一维热传导方程分离变量法与有限差分法Matlab解法

模拟与仿真根据课上所学知识，我们有如下方程：为便于解释做题，我们令：a=1l=pi=x;下面开始求解：分离变量法根据课上所讲2000,0,00,0,0(),0txxxxxltuauxltuutuxxlϕ===−====其中：我们有如下代码：x=0:0.1*pi:pi;y=0:0.4:10;[x,t]=meshgrid(x,y);u=0;m=length(j);%matlab可计算的最大数，相当于无穷fori=0:mu=u+8*(-1)^i/(pi*(2*i+1)^2)*(sin((2*i+1)/2*x).*exp(-(2*i+1)^2/4*t));end;surf(x,t,u);xlabel('x'),ylabel('t'),zlabel('T');title('分离变量法（无穷）');disp(u);得到如图所示的热传导方程：有限差分法u=zeros(20,100);%t=1x=pi20行100列横坐标为x纵坐标为ts=(1/100)/(pi/20)^2;fprintf('稳定性系数S为:\n');disp(s);fori=1:20u(i,1)=i/20*pi;;end;forj=1:100u(1,j)=0;endforj=1:99fori=2:19u(i,j+1)=s*u(i+1,j)+(1-2*s)*u(i,j)+s*u(i-1,j);endendforj=1:100u(20,j)=u(19,j);end;disp(u);[x,t]=meshgrid(1:100,1:20);surf(x,t,u);xlabel('t'),ylabel('x'),zlabel('T');title('有限差分法解');我们得到如图所示的热传导方程：结论：比较可得由以上两种方法作出的三维图形基本相同，符合热传导的热量分布随时间和空间的变化规律第四题完成