数学建模创意折叠桌

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：16046014所属学校（请填写完整的全名）：信阳师范学院参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）日期：2014年09月15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：创意平板折叠桌摘要：为了方便人们的生活，某公司设计生产了一款平板折叠桌。本文研究的主要内容是根据实际情况以及人们的需求建立起多目标变量的数学优化模型，合理的给出平板折叠桌每根木条的开槽长度、折叠前平板的尺寸以及钢筋的位置等设计参数，以达到生产的折叠桌稳固性好，及生产过程中加工方便、用材最少的要求。对于问题一，已经给出了折叠前长方形平板的尺寸，以及折叠后桌面的高度，通过分析折叠前后点的变化，建立起向量的参数方程来描述折叠桌的动态变化过程，并由此给出了桌腿木条的开槽长度120.0071dcm，219.5981dcm，318.7627dcm，417.5931dcm，516.0588dcm，612.0158dcm，711.8131dcm，89.0012dcm，95.5318dcm，5101.438710dcm以及桌脚边缘线的参数方程。对于问题二，在问题一的基础上问题二考虑多参变量影响下的平板折叠桌最优的参数设计，建立起以角度最小、开槽总长度S最小的多目标约束的优化函数，代入桌高h=70cm，2R=80cm，得出最优的加工参数为=S=对于问题三，首先假定客户喜欢的桌面边缘为圆形，然后基于第一问求解桌脚边缘线的求法，给出桌脚边缘线的约束条件，再结合第二问中的多目标约束模型建立起问题三的多目标函数约束模型。根据模型设计出正方形创意折叠桌、正六边形创意折叠桌以及椭圆形创意折叠桌，最后我们以椭圆形创意折叠桌为例，运用Matlab编程得出椭圆形折叠桌的八张动态变化图。关键词：多目标变量优化；开槽长度；桌面边缘线；最优参数一、问题重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1-2所示）。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度（见图3）。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。试建立数学模型讨论下列问题：1.给定长方形平板尺寸为120cm×50cm×3cm，每根木条宽2.5cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4中红色曲线）的数学描述。2.折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70cm，桌面直径80cm的情形，确定最优设计加工参数。3.公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。二、基本假设1.实际的加工误差对尺寸的设计没有影响；2.长方形木板的木条之间的缝隙为零；3.在折叠过程中长方形木条不会发生形变；4.折叠桌折起后，折叠连接处无缝隙，连接的装置不会造成长方形木条长度的整体改变；5.钢筋的尺寸忽略不计。三、符号说明为了表述的方便，我们引用以下记号：L：长方形木板的长度；R：圆形桌面的半径；:着地的桌腿与竖直平面的夹角；P：钢筋在边缘木条的位置与木条与圆桌接点间的距离；N：为桌腿直纹曲面上的任意一点;h:桌子的高度。四、问题分析本题要求在满足用户对折叠桌的桌高h、桌面直径2R、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的形状的要求，同时要保证折叠桌稳固性的情况下，给出折叠桌的设计加工参数，从而使得在加工折叠桌的过程中做到用料最省，加工方便。以圆桌的中心为原点建立三维立体直角坐标系，通过对圆桌稳固性、开槽长度最小、用料最省的约束条件分析，建立起多目标优化分析，得出圆桌在满足上述条件时的加工参数。五、模型的建立与求解5.1问题一的模型建立与求解5.1.1对于问题一的分析和基本假设问题一给出了长方形平板的长为120cm、宽为50cm、厚度为3cm，又给出了木条的宽度2.5cm，由此可知木条一共有20根。桌面折叠起后的高度是53cm，由木条的厚度为3cm，可得地面与折叠后桌面下面高度为50cm，我们可以建立起动态变化模型，并在此基础上给出折叠桌的设计加工参数。首先，把桌面近似看作一个圆，且此圆的半径为R=25cm，设圆桌的中心为O点，以过O点且平行于木条的方向为X轴，以过O点且垂直于木条的方向为Y轴，以过O点垂直于桌面的向上方向为z轴，建立三维立体坐标系，此时不再考虑木条厚度的影响。如图1所示。图1设钢筋在最外侧木条上的点为P点，PQ与xoy平面的夹角为，N为桌腿直纹曲面上的任意一点，N点的坐标为（x，y，z）。设N到X轴的距离为1y，到Y轴的距离为1x，则A点的坐标为（0，1y，0），C点为AN与圆面边缘的交点，点C的坐标为（221Ry，1y，0），PJ为钢筋的位置直线。当变化时，cos/60h，B点为AN的延长线与PJ的交点，B点的坐标为（sinPQ，1y，cosPQ）。5.1.2问题一模型的建立基于以上假设，可以建立向量方程来描述N点随着角度的变化的动态过程。由向量的性质可知，ON=OAACCN；而A点、C点坐标已知，所以可以求出以下向量坐标：1(0,,0)OAy，221(,0,0)ACRy，221(sin,0,cos),CBPQRyPQ1221122221(,,0)(sin25)(cos)ONOAACCNCBOCCMCBxACRyyCBPQyPQ221122221112222211(,,0)(sin25,0,cos).()252xRyRyyPQyPQPQPQyyR又由于cos/60h，PQ=30cm，故可得曲面的动态变化的参数方程为：22222111221222211(25)(125)36025,30256025hxyyxyyy1yy，22112222211(25)230256025hxyzyy，（1160,25xy）。5.1.3桌脚边缘线以及桌腿木条的开槽长度的数学描述首先我们来分析桌脚边缘线上坐标的特征，当2时，N点距离Y轴的距离为1x=60cm时，N点的轨迹就在桌脚边缘线上移动，由此可以得出桌脚的边缘曲线:60ACCN，代入上述方程得：X=2222112212222211(6025)(30125)36025302560125360hyyyhyy，Y=1y，Z=22122222211(6025)2302560125360hyhyy。运用matlab作出图2（程序见附录1）：图25.1.4开槽长度的计算由于开槽的长度关于X轴是对称的，所以只需计算出X轴和Y轴正方向一侧的十根木条的开槽长度，根据对称性就可以算出任意一条木条的开槽长度。由于计算开槽长度，对于总长度为120cm的木条，折叠后，两根边缘木条在圆桌面上截留的长度不能忽略，根据圆桌面的对称性，保证木条连接的合理性，可得出两根边缘木条在圆桌面上截留的长度为5cm。此时对模型优化：5.1.5模型一的优化由于考虑了折叠后两根边缘木条在圆桌面上截留的长度，此时，在模型中，以截留短木条为弦的外接圆为桌面合理。那么圆桌面的半径22252.5R，对于给定长为120cm、宽为50cm、厚度为3cm的木板，折叠后桌子的高度为（53-3）cm的桌子。桌面折叠后，根据模型一，就可计算出钢筋位置的坐标。如图3所示，记圆形桌面上X轴Y轴正方向十根木条外侧上的点为123,,,AAA45678910,,,,,,AAAAAAA折叠后的钢筋在十根木条外侧对应位置十个点12345,,,,,BBBBB，678910,,,,BBBBB可分别求得它们的坐标为：12345678910(25.0000,2.5,0),(24.6221,5.0,0)(23.9751,7.5,0)(23.0489,10.0,0)(21.1556,12.5,0)(20.1556,15.0,0)(18.0278,17.5,0)(15.2069,20.0,0)(11.1803,22.5,0)(2.5000,25.0,0)AAAAAAAAAA12345678910(16.6973,2.5,25),(16.6973,5.0,25),(16.6973,7.5,25),(16.6973,10.0,25),(16.6973,12.5,25),(16.6973,15.0,25),(16.6973,17.5,25),(16.6973,20.0,25),(16.6973,22.5,25),(16.6973,25BBBBBBBBBB.0,25),用1d表示从圆心O开始第一根木条的开槽长度，1d表示桌面折叠前第一根木条与钢筋交点位置到圆形桌面边缘的距离，1d表示折叠后第1根木条钢筋位置到圆形桌面边缘的距离；2d表示从圆心O开始第二条木条的开槽长度，2d表示桌面折叠前第二根木条钢筋的交点位置到圆形桌面边缘的距离，2d表示折叠后第2根木条钢筋位置到圆形桌面边缘的距离；依次类推，可得9d表示从圆心O开始第9根木条的开槽长度，9d表示桌面折叠前第9根木条与钢筋的交点位置到圆形桌面边缘的距离，9d表示折叠后第9根木条钢筋位置到圆形桌面边缘的距离；10d表示从圆心O开始第10根木条的开槽长度，10d表示桌面折叠前第10根木条与钢筋交点的位置到圆形桌面边缘的距离，10d表示折叠后第10根木条钢筋位置到圆形桌面边缘的距离。图3ix表示iA点x轴坐标，（i=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10），120120524iidx，22(16.6973)25iidx，iiiddd（i=1,2,3,4,5,67,8,9,10），代入数据得120.