届高考数学一轮复习讲义第二章指数与指数函数

一轮复习讲义指数与指数函数1．根式(1)根式的概念一般地，如果一个实数x满足xn＝a(n1，n∈N*)，那么称x为a的．式子na叫做，其中n叫做，a叫做．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号na表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号－na表示．正负两个n次方根可以合写为±na(a＞0)．忆一忆知识要点n次实数方根根式根指数被开方数要点梳理③(na)n＝.④当n为奇数时，nan＝；当n为偶数时，nan＝|a|＝.⑤负数没有偶次方根．2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：an＝a·a·…·a(n∈N*)．②零指数幂：a0＝(a≠0)．③负整数指数幂：a－p＝(a≠0，p∈N*)．忆一忆知识要点aaa(a≥0)－a(a＜0)1ap1要点梳理④正分数指数幂：amn＝(a0，m、n∈N*，且n1)．⑤负分数指数幂：a－mn＝＝(a0，m、n∈N*，且n1)．⑥0的正分数指数幂为,0的负分数指数幂．(2)有理数指数幂的性质①asat＝(a0，s、t∈Q)；②(as)t＝(a0，s、t∈Q)；③(ab)t＝(a0，b0，t∈Q)．忆一忆知识要点nam1nam0没有意义as＋tastatbtnma1要点梳理忆一忆知识要点a10a1图象性质1.定义域：2.值域：3.过点,即x=时,y=4.在R上是函数在R上是函数(,)(0,)(0,1)01增减3.指数函数y=ax(a0,且a≠1）的性质：yxoy=1(0,1)yx(0,1)y=1o当x0时,0y1.当x0时,0y1.当x0时,y1.当x0时,y1.要点梳理4.第一象限中,指数函数底数与图象的关系图象从下到上,底数逐渐变大.xoyxyaxybxycxydxoyxyaxybxycxydx=1xoyxyaxybxycxydxoyxyaxybxycxydx=1x=101badc忆一忆知识要点要点梳理[难点正本疑点清源]1．根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程．2．指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0a1和a1进行分类讨论．例1计算下列各式的值．(1)－278＋(0.002)－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)15＋2－(3－1)0－9－45；(3)(a0，b0)．指数式与根式的计算问题先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算．32213131421413223)(babaabba解(1)原式＝－278＋1500－105－2＋1＝－827＋500－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.(2)原式＝5－2－1－(5－2)2＝(5－2)－1－(5－2)＝－1.(3)原式＝32213221.)(131231131161233131221323123abbabaabbaba根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．探究提高计算下列各式：(1)1.5×－760＋80.25×42＋(32×3)6－；(2)÷1－23ba×3a(a0，b0)．变式训练1解(1)原式＝23×1＋(23)×2＋(2×3)6－23＝2＋4×27＝110.(2)令a＝m，b＝n，则原式＝m4－8mn3m2＋2mn＋4n2÷1－2nm·m＝m(m3－8n3)m2＋2mn＋4n2·m2m－2n＝m3(m－2n)(m2＋2mn＋4n2)(m2＋2mn＋4n2)(m－2n)＝m3＝a.3132)32(323323134428bababaa3141413121313131例2(1)函数y＝xax|x|(0a1)图象的大致形状是下列图形中的________．(填序号)(2)若函数y＝ax＋b－1(a0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a、b的取值范围是__________．(3)方程2x＝2－x的解的个数是________．指数函数的图象及应用解析(1)函数定义域为{x|x∈R，x≠0}，且y＝xax|x|＝ax，x0－ax，x0.当x0时，函数是一个指数函数，因为0a1，所以函数在(0，＋∞)上是减函数；当x0时，函数图象与指数函数y＝ax(x0,0a1)的图象关于x轴对称，函数在(－∞，0)上是增函数，故填④.(2)函数y＝ax＋b－1的图象经过第二、三、四象限，大致图象如图．所以函数必为减函数．故0a1.又当x＝0时，y0，即a0＋b－10，∴b0.(3)方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．答案(1)④(2)0a1，b0(3)1(1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．探究提高(1)函数y＝ex＋e－xex－e－x的图象大致为________(填序号)．变式训练2y＝ex＋e－xex－e－x＝1＋2e2x－1，当x0时，e2x－10，且随着x的增大而增大，故y＝1＋2e2x－11且随着x的增大而减小，即函数y在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减．又函数y是奇函数，故①正确．①(2)k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？解函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．当k0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有惟一的交点，所以方程有一解；当0k1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解．例3设a0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．指数函数的性质及应用换元令t＝ax，利用二次函数和指数函数的单调性来研究函数的单调性，构建方程获解．解令t＝ax(a0且a≠1)，则原函数化为y＝(t＋1)2－2(t0)．①当0a1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈a，1a，此时f(t)在a，1a上为增函数．所以f(t)max＝f1a＝1a＋12－2＝14.所以1a＋12＝16，所以a＝－15或a＝13.又因为a0，所以a＝13.②当a1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈1a，a，此时f(t)在1a，a上是增函数．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(a＝－5舍去)．综上得a＝13或3.指数函数问题一般要与其它函数复合．本题可利用换元法将原函数化为一元二次函数．结合二次函数的单调性和指数函数的单调性判断出原函数的单调性，从而获解．由于指数函数的单调性取决于底数的大小，所以要注意对底数的分类讨论，避免漏解．探究提高已知定义在R上的函数f(x)＝2x－12|x|.(1)若f(x)＝32，求x的值；(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．变式训练3解(1)当x0时，f(x)＝0，无解；当x≥0时，f(x)＝2x－12x，由2x－12x＝32，得2·22x－3·2x－2＝0，看成关于2x的一元二次方程，解得2x＝2或－12，∵2x0，∴x＝1.(2)当t∈[1,2]时，2t22t－122t＋m2t－12t≥0，即m(22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－10，∴m≥－(22t＋1)，∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]，故m的取值范围是[－5，＋∞)．(14分)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)0恒成立，求k的取值范围．思想与方法方程思想及转化思想在求参数中的应用(1)f(x)是定义在R上的奇函数，要求参数值，可考虑利用奇函数的性质，构建方程：f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)．(2)可考虑将t2－2t,2t2－k直接代入解析式化简，转化成关于t的一元二次不等式．也可考虑先判断f(x)的单调性，由单调性直接转化为关于t的一元二次不等式．审题视角规范解答解(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b＝1，从而有f(x)＝－2x＋12x＋1＋a.[4分]又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a＝－－12＋11＋a，解得a＝2.[7分](2)方法一由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2，又由题设条件得即,0221222121222212222ktkttttt.0)12)(22()12)(22(2212222122ktttttkt[9分]整理得因底数21，故3t2－2t－k0.[12分]上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k0，解得k－13.[14分]方法二由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2＝－12＋12x＋1，由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)0等价于f(t2－2t)－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t－2t2＋k.[12分]即对一切t∈R有3t2－2t－k0，从而Δ＝4＋12k0，解得k－13.[14分],12223ktt批阅笔记(1)根据f(x)的奇偶性，构建方程求参数体现了方程的思想；在构建方程时，利用了特殊值的方法，在这里要注意的是：有时利用两个特殊值确定的参数，并不能保证对所有的x都成立．所以还要注意检验．(2)数学解题的核心是转化，本题的关键是将f(t2－2t)＋f(2t2－k)0等价转化为：t2－2t－2t2＋k恒成立．这个转化考生易出错．其次，不等式t2－2t－2t2＋k恒成立，即对一切t∈R有3t2－2t－k0，也可以这样做：k3t2－2t，t∈R，只要k比3t2－2t的最小值小即可，而3t2－2t的最小值为－13，所以k－13.1．单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的无限伸展性，x轴是函数图象的渐近线．当0a1时，x→＋∞，y→0；当a1时，x→－∞，y→0；当a1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增的速度越快；当0a1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快．2．画指数函数y＝ax(a0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)、(0,1)、－1，1a.3．在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程(组)来求值，或用换元法转化为方程来求解．方法与技巧1．指数函数y＝ax(a0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a1与0a1来研究．2．对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．失误与防范【01】（1）解：当时，(1,0)x(0,1).x2,10,412(),01,410