一轮复习第节对数与对数函数

一、对数的概念(1)对数的定义一般地，如果(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．ax＝Nx＝logaNaN(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a＞0且a≠1)logaN常用对数底数为___lgN自然对数底数为__lnN10e二、对数的性质与运算法则(1)对数的性质(a＞0且a≠1)：①loga1＝，②logaa＝；③alogaN＝；④logaaN＝.(2)对数的重要公式：①换底公式：logab＝logcblogca；(a＞0，a≠1且c＞0，c≠1)．②logab＝1logba(a，b0，且a，b≠1)．01NN(3)对数的运算法则：如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么①loga(M·N)＝；②logaMN＝；③logaMn＝(n∈R)；④logamMn＝logaM.logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaMnm在对数的运算法则中，若将条件改为“MN0”，法则①②还成立吗？提示：不一定成立．因为MN0时，可能出现M0，N0的情形．三、对数函数的图象与性质图象性质a＞1定义域：值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点当0＜x＜1时，y∈；当x＞1时，y∈在(0，＋∞)上为当0＜x＜1时，y∈；当x＞1时，y∈在(0，＋∞)上为0＜a＜1(0，＋∞)(1,0)(－∞，0)(0，＋∞)增函数(0，＋∞)(－∞，0)减函数四、反函数指数函数y＝ax(a0且a≠1)与对数函数y＝logax(a0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线对称．y＝x1．2log510＋log50.25＝()A．0B．1C．2D．4解析：原式＝log5100＋log50.25＝log525＝2.答案：C2．已知a＝log22＋log23，b＝12log25，c＝log221－log23，则()A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．a＜c＜b解析：a＝log22＋log23＝log26，b＝12log25＝log25，c＝log221－log23＝log2213＝log27.∴c＞a＞b.答案：B3．已知函数f(x)＝lg1－x1＋x，若f(a)＝b，则f(－a)等于()A．bB．－bC.1bD．－1b解析：由1－x1＋x0得－1x1.又f(－x)＝lg1＋x1－x＝lg1－x1＋x－1＝－lg1－x1＋x＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．∴f(－a)＝－f(a)＝－b.答案：B4．函数y＝的定义域是________．解析：要使y＝有意义需使(3x－2)≥0，∴0＜3x－2≤1，即23＜x≤1，∴y＝的定义域为23，1.答案：23，15．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.解析：∵log2x≤2，∴0＜x≤4.又∵A⊆B，∴a＞4，∴c＝4.答案：4【考向探寻】1．指数式与对数式的互化．2．对数式的化简或求值．【典例剖析】(1)计算：2(lg2)2＋lg2·lg5＋lg22－lg2＋1；(2)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值；(3)已知：lgx＋lgy＝2lg(2x－3y)，求xy.题号分析(1)利用对数的运算法则及运算律进行运算与化简．(2)将m、n代入求值的式子，利用对数运算法则求解(3)根据条件求出的值即可.解：(1)原式＝lg2(2lg2＋lg5)＋lg2－12＝lg2(lg2＋lg5)＋1－lg2＝lg2＋1－lg2＝1.(2)a2m＋n＝a2loga2＋loga3＝aloga4＋loga3＝aloga12＝12.(3)由已知得lgxy＝lg(2x－3y)2，∴xy＝(2x－3y)2.即4x2－13xy＋9y2＝0，∴(x－y)(4x－9y)＝0.∴x－y＝0或4x－9y＝0.又x0，y0，2x－3y0∴xy.∴4x－9y＝0，∴xy＝94，∴log32xy＝log3294＝2.对数式化简求值的基本思路(1)利用换底公式及logamNn＝nmlogaN转化为同底的和、差、积、商的运算；(2)利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂的运算；(3)利用约分、合并同类项等方法进行运算．对数运算性质以及有关公式都是在式子中的所有对数符号有意义的前提下才能成立．【活学活用】1．求值：(1)log2748＋log212－12log242－1；(2)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25；(3)(log32＋log92)(log43＋log83)．解：(1)原式＝log2748＋log212－log242－log22＝log27×1248×42×2＝log2122＝log22－32＝－32.(2)原式＝lg2·(lg2＋lg50)＋lg25＝2lg2＋lg25＝lg100＝2.(3)原式＝lg2lg3＋lg22lg3lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54.【考向探寻】1．用图象和性质比较对数函数值的大小．2．利用图象分析、解决问题．3．利用对数函数的性质解决有关综合题．【典例剖析】(1)(2013·银川模拟)已知函数f(x)＝ax(a0且a≠1)在区间[－2,2]上的值域不大于2，则函数g(a)＝log2a的值域是A.－∞，－12∪0，12B．－12，0∪0，12C．－12，12D．－12，0∪12，＋∞(2)(2013·杭州模拟)设定义在区间(－b，b)上的函数f(x)＝lg1＋ax1－2x是奇函数(a，b∈R，且a≠－2)，则ab的取值范围是A．(1，2]B．(0，2]C．(1，2)D．(0，2)(3)是否存在实数a，使函数f(x)＝loga(ax2－x)在[2,4]上是增函数？若存在，说明a取哪些值？若不存在，请说明理由．(1)fx＝ax的值域→a的范围→ga的值域；(2)fx为奇函数→a的取值→fx的定义域→b的范围→ab的范围；(3)假设存在→以假设为基础推理→根据结果确定假设是否成立(1)解析：①当a1时，a2≤2，故1a≤2；②当0a1时，a－2≤2，故22≤a1.则当22≤a≤2时，－12≤g(a)≤12，且a≠1，则g(a)＝log2a的值域为－12，0∪0，12.答案：B(2)解析：由于f(x)是奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0，即lg1＋ax1－2x＋lg1－ax1＋2x＝0，∴a2＝4，而a≠－2，∴a＝2，此时，函数f(x)＝lg1＋2x1－2x，x∈－12，12，∴b∈0，12，因此ab∈(1，2]，故选A.答案：A(3)解：假设存在a，使函数f(x)＝loga(ax2－x)在[2,4]上是增函数，令u(x)＝ax2－x.由复合函数的性质及对数函数的定义域知a＞1，－－12a≤2，u2＞0或0＜a＜1，－－12a＞4，u4＞0解得a＞1.∴所求a的取值范围为(1，＋∞)．(1)研究对数型函数的单调性、最值(值域)、零点等性质时，常利用对数函数的图象，通过图象变换作出相应对数型函数图象，然后结合图象研究．(2)求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤①确定定义域；②弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)；③分别确定这两个函数的单调区间；④若这两个函数同增或同减，则y＝f(g(x))为增函数，若一增一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”．(3)与对数函数有关的函数最值(值域)的常用求法除图象法外还有单调性法、换元为一元二次函数法、均值不等式法、导数法．当对数函数的底数不确定时，一定要进行分类讨论．【活学活用】2．(1)已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝f(3)，c＝f(0.2－0.6)，则a，b，c的大小关系是()A．cabB．cbaC．bcaD．abc解析：3＝－log23＝－log49，b＝f(3)＝f(－log49)＝f(log49)，log47log49,0.2－0.6＝15－35＝5125532＝2log49，又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f(0.2－0.6)f(3)f(log47)，即cba，故选B.答案：B(2)已知函数f(x)＝loga(3－ax)．①当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；②是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．解：①由题设3－ax＞0对一切x∈[0,2]恒成立，a＞0且a≠1，∵a＞0，∴g(x)＝3－ax在[0,2]上为减函数，从而g(2)＝3－2a＞0，∴a＜32，∴a的取值范围为(0,1)∪1，32.②假设存在这样的实数a，由题设知f(1)＝1，即loga(3－a)＝1，∴a＝32，此时f(x)＝3－32x.当x＝2时，f(x)没有意义，故这样的实数不存在.【考向探寻】1．解对数方程或对数不等式．2．指数函数与对数函数的综合问题．3．与对数函数有关的综合问题．【典例剖析】(1)(2013·伊春模拟)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，f(x)＝log12(1－x)，则函数f(x)在(1,2)上A．是增函数，且f(x)0B．是增函数，且f(x)0C．是减函数，且f(x)0D．是减函数，且f(x)0(2)(12分)若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2[f(a)]＝2(a≠1)．①求f(log2x)的最小值及对应的x值；②x取何值时，f(log2x)f(1)且log2[f(x)]f(1)?(1)由偶函数求出(－1,0)上的解析式，再根据周期性求得(1,2)上的解析式，最后得结论．(2)①根据条件求得a，b的值，转化为二次函数的最值问题．②解对数不等式(组)即可．(1)当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)．∴f(－x)＝log12(1＋x)．又f(x)为偶函数，∴f(x)＝log12(1＋x)，x∈(－1,0)．当x∈(1,2)时，x－2∈(－1,0)，∴f(x)＝f(x－2)＝log12(x－1)，又1x2，∴0x－11，∴log12(x－1)0.又由复合函数单调性y＝log12(x－1)在(1,2)上是减函数．故选D.答案：D(2)①∵f(x)＝x2－x＋b，∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋b＝b.∴log2a(log2a－1)＝0.…………………………………1分∵a≠1，∴log2a＝1，∴a＝2.……………………………2分又log2[f(a)]＝2，∴f(a)＝4……………………………3分∴a2－a＋b＝4，∴b＝4－a2＋a＝2.……………………4分∴f(x)＝x2－x＋2.………………………………………5分从而f(log2x)＝log22x－log2x＋2＝log2x－122＋74≥74.………………………………6分当log2x＝12，即x＝2时等号成立，故最小值为74，此时x＝2.…………………………7分②由题意知log2x2－log2x＋20，log2x2－x＋22………………8分∴log2x－1或log2x2，x2－x－20…………………………10分解得0x1.…………………………………………11分∴所求x的取值范围为(0,1).………………………12分(1)解决与对数有关的综合问题时，首先应考虑定义域，另外要注意底数的取值范围．(2)注意转化思想的运用，将对数问题转化为一般