公开课-直线与双曲线的位置关系

已知曲线所围成的封闭图形的面积为曲线的内切圆半径为记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆。（1）求椭圆的标准方程。（2）设AB是过椭圆中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上异于椭圆中心的点。①若若【2008山东文22题】)0(1:1babyaxC541C3522C2C2C的轨迹方程。求点上运动时，在椭圆为坐标原点），当点（MCAOOAMO2的面积的最小值。的交点，求与椭圆是ABMCM2l1C②设在平面直角坐标系中，已知：向量（1）求轨迹E的方程，并说明该曲线所表示曲线的形状。（2）已知，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B，且，O为原点，并求出该圆的方程。（3）已知，设直线l与圆C：相切于，且l与轨迹E只有一个公共点，当R为何值时，取得最大值？并求最大值。RMEyxMbayxbymxa的轨迹为（动点),,),1,(),1,(41mOBOA41m)21(222RRyx1A1B11BA【2009山东文22题】如图，已知椭圆过点离心率为，左、右焦点分别为，点P为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线与椭圆的交点分别为A,B和C,D，O为坐标原点。（1）求椭圆的标准方程。（2）设直线的斜率分别为（i）证明：（ii）问直线l上是否存在一点P，使得直线OA,OB,OC,OD的斜率满足若存在，求出所有满足条件的P点；若不满足，说明理由。)0(12222babyax2221FF，21，PFPF21,kk23121kkODOCOBOAkkkk,,,0ODOCobOAkkkkADCBF2F1YXl:x+y=2），（22,1【2010山东文22题】21,PFPFOPOEODOG2在平面直角坐标系XOY中,已知椭圆C：，如右图，斜率为,且不过原点的直线l交椭圆C于A,B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=-3于D（-3，m）。（1）求的最小值。（2）若，①求证：直线l过定点②试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时⊿ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由。1322yx)0(kk22kmDEBA-3yxOG【2011山东文22题】如右图，椭圆M：的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.（1）求椭圆M的标准方程;（2）设直线l：与椭圆M有两个不同的交点P,Q，直线l与矩形ABCD有两个不同的交点S,T，求的最大值及取得最大值时m的值。)0(12222babyax23axby)(RmmxySTPQABDOCxy【2012山东文22题】1.知识与能力:（1）理解并熟练掌握直线与双曲线的各种位置关系，能类比直线与椭圆的位置关系进行判断求解，培养分析、归纳、推理、类比的能力。（2）掌握判断位置关系的两种思路：几何法、代数法。（3）加强运算能力的训练，培养良好的思维习惯。2.过程与方法：强化数形结合、函数方程、转化化归、分类讨论等数学思想方法在直线与双曲线位置关系判断中的运用。3.情感态度与价值观：树立学好解析几何的信心，用普遍联系的观点分析问题、解决问题。教学目标:直线与椭圆的位置关系及判断方法判断方法（1）联立方程组（2）消去一个未知数得一元二次方程∆0∆=0∆0（3）复习:相离相切相交思考下列直线与双曲线的位置关系如何判断？公共点的个数及特征如何？（1）（2）（3）（4）（5）14;122yxxy14;12522yxxy14;12222yxxy14;1222yxxy14;1322yxxy引例思考1:-1oyx1422yx双曲线：1xy125xy122xy12xy13xy图象展示:渐近线：xy2（1）由得：知且直线与双曲线交于左右两支两点14122yxxy02232xx0280*21xx（2）由得：知且直线与双曲线交于右支两点1412522yxxy082092xx0*,02121xxxx0112（3）由得：知，直线与双曲线切于右支一点01412222yxxy0)122x（（4）由得：（一元一次方程）知直线与渐近线平行，直线与双曲线右支有一个交点141222yxxy012x（5）由得：知直线与双曲线相离，没有公共点0-4141322yxxy02652xx代数处理:引例思考2:已知直线l：与双曲线：，k为何值时：（1）直线与双曲线交于左右两支（2）直线与双曲线交于右支两点（3）直线与双曲线与右支有一个公共点（4）直线与双曲线没有公共点1kxy1422yxxoy-122k222k222或k2222kk或0004)1(212xxk00004)2(21212xxxxk00042)3(212xxkk或004)4(2k渐近线：xy2直线与双曲线位置关系：图象感知：分类:相离,相切，相交。oYx直线方程与双曲线方程联立得到一元一次方程得到一元二次方程直线与双曲线的渐近线平行相交（一个交点）计算判别式及韦达定理0=00相交相切相离代数法:判断直线与双曲线位置关系的操作流程图已知直线与双曲线试讨论实数取值范围,使直线与双曲线:(1)没有公共点;(2)有两个公共点;(3)只有一个公共点;(4)交于异支两点；(5)与左支交于两点.052)122kxxk（＜或＞；5252kk＜52521且k＜k=±1或=±52kk1kxy422yxk典型例题1:0012k0012k0010122kk或已知直线与双曲线试讨论实数取值范围,使直线与双曲线:(1)没有公共点;(2)有两个公共点;(3)只有一个公共点;(4)交于异支两点；(5)与左支交于两点.052)122kxxk（＜或＞；5252kk＜52521且k＜k=±1或=±52kk-1＜＜1k1kxy422yxk典型例题1:0012k0012k0010122kk或0001212xxk已知直线与双曲线试讨论实数取值范围,使直线与双曲线:(1)没有公共点;(2)有两个公共点;(3)只有一个公共点;(4)交于异支两点；(5)与左支交于两点.125-k052)122kxxk（＜或＞；5252kk＜52521且k＜k=±1或=±52kk-1＜＜1k1kxy422yxk典型例题1:0012k0012k0010122kk或0001212xxk0000121212xxxxk典型例题1:-1oyx(4)交于异支两点1k1kxyxy-1oyx切l1k典型例题1:(5)与左支交于两点直线l：y=2x+m被双曲线截得的弦长为,求m。12322yx10)2(3*560)63(10*4)12-2212122mxxmxxmm（①610)2(34)56-214-)()1(222212212mmxxxxkAB（）（15m代入①检验符合题意，即为所求。解：设两交点为：由得mxyyx2632220)2(3121022mmxx),(),,(2211yxByxA典型例题2:双曲线中的弦长问题BA过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A、B两点，求|AB|.22136xyF1oF2xy163||5AB=跟踪练习:以P（1，8）为中点作双曲线：y2-4x2=4的一条弦AB，求直线AB的方程。典型例题3:双曲线中的中点弦问题yX.P(1,8)o4422xy双曲线：典型例题:设，中点P（1,8），知，由得：),(),,(2211yxByxA221xx448)1(22xyxky06016)8(2)4222kkxkkxk（由解得代入检验符合题意，直线即为所求。24)8(20)6016)(4(4)8(2221222kkkxxkkkkk①②①21k0152:yxl②（1）易知当过P点的直线AB和x轴垂直时，直线被双曲线截得的弦的中点不是P点。（2）当过P点的直线AB和x轴不垂直时，设其斜率为k，则直线AB的方程为y-8=k（x-1）解：法一：)(4)82121xxyy（212121xxyykAB法二：),(),,(2211yxByxA中点P（1,8），知由题意知当时点P不是线段AB的中点。1622121yyxx轴xlAB由得：将代入即得：444422222121xyxy0))((4))(21212121xxxxyyyy（①②①②典型例题:0152:yxlAB由09042401544152222yyxyyx0符合题意，即为所求（点差法）设，因为P（1,8）为线段AB的中点，所以，又A、B两点在双曲线上，所以将两点坐标代入方程得：),yxA（)16,2yxB（0152:4)2()16(442222yxlxyxy由0090424015440152222yyxyyx符合题意，即为所求。典型例题:法三：1.直线与双曲线位置的判定方法有几何法和代数法。本节小结:3.中点弦问题可通过设出直线与双曲线的交点坐标，利用点在曲线上代点作差后结合韦达定理整体运算，使问题获解，但须注意检验直线与双曲线是否相交。2.在处理双曲线中的弦长问题时注意验证判别式问题。课后作业:（1）直线：y=3x+m与双曲线：，m为何值时有一个公共点？有两个公共点？（2）曲线：与直线l：y=x+m有且仅有一个公共点，求m。（3）过P（2,1）且被双曲线：截得的弦恰被P点平分的直线的方程。若改为P（1，1）呢？