第6章多元函数微分学8-10(曲线的切线与法平面-曲面的切平面及法线)

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学A6.3.1空间曲线的切线及法平面6.3.2曲面的切平面及法线6.3多元函数微分的应用第6章多元函数微分学6.3多元函数微分的应用6.3.1空间曲线的切线及法平面切线及法平面的概念曲线方程为参数方程的情况习例1-3曲线为一般式的情况习例46.3.2曲面的切平面及法线一般方程的曲面的切平面及法线特殊方程的曲面的切平面及法线求切平面及法线习例5-10小结曲线的切线及法平面曲面的切平面及法线一、空间曲线的切线与法平面复习:平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线),(00yx切线方程0yy法线方程0yy若平面光滑曲线方程为),(),(ddyxFyxFxyyx故在点切线方程法线方程)(0yy),(00yxFy)(),(000xxyxFx0))((00xxxf)()(100xxxf在点有有因0)(),(000yyyxFx),(00yxFy)(0xx过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法位置.TM空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限平面.点击图中任意点动画开始或暂停1.曲线方程为参数方程的情况切线方程000zzyyxx),,(0000zyxMtt对应设),,(0000zzyyxxMttt对应)(0t)(0t)(0tTM:的方程割线MM))((00xxt此处要求)(,)(,)(000ttt也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量.)()(00yyt0))((00zzt如个别为0,则理解为分子为0.M不全为0,))(,)(,)((000tttT因此得法平面方程说明:若引进向量函数))(,)(,)(()(ttttr,则为r(t)的矢端曲线,0t而在处的导向量))(,)(,)(()(0000ttttr就是该点的切向量.o)(trT曲线方程为参数方程的求切线方程和法平面方程习例.),,()()(2000处的切线与法平面在求曲线例zyxxzxyxx.),,(,2300022切线及法平面方程处的在求曲线例zyxxmzmxyzyxo切线方程Rx法平面方程xR022kzkxR即002RykRzRxk即解由于0Rykkz2),,0(20kRM对应的切向量为0)(2kzk),0,(kRT,故解},,,1{,)()(00xxTx则为参数以,)(0)(0000xxzzyyxx切线方程为.0)()(0)(0)(000zzyyxxxx法平面方程为.),,()()(2000处的切线与法平面在求曲线例zyxxzxyxx解xmzmxyxx222zzymyx211}21,,1{00zymT,2/1/00000zzzymyyxx故切线方程为.0)(21)()(00000zzzyyymxx法平面方程为.),,(,2300022切线及法平面方程处的在求曲线例zyxxmzmxy2.曲线为一般式的情况光滑曲线0),,(0),,(:zyxGzyxF当0),(),(zyGFJxydd曲线上一点),,(000zyxM,且有xzdd,),(),(1xzGFJ,),(),(1yxGFJ时,可表示为处的切向量为MMyxGFJxzGFJ),(),(1,),(),(1,1)(,)(,100xxTyxz000zzyyxxMzyGF),(),(则在点),,(000zyxM切线方程法平面方程有MzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),()(0xxMyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy0)(0zz或MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(0)()()()()()(000MGMGMGMFMFMFzzyyxxzyxzyx也可表为)(),(),()(),(),(00yyMxzGFxxMzyGF法平面方程0)(),(),(0zzMyxGFMzyGF),(),(切线方程解法1令则即0202yzx切向量Mzy1122Mzy)(2;6xyz)6,0,6(T.)1,2,1(,0,64222处的切线及法平面在求曲线例zyxzyx曲线方程为一般方程的求切线方程和法平面方程习例法平面方程0)1(6)2(0)1(6zyx即0zx解法2方程组两边对x求导,得1111ddzyxyxz11ddzyxy曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量解得11zx,zyxzzyyx)1,0,1(MMxzxyTdd,dd,1切线方程即法平面方程0)1()1()2(0)1(1zyx即0zx点M(1,–2,1)处的切向量)1,0,1(T解法3010222zyzzyyx代入得将)1,2,1(01021zyzy1,0zy从而}1,0,1{T,110211zyx切线方程为.0zx法平面方程为二、曲面的切平面与法线切平面的法向量与曲面上任一曲线的切向量垂直.法线是与切平面垂直的直线.切平面与法线处的求设曲面为),,(,0),,(.10000zyxMzyxF解.nT0M)()()(),(0tztytxM设为在曲面上任取一曲线过)}(),(),({0000tttTM的切向量为该曲线在,0)](),(),([tttF又.0)()()(000tFtFtFzyx则.,},,{即为切平面的法向量垂直与切向量nTFFFnzyx,0)()())(,,(000000zzFyyFxxzyxFzyx切平面为.),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx法线为,0)(),(),(,,000tttFFFzyx即面的法向量切平面的法向量称为曲),,(000},,{zyxzyxFFFn)},,(),,,(),,,({000000000zyxFzyxFzyxFzyx切平面与法线处的求设曲面为),,(),,(.20000zyxMyxfz解,),(),,(zyxfzyxF设,)1,,(),(00yxyxffn则,0)()()(:000zzyyfxxfyx切平面.1),(),(:0000000zzyxfyyyxfxxyx法线注意:))(,())(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面上点的竖坐标的增量的全微分在点函数),(),(00yxyxfz(1)因为曲面在M0处的切平面方程为),(yxfz在),(00yx的全微分，表示曲面),(yxfz在点),,(000zyx处的切平面上的点的竖坐标的增量.(2)若、、表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角是锐角，则法向量的方向余弦为),1,,(),,(yxffnyxfz有对于,1cos22yxxfff,1cos22yxyfff.11cos22yxff}.,{0),()3(yxFFnyxF的法向量为平面曲线,0),,(0),,()4(zyxGzyxF对于曲线},,,{1zyxFFFn},,{2zyxGGGn21:nnT则切向量为zyxzyxGGGFFFkji3.求切平面及法线习例.)3,2,1(36325222及法线方程处的切平面在点求球面例zyx.)0,2,1(326及法线方程处的切平面在点求曲面例xyezz.),,(70002222相切在点与球面使曲面确定正数例zyxMazyxxyz.06421328222的切平面方程上平行于平面求曲面例zyxzyx.)(9的平面都相交于一点试证所有切于曲面例xyxfz.,1630163310222求相切与椭球面如果平例zyxzyx解所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程)1(2x即法线方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量令)6,4,2(zyxn)18,8,2()3,2,1(n.)3,2,1(36325222及法线方程处的切平面在点求球面例zyx解,32),,(xyezzyxFz令,42)0,2,1()0,2,1(yFx,22)0,2,1()0,2,1(xFy,01)0,2,1()0,2,1(zzeF切平面方程法线方程,0)0(0)2(2)1(4zyx,042yx.001221zyx),0,2,4(n.)0,2,1(326及法线方程处的切平面在点求曲面例xyezz解二曲面在M点的法向量分别为二曲面在点M相切,故000000000zyxyzxxzy0x又点M在球面上,于是有000zyx333a),,(0002zyxn21//nn,因此有20y20z2.),,(70002222相切在点与球面使曲面确定正数例zyxMazyxxyz解,),,(000为曲面上的切点设zyx依题意，切平面平行于已知平面，得,664412000zyx(**)2000zyx(*)2132202020zyx则}6,4,2{000zyxn又切平面的法向量为,1(*)(**)0x解得由,200zy.06421328222的切平面方程上平行于平面求曲面例zyxzyx所求切点为),2,2,1(),2,2,1(0)2(12)2(8)1(2zyx2164zyx0)2(12)2(8)1(2zyx.2164zyx切平面方程①切平面方程②解)(2xyfxfxzfxyffxfxyz11,,ffxyfn曲面的法向量为的切平面为过曲面上任一点),,(000zyx0)()())((00000zzyyfxxfxyf.)0,0,0(满足上面的方程显然.)(9的平面都相交于一点试证所有切于曲面例xyxfz解},2,2,6{000zyxn则),,,(000zyx设切点为依题意知切平面的法向量为}3,,3{32236000zyx,00xy,300xz又切点满足曲面和平面方程,016930169320202200020xxxxxx.2.,1630163310222求相切与椭球面如果平例zyxzyx1.空间曲线的切线与法平面切线方程000zzyyxx法平面方程))((00xxt1)参数式情况.)()()(:tztytx空间光滑曲线切向量)(0t)(0t)(0t)()(00yyt0))((00zzt))(,)(,)((000tttT内容小结切线方程法平面方程MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000空间光滑曲线0),,(0),,(:zyxGzyxFMzyGF),(),(切