(,)(,)abbc上（）A.必是增函数B.必是减函数C.是增函数或减函数D.无法确定单调性变式训练下列说法中正确的有＿＿＿＿＿＿个①若12,xxI，当12xx时，12()()fxfx，则()yfx在I上是增函数②函数2yx在R上是增函数；③函数1yx在定义域上是增函数；④1yx的单调区间是(,0)(0,)题型二单调性的证明例1证明函数1yxx在区间(0,1)上为减函数例2证明函数2()1fxxx在其定义域内是减函数例3已知函数()yfx在(0,)上为增函数，且()0(0)fxx，试判断1()()Fxfx在(0,)上的单调性，并给出证明过程4题型三利用单调性求函数值域和最值例1求下列函数的最值①()12fxxx；②()33fxxx；③()11fxxx④1()22fxxx⑤1(),[1,)xfxxx变式如果函数2()--23fxxx，求()fx的单调区间和值域例2已知2()2(1)2fxxax在(,4]，上是减函数，求a的取值范围变式1已知2()2(1)2fxxax的减区间是(,4]，求a的值变式2函数f(x)=x2+3x+2在区间(-5,5)上的最大值、最小值分别为（）A、42,12B、42，-14C、12，-14D、无最大值，最小值-14.变式3函数y＝2x2－(a－1)x＋3在(－∞，1]内递减，在(1，＋∞)内递增，则a的值是()A.1B.3C.5D.－1例3若1()2axfxx在区间(-2,)上是减函数，求a的的取值范围变式1函数()yfx的图象如图所示：则12()loggxfx的单调减区间是（）XYO12152.1,2.,1.0,12,.,12,2ABCD和和变式2、已知3141log1aaxaxfxxx是R上的减函数，那么a的取值范围是（）1111.0,1.0,.,.,13737ABCD题型四抽象函数的单调性例1已知函数()yfx是(,)上的增函数，且(23)(56)fxfx，求x的取值范围变式已知函数()yfx的定义域为[2,2]，且()fx在区间[2,2]上是增函数且(1)()fmfm，求m的取值范围例2已知函数()yfx在[0,)上是减函数，比较3()4f与2(1)faa的大小例3已知定义在区间(0,)上的函数()fx满足()()()xffxfyy，且当1x时()0fx①求(1)f的值；②判定()fx的单调性；③若(3)1f，求()fx在[2,9]上的最小值变式已知定义在区间(0,)上的增函数()fx满足()()()xffxfyy，(2)1f，解不等式1()()23fxfx6例4函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.(1)求f(2)的值；(2)解不等式f(m－2)≤3变式已知函数()fx定义域为R，且对,mnR，恒有()()()1fmnfmfn，且1()02f，当12x时，()0fx①求1()2f②证明：()fx在R上为增函数题型五函数的奇偶性概念例1下列说法中错误的个数为（）①图像关于坐标原点对称的函数是奇函数②图像关于y轴对称的函数是偶函数③奇函数的图像一定过坐标原点④偶函数的图像一定与y轴相交A.4B.3C.2D.0变式下列判断正确的是（）A.定义在R上的函数()fx，若(1)(1)ff，且(2)(2)ff，则()fx是偶函数B.定义在R上的函数()fx满足(2)(1)ff，则()fx在R上是增函数C.定义在R上的奇函数()fx在区间(,0]上是减函数，则在区间(0,]上也是减函数D.既是奇函数又是偶函数的函数只有一个题型六函数奇、偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性（定义法）⑤31()fxxx②1()(1)1xfxxx③21()22xfxx④2()21fxxx⑤()22fxxx⑥22()11fxxx⑦1212)(xxxf⑧)1lg()1lg()(xxxf例2判断下列函数奇偶性（定义法或图像法）7①(1),0()(1),0xxxfxxxx②22230()00230xxxfxxxxx③()2,2,1,0,1,2fxx例3判断下列函数奇偶性（抽象函数）①()()()Fxfxfx②()()()Fxfxfx③()()()Fxfxfx，其中()fx为奇函数④函数()fx定义域为R，并且对任意xyR、均满足()()()fxyfxfy，判断()fx奇偶性，并证明。⑤设函数()(0)yfxx并且对任意非零实数xy，均满足()()()fxyfxfy，求证：()fx为偶函数⑥函数()fx不恒为0()xR，对任意xyR、均满足()()2()()fxyfxyfxfy求证：()fx为偶函数题型七奇偶性的应用1求函数值例1已知53()8fxaxbxcx且(3)10f，求(3)f变式1已知f(x)=x5+ax3+bx－6且，f(3)=10，则f(-3)的值为变式2已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)＝()A．2B.154C.174D．a2变式3已知g(x)为奇函数，xxgxxxf2)()1(log)(22，且f(-3)=841，求f(3)；变式4设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝()A．－3B．－1C．1D．3变式5已知()fx是定义在R上的奇函数，若(2)()fxfx，则(6)f的值为__________2求解析式例1已知()fx是奇函数，当0x时，()2fxxx，求0x时，()fx解析式变式1奇函数f(x)在(0，＋∞)上的解析式是f(x)＝x(1－x)，则在(－∞，0)上f(x)的函8数解析式是()A．f(x)＝－x(1－x)B．f(x)＝x(1＋x)C．f(x)＝－x(1＋x)D．f(x)＝x(x－1)变式2设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)+g(x)=11x求f(x)和g(x).例2函数2()=1axbfxx是定义在(1,1)上的奇函数，且12()25f，求()fx解析式变式1若函数2()3fxaxxb是R上的奇函数，则)(xf的解析式为_______________变式2若函数(1)()yxxa为偶函数，求a3解不等式例1设()fx为定义在R上的偶函数，在(,0)上递增，且(1)(21)fafa，求a的取值范围变式1已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)f13的x取值范围是()A.13，23B.13，23C.12，23D.12，23变式2()fx为偶函数，在[0,)上单调递减，且(21)(3)fxfx，求x的取值范围4奇偶性与单调性的综合应用例1设()fx是R上的偶函数，()fx在[0,)上单调递增，试比较(2),(3),()fff大小例2()fx是定义在R上的偶函数，且(3)0f，()fx在[0,)上单调递增，则不