2011年四川高考数学文科试卷带详解

2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(文史类)第一部分（选择题共60分）1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上．2．本大题共12小题，每小题5分，共60分．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．1．若全集{1,2,3,4,5}M，{2,4}N，则MNð()A.B.{1,3,5}C.{2,4}D.{1,2,3,4,5}【测量目标】集合的补集运算.【考查方式】直接给出集合，用列举法求集合补集.【参考答案】B【试题解析】∵{1,2,3,4,5}M，则MNð{1,3,5}，选B．2．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：()[11.5，15.5)2[15.5，19.5)4[19.5，23.5)9[23.5，27.5)18[27.5，31.5)1l[31.5，35.5)12[35.5，39.5)7[39.5，43.5)3根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占A．211B.13C.12D.23【测量目标】分层抽样.【考查方式】考查分层抽样方法.【参考答案】B【试题解析】大于或等于31.5的数据共有12+7+3=22个，约占221663，选B．3．圆22460xyxy的圆心坐标是()A.(2，3)B.(－2，3)C.(－2，－3)D.(2，－3)【测量目标】圆的标准方程与一般方程.【考查方式】直接给出圆的方程，化简得圆心坐标.【参考答案】D【试题解析】圆方程化为22(2)(3)13xy，圆心(2，－3)，选D．4．函数1()12xy的图象关于直线y=x对称的图象像大致是()ABCD【测量目标】函数的单调性、指数函数的性质.【考查方式】直接给出函数解析式，判断图象形状.【参考答案】A【试题解析】1()12xy图象过点(0,2)，且单调递减，故它关于直线y=x对称的图象过点(2,0)且单调递减，选A．5．“x＝3”是“x2＝9”的()A.充分而不必要的条件B必要而不充分的条件C.充要条件D既不充分也不必要的条件【测量目标】充要条件、充分条件与必要条件的意义.【考查方式】直接给出两等式,判断两者的逻辑关系.【参考答案】A【试题解析】若x＝3，则x2＝9，反之，若x2＝9，则3x，选A．6．1l，2l，3l是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A.12ll，23ll13//llB.12ll，23//ll13llC.233////lll1l，2l，3l共面D.1l，2l，3l共点1l，2l，3l共面【测量目标】直线与直线的位置关系.【考查方式】根据两直线位置关系判断.【参考答案】B【试题解析】由12ll，23//ll，根据异面直线所成角知1l与3l所成角为90°，选B．7．如图，正六边形ABCDEF中，BACDEF()A.0B.BEC.ADD.CF【测量目标】平面向量的加法.【考查方式】直接给出向量，求其和.【参考答案】D【试题解析】BACDEFCDDEEFCF，选D．8．在△ABC中，222sinsinsinsinsinABCBC„，则A的取值范围是()A.π(0,]6B.π[,π)6C.π(0,]3D.π[,π)3【测量目标】正弦定理、余弦定理.【考查方式】已知三角形各内角的正弦关系,根据正余弦定理求其中一角的取值范围.【参考答案】C【试题解析】由222sinsinsinsinsinABCBC„得222abcbc„，(步骤1)即222122bcabc…，∴1cos2A…，∵0πA，故π03A„，选C．(步骤2)9．数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n…1），则a6=()A.3×44B.3×44+1C.44D.44+1【测量目标】等比数列的概念、等比数列的通项公式.【考查方式】给出数列的首项和数列各项的关系，根据数列的通项公式求解.【参考答案】A【试题解析】由an+1=3Sn，得an=3Sn1（n…2），(步骤1)相减得an+1－an=3(Sn－Sn1)=3an，(步骤2)则an+1=4an（n…2），a1=1，a2=3，则a6=a244=3×44，选A．(步骤3)10．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为()A.4650元B.4700元C.4900元D.5000元【测量目标】线性规划知识的实际应用.【考查方式】根据题目得出变量约束条件,画图求目标函数的最优解.【参考答案】C【试题解析】设派用甲型卡车x（辆），乙型卡车y（辆），获得的利润为u（元），450350uxy，(步骤1)由题意，x、y满足关系式12,219,10672,08,07,xyxyxyxy„„…剟剟作出相应的平面区域，45035050(97)uxyxy(步骤2)再由12,219xyxy„„确定的交点(7,5)处取得最大值4900元，选C．(步骤3)11．在抛物线25(0)yxaxa上取横坐标为14x，22x的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536xy相切，则抛物线顶点的坐标为()A.(2,9)B.(0,5)C.(2,9)D.(1,6)【测量目标】抛物线的几何性质、导数的几何意义、直线与圆的位置关系及距离公式.【考查方式】给出含未知数的抛物线方程、坐标内一特殊直线与抛物线和圆的位置关系，根据抛物线和导数的相关性质求解.【参考答案】A【试题解析】令抛物线上横坐标为14x、22x的点为(4,114)Aa、(2,21)Ba，则2ABka，(步骤1)由22yxaa，故切点为(1,4)a，切线方程为(2)60axy，(步骤2)该直线又和圆相切，则2665(2)1da，解得4a或0a（舍去），(步骤3)则抛物线为2245(2)9yxxx，定点坐标为(2,9)，选A．(步骤4)12．在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量(,)ab，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积等于2的平行四边形的个数为m，则mn()A.215B.15C.415D.13【测量目标】古典概型的计算、用坐标表示向量共线问题.【考查方式】根据直角坐标系，判断满足条件的点，再利用古典概型的公式计算.【参考答案】B【试题解析】∵以原点为起点的向量(,)ab有(2,1)、(2,3)、(2,5)、(4,1)、(4,3)、(4,5)共6个，可作平行四边形的个数26C15n个，(步骤1)结合图形进行计算，其中由(2,1)(4,1)、(2,1)(4,3)、(2,3)(4,5)确定的平行四边形面积为2，共有3个，则31155mn，选B．(步骤2)第12题图第二部分（非选择题共90分）注意事项：1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．2．本部分共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．9(1)x的展开式中3x的系数是_________．（用数字作答）【测量目标】二项式定理.【考查方式】由二项式展开式，求满足条件的项的系数.【参考答案】84【试题解析】∵9(1)x的展开式中3x的系数是6399CC84．14．双曲线2216436xy上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么P到左准线的距离是____．【测量目标】双曲线的标准方程、几何性质.【考查方式】给出双曲线的标准方程，求曲线上一点到准线的距离.【参考答案】16【试题解析】离心率54e，设P到右准线的距离是d，则454d，则165d，(步骤1)则P到左准线的距离等于2641616105．(步骤2)15．如图，半径为4的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_________．【测量目标】圆柱的表面积公式、正弦函数的最值.第15题图【考查方式】给出已知半径的内接圆柱，计算圆柱表面积，再利用正弦函数性质求解.【参考答案】32π【试题解析】如图，设球一条半径与圆柱相应的母线夹角为α，圆柱2π4sin24cosS＝32πsin2，(步骤1)当π4时，S取最大值32π，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为32π．(步骤2)16．函数()fx的定义域为A，若12,xxA且12()()fxfx时总有12xx，则称()fx为单函数．例如，函数()fx=2x+1(xR)是单函数．下列命题：①函数2()fxx（xR）是单函数；②指数函数()2xfx（xR）是单函数；③若()fx为单函数，12,xxA且12xx，则12()()fxfx；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号）【测量目标】函数的概念、指数函数和幂函数的性质.【考查方式】给出单函数条件，根据所给函数的性质判断是否满足条件.【参考答案】②③④【试题解析】对于①，若12()()fxfx，则12xx，不满足；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④满足条件．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题共l2分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14、12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12、14；两人租车时间都不会超过四小时．（Ⅰ）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率．【测量目标】相互独立事件的概率，互斥事件与对立事件的概率.【考查方式】（1）运用对立事件的概念直接计算.（2）借助独立事件的计算公式、对事件可能性分类的思想求解.【试题解析】解：（Ⅰ）分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A、B，则111()1424PA，111()1244PB答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14、14．(步骤1)（Ⅱ）记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元为事件C，则1111111111113()()()()4244222442444PC．答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为34(步骤2)18．（本小题共l2分）已知函数7π3π()sin()cos()44fxxx，xR．（Ⅰ）求()fx的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知4cos()5，4cos()5，π02„．求证：2[()]20f．【测量目标】三角函数的性质、三角恒等变换、诱导公式.【考查方式】直接给出三角函数的解析式（1）借助三角恒等变换公式展开，再转化为正弦函数求解.（2）展开余弦公式，据三角函数性质求出，代入求解.【试题解析】（Ⅰ）解析：7π7π3π3π()sincoscossincoscossinsin4444fxxxxx2sin2cosxxπ2sin()4x，(步骤1)∴()fx的最小正周期2π