《3.5-平面的法向量》同步练习

《3.5平面的法向量》同步练习一、选择题1．设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，满足条件AM→·n＝0的点M构成的图形是()A．圆B．直线C．平面D．线段2．平面α与β的法向量分别是a＝(4,0，－2)，b＝(1,0,2)，则平面α与β的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交不垂直D．无法判断3．已知平面α过点A(1，－1,2)，法向量为n＝(2，－1,2)，则下列点在α内的是()A．(2,3,3)B．(3，－3,4)C．(－1,1,0)D．(－2,0,1)4．[2014·西城高二检测]若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中是平面α的法向量的是()A．(0，－3,1)B．(2,0,1)C．(－2，－3,1)D．(－2,3，－1)5．在平面ABCD中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABCD的法向量，则y2等于()A．2B．0C．1D．无意义6．在三棱锥P－ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，点G是P在平面ABC上的射影，则G是△ABC的()A．内心B．外心C．垂心D．重心二、填空题7．设u＝(2,2，－1)是平面α的法向量，a＝(－3,4,2)是直线l的方向向量，则直线l与平面α的位置关系是________．8．由向量a＝(1,0,2)，b＝(0,2,1)确定的平面的一个法向量为n＝(x，y，z)，则向量c＝(1，21，2)在n上的射影的长是________．9．[2014·安阳高二检测]如图，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．三、解答题10．[2014·德州高二检测]如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.答案：1、解析：AM→·n＝0是平面的向量表示式．答案：C2、解析：a＝(4,0，－2)，b＝(1,0,2)，所以a·b＝0，所以a⊥b，所以α⊥β.答案：B3、解析：α的法向量与α共面的向量垂直．答案：A4、解析：显然，选项D中的向量(－2,3，－1)与n＝(2，－3，1)共线．答案：D5、解析：由已知AB→＝(1,1,0)，AC→＝(－1，－1，－2)，所以－1＋y＝0，1－y－2z＝0，解得y＝1，即y2＝1.答案：C6、解析：PG⊥面ABCPA⊥BC⇒AG⊥BC同理BG⊥AC⇒G为△ABC的垂心．答案：C7、解析：因为u·a＝(2,2，－1)·(－3,4,2)＝0，所以u⊥a，即l⊂α，或l∥α.答案：l⊂α，或l∥α8、解析：由n是a，b所确定的平面的一个法向量，知a·n＝0，b·n＝0，不妨设z＝2，可解得x＝－4，y＝－1，所以n＝(－4，－1,2)，所以c在n上的射影长为||c|cos〈n，c〉|＝c·n|n|＝1.答案：19、解析：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，则D(0，a,0)．设Q(1，x,0)(0≤x≤a)．P(0,0，z)．则PQ→＝(1，x，－z)，QD→＝(－1，a－x,0)．由PQ⊥QD，得－1＋x(a－x)＝0，即x2－ax＋1＝0.由题意知方程x2－ax＋1＝0只一解．∴Δ＝a2－4＝0，a＝2，这时x＝1∈[0，a]．答案：210、证明：如图，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设DC＝a.连接AC，AC交BD于G，连接EG.依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E(0，a2，a2)．∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心．故点G的坐标为(a2，a2，0)，且PA→＝(a,0，－a)，EG→＝(a2，0，－a2)．∴PA→＝2EG→，∴PA→∥EG→.∵EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB.∴PA∥平面EDB.