面面平行的判定

一个平面内的所有直线都与另一个平面平行，则两平面平行。两条相交直线一个平面内的两条_________直线与另一个平面_________，则这两个平面平行a⊂β，b⊂β，_____________，a∥α，b∥α⇒α∥β相交平行a∩b＝P例:判断下列结论是否正确:1.若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β2.若α内有无数条直线平行于β,则α∥β3.若α内任意直线都平行于β,则α∥β桃江一中数学组4.若α//γ,β//γ,则α//β已知三棱锥P－ABC中，D、E、F分别是棱PA、PB、PC的中点．求证：平面DEF∥平面ABC.[解析]如图所示，在△PAB中，因为D、E分别是PA、PB的中点，所以DE∥AB.又AB⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，因此DE∥平面ABC.同理，EF∥平面ABC.又因为DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC.通过中位线找平行如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1.导学14例2(2)[解析]如图，由棱柱的性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC.又D、E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E∥DB，C1E＝DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D.又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，所以EB∥平面ADC1.连接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED∥B1B，ED＝B1B.因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，所以ED∥A1A，ED＝A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD.又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.[解析]如图，由棱柱的性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC.又D、E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E∥DB，C1E＝DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D.又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，所以EB∥平面ADC1.通过平行四边形找平行连接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED∥B1B，ED＝B1B.因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，所以ED∥A1A，ED＝A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD.又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM︰MA＝BN︰ND＝PQ︰QD，求证：平面MNQ∥平面PBC.导学14例2变式[解析]∵在三角形PBD中，BN︰ND＝PQ︰QD，∴QN∥PB，∴QN∥平面PBC，同理PM︰MA＝PQ︰QD，∴MQ∥AD.又底面ABCD是平行四边形，则AD∥BC，∴MQ∥BC，∴MQ∥平面PBC.而MQ∩NQ＝Q，MQ⊂平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴平面MNQ∥平面PBC.[解析]∵在三角形PBD中，BN︰ND＝PQ︰QD，∴QN∥PB，∴QN∥平面PBC，同理PM︰MA＝PQ︰QD，∴MQ∥AD.又底面ABCD是平行四边形，则AD∥BC，∴MQ∥BC，∴MQ∥平面PBC.而MQ∩NQ＝Q，MQ⊂平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴平面MNQ∥平面PBC.通过比例找平行中位线是其特殊情况