根轨迹方程闭环系统特征方程

第四章线性系统的根轨迹法1第四章根轨迹法分析系统的方法－时域分析法复域分析法－根轨迹法频域分析法本章在课程中的地位：数学模型-系统分析-系统设计根轨迹的基本概念根轨迹的基本法则广义根轨迹系统性能的分析第四章线性系统的根轨迹法24-1根轨迹法的基本概念根轨迹的定义根轨迹与系统性能闭环与开环零、极点的关系根轨迹方程本节内容第四章线性系统的根轨迹法31、根轨迹的定义开环系统某一参数从零变化到无穷时,闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹.注意：当开环零、极点相消时，闭环特征方程的根闭环系统的极点优点：避免高阶方程求根；开环零、极点如何变化才能满足系统性能的要求。根轨迹卢p65第四章线性系统的根轨迹法4-1-212j0K=0k=0.5K=1-1-2K=0K=1KKK=2.5K=2.51、根轨迹的定义)(sR)15.0(ssK)(sCKssKsRsCs222)()()(2特征方程式为0222Kss闭环传递函数为KsKs21121121特征方程式的根为胡p137第四章线性系统的根轨迹法52、根轨迹与系统性能稳定性－k0稳态性能－极点位置容许范围；根轨迹增益动态性能－阻尼状态-1-212j0K=0k=0.5K=1-1-2K=0K=1KKK=2.5K=2.5)(sR)15.0(ssK)(sC卢p66;胡p138K=0开环极点闭环极点0222Kss第四章线性系统的根轨迹法63、闭环与开环零、极点的关系闭环传递函数为：G(S)H(s)R(s)C(s))()(1)()(sHsGsGsqiifiiGvGpszsKsTsTsTssssKsG11*222221222221)()()12)(1()12)(1()(hjjljjHpszsKsH11*)()()(221221TTKKGG前向通路增益前向通路根轨迹增益反馈通路根轨迹增益卢p67;胡p139第四章线性系统的根轨迹法73、闭环与开环零、极点的关系系统的开环传递函数系统的闭环传递函数卢p67;胡p139hjjqjiljjfiipspszszsKsHsG1111*)()()()()()(mjjniihjjfiiGzsKpspszsKsHsGsGs1*111*)()()()()()(1)()(1）闭环根轨迹增益＝K*＝KG*KH*2）闭环零点＝{zi,pj}3）闭环极点＝{zj,pi,K*}结论n=q+h,m=f+l开环根轨迹增益第四章线性系统的根轨迹法84、根轨迹方程闭环系统特征方程:0)()(1sHsG当系统有m个开环零点和n个开环极点时,上式等价为1)()(11niimjjpszsK根轨迹方程)12(11kjemj1)(jzsni1)(ips)12(k，，，210k相角条件mjjniizspsK11*模值条件卢p68;胡p140充要条件第四章线性系统的根轨迹法94-2根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制的基本法则闭环极点的确定本节内容：•变化参数为根轨迹增益*K•相角遵循k2180条件180度根轨迹：第四章线性系统的根轨迹法104－2－1根轨迹绘制的基本法则法则1根轨迹的起点和终点根轨迹起于开环极点，终于开环零点.无限零点、无限极点j(a)(nm)0根轨迹起点0K0K0KK根轨迹终点,其余两个终点为无穷远j0(b)(nm)根轨迹起点,第三条轨迹起于无穷远根轨迹终点0K0KKK第四章线性系统的根轨迹法114－2－1根轨迹绘制的基本法则法则2根轨迹的分支数、对称性和连续性根轨迹的分支数=max(m,n)m开环有限零点数，n开环有限极点数根轨迹分支是连续的且对称于实轴第四章线性系统的根轨迹法124－2－1根轨迹绘制的基本法则法则3根轨迹的渐近线nm时,有n-m条渐近线渐近线与实轴交角：1210)12(mnkmnka，，，；渐近线与实轴交点：mnzpmjjniia110aan-m=1:180°=2:±90°=3:±60°,180°=4:±45°,±135°第四章线性系统的根轨迹法134－2－1根轨迹绘制的基本法则例题1胡p143-1-2-3-4j0K0K0K0KK-1-2-3123)(sR)(sC)22)(4()1(2sssssK根轨迹起点：p1=0,p2=-4,p3=-1+j,p4=-1-j终点：z1=-1、无穷远处根轨迹有max{m=4,n=1}=4条分支,且对称于实轴.第四章线性系统的根轨迹法144－2－1根轨迹绘制的基本法则例题1有n-m=3条渐近线67.13)1()1140(3411jjzpiia交角:交点:)(sR)(sC)22)(4()1(2sssssK±60°,180°-1-2-3-4-600+600j渐近线渐近线0K0K0K0KK-1-2-3123第四章线性系统的根轨迹法154－2－1根轨迹绘制的基本法则法则4根轨迹在实轴上的分布实轴上的某一区域，若其右边开环实数零点和极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。例:第四章线性系统的根轨迹法164－2－1根轨迹绘制的基本法则法则5－1根轨迹的分离点与分离角根轨迹的分离点：两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点niimjjpdzd1111(1)何时存在分离点?(2)如何解分离点方程?试探法、重根法分离角lk/12辐角条件逼近法－试探法分离点的坐标d满足下列方程：重根法0)]()([0)()(1sHsGdsdsHsG第四章线性系统的根轨迹法174－2－1根轨迹绘制的基本法则法则5－2根轨迹的会合点根轨迹的会合点：两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相会的点会合点与求分离点方法相同第四章线性系统的根轨迹法184－2－1根轨迹绘制的基本法则例题2)3)(2()1(ssssKR(s)C(S)开环极点：0,-2,-3开环零点为-1n=3,m=1渐近线与实轴交角：+900,-900交点坐标为：213)1()320(a3121111dddd分离点坐标d满足:47.2doj-3-21-1-103条根轨迹分支n-m=2条渐近线.分离角第四章线性系统的根轨迹法19)3)(2()1(ssssKR(s)C(S)4－2－1根轨迹绘制的基本法则例题2重根法0)]3)(2([)3)(2(*)1)(6103(*])3)(2()1(*[)]()([22ssssssKsssKssssKdsdsHsGdsd见卢p76例题4－347.2d第四章线性系统的根轨迹法204－2－1根轨迹绘制的基本法则例题3单位反馈系统的开环传递函数为15.0)15.0()(2sssksG解:G(s)的零、极点的标准形式：)1)(1()2()(jsjssksG开环极点：-1-j、-1+j开环零点：-2实轴上的根轨迹区为[-2,-∞)一个分离点d：jdjdd111121414.3d或586.0d(舍去)j-3-2-11-1-4-1+j-1-j-3.414××规律:两个开环实数或复数极点,一个开环零点(不位于两实极点之间)则……第四章线性系统的根轨迹法21启示由两个极点（实数或复数）和一个有限零点组成的开环系统，只要零点没有位于两实数极点之间，当K*从零到无穷时，闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到分离点的距离为半径的一个圆，或其一部分。j-3-2-11-1-4-1+j-1-j-3.414××4－2－1根轨迹绘制的基本法则第四章线性系统的根轨迹法224－2－1根轨迹绘制的基本法则法则6根轨迹的起始角和终止角起始角满足:);()12()(11nijjppmjpzpijijik,2,1,0kip起始角:根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角.iz终止角:根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角.οοοj1314231P极点P1处的起始角为:4313211801op例题4:第四章线性系统的根轨迹法234－2－1根轨迹绘制的基本法则法则6根轨迹的起始角和终止角οοοj1314221z例题4:零点z1处的终止角为4321211801oz根轨迹οοοj1p1z1p1z终止角满足:);()12(1)(1njzpmijjzzzijijik,2,1,0k第四章线性系统的根轨迹法244－2－1根轨迹绘制的基本法则法则7根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴相交的交点处的K*和值的计算：•用劳思判据确定•令其闭环特征方程中的s=j第四章线性系统的根轨迹法254－2－1根轨迹绘制的基本法则例题5)22)(3()()(2*ssssKsHsG4条渐近线25.141130jjaooa135,45分离点d:01111311jdjddd3.2d确定起始角op6.711-1-2-30j-1-2-31231p第四章线性系统的根轨迹法264－2－1根轨迹绘制的基本法则例题5系统的闭环特征方程为0685*234Kssss应用劳思判据有s418K*s356s234/5K*s1(204-25K*)/34s0K*令s1行的首项为零,得K*=8.160534*2Ks代入K*=8.16并令s=j解出交点坐标=±1.1-1-2-30j-1-2-31231p辅助方程确定根轨迹与虚轴交点方法第四章线性系统的根轨迹法274－2－1根轨迹绘制的基本法则法则8根之和例题6当n-m≥2,niniiips11开环极点为p1,2=-1±j,p3=-3开环零点为z1=2系统有3条根轨迹分支2条渐近线5.12)2()113(jjaoa90起始角：oppppzpp435.10818031211110111j1p2p3p1z11zp21pp31pp)(sR)(sC)22)(3()2(2ssssK第四章线性系统的根轨迹法284－2－2闭环极点的确定模值条件确定－特定K*值下的闭环极点;根轨迹上特定点的K*。)1)(1)(3()()(*jsjsssKsHsG例题74113*jsjsssK))()(52.2)(2(68543*234ssssssKssss52.2,221ss试探出86.024.086.024.023jsjs综合除法：-1-2-30j-1-2-31231ps胡P153图4-15第四章线性系统的根轨迹法29开环零、极点分布与相应的根轨迹图第四章线性系统的根轨迹法30绘制根轨迹例题卢p81-例题4－6卢p82-例题4－7大致步骤1、开环传递函数GH2、确定开环零、极点，由此判断根轨迹数及其起始、终止点3、确定实轴上的根轨迹区段4、确定渐近线、夹角、交点5、共轭极点－起始角；共轭零点－终止角6、根轨迹与虚轴的交点7、应需要，确定闭环极点mnka)12(mnzpmjjniia11);()12(1)(1njzpmijjzzzijijik);()12()(11nijjppmjpzpijijik劳思判据s=jniniiips11